4. Задача 3. «Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела»

Тело Н массой m₁ вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью _о; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой т₂. В некоторый момент времени (t = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M_z = М_z (t). При t = х действие прекращается.

Определить угловую скорость _ тела Н в момент t = .

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью _.

В некоторый момент времени t₁ = 0 (t₁ – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба AВ (в направлении к В) по закону ОК = s = s(t₁).

Определить угловую скорость _T тела Н при t₁ = Т.

Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму. Необходимые для решения данные приведены в таблицах.

Рисунки к соответствующим вариантам задач, приведены на страницах 25-27.

Номер варианта	т1,	т2	о, с^–1		а, м		b, м		R, м		, град		АО, м		Mz=M*z(t) Нм		, с		ОК = s = s(t1)		Т,с
	кг
1	32	10	–1		1		1,5		1,2		–		R/6		–29,6t^2		3		(5R/12)t1		1
2	200	60	–2		–		–		2		120				101		5		t^2		1
3	120	40	0		2		–		–		–		0		–120t		4		(/4)t1^2		2
4	16	5	–3		–		–		1		30		0,4		21t		2		0,6t1		2
5	66	10	1,5		2		1,5		–		–		0				4		0,5t1		2,5
6	160	80	–1,25		1,5		–		2,5		–		a/6		–700t		3		(5a/18) t1^2		3
7	300	50	–2		1,6		1		0,8		–		0		968		1		(R/2)t1^2		1
8	80	20	0		1,2		–		2		–		a/2				4		(a/4) t1		2
9	20	5	5		1,2		–		0,4		45		R/4				3		(3R/4) t1^2		1
10	100	40	2		2				–		–						4				1
11	60	20	–1		2		–		–		15		0		40t		2		0,4 t1^2		2
12	40	10	–3		1		–		2		–		0		50t^2		3		(a/3) t1		2
13	24	4	4		1		–		–		–		0,5				1		0,3t1		2
14	40	10	2		–		–		1		–		0		120t		1		0,5t1		3
15	120	50	–4		1		–		2		–		0		330t^2		2		(a/2) t1^2		1
16	60	10	–5		1		1,2		–		30		0,4		74		2		0,3 t1^2		2
17	50	10	–2		–		–		1,6		30		0,6		69t		4		0,6t1		2
18	120	50	3		2		3		0,8		–		R/2		324		3		(R/8)t1^2		2
19	90	30	1		1,5		–		–		–		0		–135t		2		(a/4) t1^2		1
20	50	12	3		1		–		1,2		–		a/6		–14t^2		3		(a/12) t1^2		2
21	40	10	–6		–		–		1		–						1				2
22	150	50	–1		1,6		1,2		0,6		–		R/2		163		4		(R/2)t1^2		1
23	90	20	2				1		–		–				–210		2		()t1		1
24	50	12	–3		0,6		–		–		60		0,2		27t^2		2		0,4t^1		2
25	36	8	–5		–		–		0,5		–		0		20t		2		(R/6)t1^2		2
26	150	40	–4		1,5		–		2		–		a/6				1		(a/2) t1^2		1
27	120	30	0		1		–		–		60		0		–25t		2		t1^2		1
28	15	4	–2		0,6		–		–		–		0,1		5,6t		3		0,4t1		1
29	20	5	5		0,6		–		0,6		–		0				4		(5R/6)t1		1
30	150	50	0		1,6		1,2		–		–		1,6		652t		2		0,2 t1^2		2

Примечание. Знак минус перед М_z и  соответствует вращению по направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

Таблица. «Осевые моменты инерции однородных пластин»

Пример решения Задачи 3

Дано: m₁ = 200 кг; m₂ = 80 кг; M_z = 592 t Нм; ₀= – 2 рад/с; АО = 0,8 м;

R = 2,4 м; а = 1,2 м; t =  = 4 c; ОК = s = 0,5 t₁² м; t₁ = Т = 2 с.

Определить _ и _Т, считая тело Н однородной круглой пластинкой. Решение. К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

,

где L_z кинетический момент системы, состоящей в данном случае из тела Н, и точки К, относительно оси z; – главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно осиz.

На систему за время от t = 0 до t =  действуют силы: вес G₁ тела H, вес G₂ точки К, пара сил с моментом М_z и реакции подпятника и подшипника (рис. а).

Предположим, что вращение тела Н происходит против вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z; будем считать это направление положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента L_z системы, который скла­дывается из кинетического момента тела J_z и момента количества дви­жения точки К, находящейся в точке О тела Н и имеющей скорость v = O₁O:

m₂v  O₁O = m₂ O₁O².

Таким образом,

L_z = J_z+ m₂ O₁O²=( J_z+ m₂ O₁O²) 

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту М_z, так как другие силы момента относительно оси z не создают.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента, примет вид

(1)

где М_z = ct (с = 592 Нм/с).

Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую и правую части уравнения:

Тогда

(J_z + m₂  O₁O²) (_– ₀) = c²/2. (2)

Найдем числовые значения входящих в уравнение (2) величин.

Момент инерции тела Н относительно оси z найдем, используя теорему о зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей:

J_z = J_zС+m₁a²,

где J_zC - момент инерции тела H однородной круглой пластинки относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси z:

J_zC=m₁R²/2.

Тогда

J_z=m₁R²/2 + m₁a²,

т. е.

J_z = 864 кг  м².

Из чертежа (рис. 4, б) находим

(O₁O) = (ОС)² + (О₁С)², или (О₁О)² = 4 м²,

поэтому

J_z + m₂  O₁O² = 864+ 804= 1184 кгм².

Таким образом, из уравнения (2)

1184 [_ – (– 2)] = 592  4²/2

имеем

_ = 2 рад/с.

После прекращения действия момента М_z тело H вращается по инер­ции с угловой скоростью _; при этом к системе приложены силы G₁, G₂, реакции подпятника и подшипника (рис. б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от t₁ = 0 до t₁ = Т при движении самоходной тележки.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента системы, имеет для этого периода времени вид

dL_z/dt = 0,

т. е.

L_z = const.

Определим значения кинетических моментов L_z0 при t₁ = 0 и L_z при t₁=T и приравняем эти значения.

L_z0= (J_z + m₂  O₁O²) _ = 2368 кг  м²/с.

При t₁ > 0 скорость точки К складывается из относительной скорости v_r отношению к телу H и переносной скорости v_e в движении вместе с телом Н. Поэтому для t₁=T покажем два вектора количества движения точки: и.

Для t₁=T

L_zT = J₂_T + m₂_T(О₁К)² + m₂v_r  O₁C.

Найдем

(О₁К_Т)² = (O₁С)² + (СК_Т)², .

где

СК_Т = ОК_Т – ОС, ОК_Т =s_t1=T = 0,5Т² = 0,5  2² = 2 м,

т.е. СК_Т = 2 – 1,6 = 0,4 м, (О₁К_Т)² = 1,2² + 0,4² = 1,6 м²

Относительная скорость

v_r, = ds/dt = t₁,

при t₁ = Т = 2 с.

v_r = 2 м/с;

Поэтому

L_zT = 864_T + 80_T –1,6 – 80  2  1,2 = 992_T - 192.

Приравнивая L_z0 и L_zT: 2368 = 992_T - 192, находим _T = 2,59