1.2. Типовой пример выполнения индивидуальной работы по теме 1

Задание:

По исходным данным, характеризующим территории региона за 199х год необходимо¹:

1. Построить поле корреляции.

2. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить линейное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и коэффициента детерминации;

в) оценить качество линейного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера;

е) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

3) Проверить результаты, полученные в п.2 с помощью ППП Exel.

4) Рассчитать параметры показательной парной регрессии. Проверить результаты с помощью ППП Exel. Оценить статистическую надежность указанной модели с помощью F-критерия Фишера.

5. Обосновано выбрать лучшую модель и рассчитать по ней прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости γ = 0,05.

Решение:

Для нашего примера

Результативный признак (у) – урожайность картофеля, ц/га

Факторный признак (х) – доза внесения органических удобрений, ц/га

Таблица 1.1. – Исходные данные для анализа

№ региона	Доза внесения удобрений, ц/га х	Урожайность картофеля, ц/га у
1	97	133
2	79	93
3	86	138
4	77	123
5	104	131
6	69	119
7	100	120
8	93	147
9	81	127
10	102	137
11	74	102
12	90	129

1. Построим поле корреляции, для чего отложим на плоскости в прямоугольной системе координат точки (x_i y_i) (рис.1.1).

Рис. 1.1. Поле корреляции

Расположение точек на графике не позволяет точно определить тип уравнения регрессии. Для выявления типа зависимости воспользуемся экспериментальным методом.

2. Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.1.2)

Таблица 1.2. – Расчетные значения

№	х	у	xy	х^2	у^2	,	·100%, (Ai, %)
1	97	133	12901	9409	17689	131,675	0,996	1,755	86,490	45,630
2	79	93	7347	6241	8649	118,625	27,554	656,540	75,690	39,627
3	86	138	11868	7396	19044	123,700	10,362	204,490	2,890	1,488
4	77	123	9471	5929	15129	117,175	4,654	33,931	113,849	59,985
5	104	131	13624	10816	17161	136,750	4,389	33,161	266,669	139,948
6	69	119	8211	4761	14161	111,375	6,408	58,141	348,569	183,467
7	100	120	12000	10000	14400	133,850	11,542	191,823	152,028	79,744
8	93	147	13671	8649	21609	128,775	123,979	332,151	28,408	14,861
9	81	127	10287	6561	16129	120,075	5,453	47,956	44,488	23,474
10	102	137	13974	10404	18769	135,300	1,241	2,890	205,348	107,744
11	74	102	7548	5476	5476	115,000	127,451	169,000	186,868	98,406
12	90	129	11610	8100	16641	126,600	1,860	5,7660	5,429	2,822
Итого	1052	1499	132512	93742	184857	1499,00	325,89	1737,59	1243,20	797,319
Ср.зн	87,67	124,92	11042,67	7811,83	15404,75	х	27,157
σ	10,19	13,1818
σ^2	103,97	173,76

2а. Построим линейное уравнение парной регрессии у по х. Используя данные таблицы 2, имеем:

β= ==0,725

a = =124,92-0,725∙87,67=61,35.

Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

Полученное уравнение показывает, что с увеличением дозы внесения органических уравнений на l ц/га урожайность картофеля возрастает в среднем на 0,725 ц/га.

Рис. 1.2. Зависимость между дозой внесения органических удобрений и урожайностью картофеля (линейная регрессия).

Подставляя в полученное уравнение регрессии значения x_i из исходных данных определяем теоретические (выровненные) значения результативного признака (табл.1.2).

2б. При линейной корреляции между х и у исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 £ r £ 1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи.

Учитывая:

,

оценим тесноту линейной связи с помощью линейного коэффициента парной корреляции

Связь между факторами прямая. В соответствии со шкалой Чеддока теснота характеризуется как заметная.

Изменение результативного признака у обусловлено вариацией факторного признака х. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции.

R²=r_ху²·100%

R²= 0,56² ∙100%=0,3145

Следовательно, вариация урожайности картофеля на 31,45 % объясняется вариацией дозы внесения удобрений, а остальные 68,55% вариации урожайности обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

==325,889/12=27,16%.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 27,16%. Это значение значительно превышает допустимый предел, следовательно качество построенной модели невысокое. Это, а также небольшое значение коэффициента детерминации говорит о том, что линейный тип модели не достаточно хорошо отражает представленные эмпирические данные.

2г) Для оценки силы связи признаков у и х найдем средний коэффициент эластичности:

.===0,5088

Таким образом, в среднем на 0,5% по совокупности изменится урожайность картофеля от своей средней величины при изменении дозы внесения удобрений на 1% от своего среднего значения.

2д) Для оценки статистической надежности результатов используем F-критерий Фишера.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но о статистической незначимости полученного уравнения регрессии.

F_факт = _{= ·} (n-2)

F_факт==4,5879

Сравним фактическое значение критерия Фишера с табличным. Для этого выпишем значения критерия Фишера из таблицы «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости a=0.05» (приложение 1).

В нашем примере k₁=1; k=12-1-1=10.

Таким образом. F_табл.=4,96 при =0,05.

Т.к. F_факт.< F_табл., то при заданном уровне вероятности =0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

2е) Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля ==r_ух =0.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики принимаем или отвергаем гипотезу Но.

Если t_табл  t_факт, то Но отклоняется, т.е. , , r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл  t_факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования , , r.

; ;

t_табл при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы равных 12-2=10 равно 2,2281 (приложение 2).

< t_табл, <t_табл, <t_табл,

следовательно нулевая гипотеза о несущественности коэффициентов корреляции и регрессии принимается , т. е. r,  и  статистически незначимы.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

∆ = t_табл m_=2,2281∙29,92=66,654

∆ = t_табл m_=2,2281∙0,3388=0,7541

Доверительные интервалы:

Для параметра : (-5,304; 128,011)

Для параметра : (-0,029; 1,479)

Анализ верхних и нижних границ доверительных интервалов приводит к выводу, что с вероятностью p = 1–γ = 0,95 параметры  и  находятся в указанных пределах, причем оба параметра являются статистически незначимыми, т.к. в границы доверительного интервала попадает ноль.

3. Проверим результаты, полученные в п.2 с помощью ППП Exel.

Встроенная функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии. В ходе анализа придерживайтесь следующего порядка вычислений:

1. введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий исходную информацию для анализа;

2. выделите область пустых ячеек 52 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики;

3. активизируйте Мастер функций одним из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория (рис. 1.3) выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК.

5) Заполните аргументы функции (рис. 1.4):

известные_значения_у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член = 0;

Рис. 1.3. Диалоговое окно «Мастер функций».

статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК.

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>,<SHIFT>,<ENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводится в порядке, указанном в следующей таблице:

Таблица 1.3.– Регрессионная статистика

Значение коэффициента β	Значение коэффициента α
Среднеквадратическое отклонение β	Среднеквадратическое отклонение α
Коэффициент детерминации R^2	Среднеквадратическое отклонение у
F– статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Рис. 1.4. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

3а) Результат вычислений функции ЛИНЕЙН для рассматриваемого примера представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

С помощью инструмента анализа данных Регрессии, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите метку Пакет анализа (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Подключение надстройки Пакет анализа

2. в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК.

Рис.1.7. Диалоговое окно Анализ данных

2. заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис.1.8):

входной интервал У – диапазон, содержащий данные результативного признака;

входной интервал Х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

константа – ноль – флажок, указывающий наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Рис. 1.8. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

3б) Проведем анализ исходных данных рассматриваемого примера с помощью инструмента анализа Регрессия (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Результаты применения инструмента Регрессия

Сравнивая полученные вручную и с помощью ППП Exel данные, убеждаемся в правильности выполненных действий.

4. Построению показательной модели у=∙^х (29) предшествует процедура линеаризации переменных.

Данная функция нелинейна относительно параметров, но линейна по переменным. В нелинейных регрессиях относительно параметров процедура линеаризации производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln y = ln+x∙ln (30)

Введем обозначения

У= ln y , С= ln , В= ln

Тогда уравнение (30) запишется в виде:

У= С+ В∙ x. (31)

Для нахождения параметров полученной линейной модели (31) воспользуемся вспомогательными расчетами (табл. 1.4)

Таблица 1.4. – Расчетные величины

№	х	Y	У∙х	х^2	Y^2		·%,
1	97	4,890	474,363	9409	23,915	4,877	0,262	0,00017	87,111	0,00327	0,0049
2	79	4,532	358,075	6241	20,54446	4,767	5,175	0,05503	75,111	0,00282	0,0828
3	86	4,927	423,743	7396	24,27783	4,810	2,377	0,01373	2,777	0,00010	0,0114
4	77	4,812	370,538	5929	23,15712	4,755	1,189	0,00328	113,777	0,00427	0,0001
5	104	4,875	507,020	10816	23,76755	4,920	0,927	0,00204	266,777	0,01001	0,0030
6	69	4,779	329,759	4761	22,84002	4,706	1,532	0,00536	348,444	0,01308	0,0017
7	100	4,787	478,749	10000	22,92008	4,896	2,264	0,01175	152,111	0,00571	0,0011
8	93	4,990	464,110	8649	24,90442	4,853	2,754	0,01889	28,444	0,00106	0,0289
9	81	4,844	392,379	6561	23,46615	4,779	1,336	0,00419	44,444	0,00166	0,0006
10	102	4,919	501,838	10404	24,20621	4,908	0,240	0,00014	205,444	0,00771	0,0099
11	74	4,625	342,248	5476	21,39037	4,736	2,412	0,01245	186,777	0,00701	0,0382
12	90	4,859	437,383	8100	23,61778	4,835	0,518	0,00064	5,444	0,00020	0,0016
Σ	1052	57,84	5080,209	93742	279,0075	57,843	20,99	0,12766	1243,200	0,05696	0,14642
Ср.зн	87,67	4,820	423,351	7811,8	23,25062	4,820	1,749
σ	10,1964	0,1129
σ^2	103,97	0,0127

Построим линейное уравнение парной регрессии У по х. используя данные таблицы 4, имеем:

=4,820-87,67∙0,0061285=4,285355.

Получим линейное уравнение регрессии:

Ŷ= 4,285+0,0061∙х. (32)

Тесноту полученной линейной модели характеризует линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент детерминации при этом равен:

R²=r²_хУ=0,3067.

Это означает, что чуть более 30% вариации фактора Y объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка линейной аппроксимации составляет:

=∙100% = 20,992/12=1,15%.

В среднем по полученной линейной модели расчетные значения отклоняются от фактических на 1,15%, что входит в допустимый предел.

Проведя потенцирование уравнения (32), получим искомую нелинейную (показательную) модель.

72,628∙1,006^х (33)

Результаты вычисления параметров показательной кривой (1) проверим с помощью ППП Exel, для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычислений аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Сравнивая полученные вручную и с помощью ППП Exel данные, и учитывая тот факт, что в первой строке таблицы (рис.1.10) функция ЛГРФПРИБЛ возвращает коэффициенты показательной модели (29), а остальные параметры соответствуют линейной модели (31), убеждаемся в правильности выполненных действий.

Для расчета индекса корреляции ρ_xy нелинейной регрессии воспользуемся вспомогательной таблицей 5.

ρ_xy==.=

Рис. 1.10. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

Таблица 1.5. – Расчетные величины

№	х	у
1	97	133	131,008	3,967928	65,33974	87,111
2	79	93	117,424	596,5368	1018,676	75,111
3	86	138	122,531	239,296	171,1727	2,777
4	77	123	116,005	48,9366	3,673739	113,777
5	104	131	136,705	32,55268	37,00654	266,777
6	69	119	110,496	72,32147	35,00734	348,444
7	100	120	133,420	180,1	24,17394	152,111
8	93	147	127,860	366,355	487,6721	28,444
9	81	127	118,861	66,24258	4,340139	44,444
10	102	137	135,053	3,791488	146,0061	205,444
11	74	102	113,907	141,7835	525,1751	186,777
12	90	129	125,548	11,91613	16,67334	5,444
Итого	1052	1499	1488,818	1763,8	2534,917	1243,200
Ср.зн	87,67	124,92	124,068	146,983	211,243	103,600

Найдем коэффициент детерминации

R²= ρ²_xy·100%=0,5515²=0,3042

Полученное значение коэффициента детерминации говорит о том, что 30,42% вариации урожайности картофеля объясняется вариацией фактора х – дозы внесения органических удобрений.

Рассчитаем фактическое значение F-критерия при заданном уровне значимости =0,05:

F_факт = _{= ·} (n-2)==4,37.

Сравнивая табличное F_табл=4,96 и фактическое F_факт=4,37 значение отмечаем , что F_факт.< F_табл.,

Это означает, что при заданном уровне вероятности =0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров уравнения регрессии.

5. Так как коэффициенты детерминации, соответствующие линейной и показательной моделям практически равны (около 30% вариации урожайности картофеля объясняется вариацией фактора х – дозы внесения органических удобрений в обеих моделях), то нет весомых оснований отдать предпочтение какой-либо модели.

Кроме того, в виду того, что оба уравнения регрессии является статистически незначимыми и ненадежными, рассчитывать прогнозируемое значение среднедушевого прожиточного минимума в день ни по одному из рассмотренных уравнений не имеет смысла, поскольку данный прогноз не даст достоверного результата.

Тем не менее, для закрепления методики расчета прогнозов, выполним расчет прогнозного значения результата по линейной модели. (R²_лин = 0,3145 >R²_показ= 0,3042).

По условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня =87,67 на 5%, тогда оно составит:

=1,05∙87,67=92,05

и прогнозное значение урожайности картофеля при этом составит:

=61,35+0,725∙92,05=128,086

Найдем ошибку прогноза:

=

=

Далее строится доверительный интервал прогноза при уровне значимости =0,05:

;

предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

=2,23∙13,8155=30,81

Доверительный интервал прогноза

(61,24; 122,86).