Гидралика грутновых вод (Фильтрация)

для песчано-гравелистогалечных грунтов ϕ =1.0 ; для щебенистых грунтов ϕ =0.35 0.40 .

Рис. 11.8. Схема кривой гранулометрического состава грунта.

∙Полевой метод.

1.На местности бурят несколько колодцев. В один из них добавляют подкрашенную жидкость, в другом засекают время её появления и замеряют величину напора, действующего между колодцами, откачивая жидкость.

2.Производя откачку воды из специально устроенного колодца, устанавливают величину расхода Q. По истечении некоторого времени, необходимого чтобы движение установилось, производят замер координат точек поверхности депрессии. Имея эти координаты и зная величину расхода Q, по особым зависимостям устанавливают величину коэффициента фильтрации.

11

Величина коэффициента фильтрации тем меньше, чем меньше частицы грунта и чем грунт более разнозернистый.

Таблица 1. Округлённые значения коэффициента фильтрации для различных типов грунта.

Грунт	K,	éсм ù
		ê	с	ú
		ë		û

Песок крупнозернистый	0.1 0.01
Песок мелкозернистый	0.01 0.001
Супесь плотная	0.001 0.0001
Суглинок	0.0001 0.00001
Глина	0.00001 0.000001

11.5. Равномерное движение грунтовых вод.

Рис. 11.9. Схема равномерного движения грунтовых вод. Поскольку движение равномерное скорость не изменяется по длине

потока, глубина вдоль потока также постоянна. Как следствие, удельная энергия потока (напор H) также постоянна по длине потока.

Поскольку величиной скоростного напора пренебрегаем, линия удельной энергии совпадает со свободной поверхностью. Следовательно, свободная поверхность параллельна дну русла потока, то есть можно написать:

I =iдна

12

где iдна – уклон дна русла фильтрационного потока. Тогда формулу Дарси можно переписать в виде:

V = K ×iдна , или Q = ω × K ×iдна .

Для «плоской» задачи, величина удельного фильтрационного расхода равна:

	q =	Q	=	h0	×b	× K ×iдна = h0	× K ×iдна ,
		b		b

поскольку ω = h0 ×b .

Тогда глубину потока при равномерном движении грунтовых вод можно определить по зависимости:

h0 =	q	,
	K × iдна

где h0 – глубина потока при равномерном движении (нормальная глубина);

K – коэффициент фильтрации;

q – удельный фильтрационный расход; iдна – уклон водоупора.

Это последнее уравнение и есть уравнение равномерного движения грунтового потока.

11.6.Неравномерное плавно изменяющееся движение грунтовых вод.

Вслучае неравномерного движения скорость и глубина потока изменяются по его длине.

13

Рис. 11.10. Схема неравномерного движения грунтовых вод.

Разобьём такой поток на элементарные струйки 1, 2, 3, 4. Проведём живые сечения (так, чтобы скорости движения жидкости были направлены нормально к этим живым сечениям).

Если подключить пьезометры в разных точках живого сечения, то уровни жидкости в этих пьезометрах, соответствующие величине напора H в соответствующих точках живых сечений, установятся на одной отметке, поскольку расстояния, которые проходит жидкость между двумя смежными живыми сечениями оказываются равными, а, следовательно, равны и потери напора.

Если кривизна таких живых сечений невелика, то можно говорить о плавно изменяющемся движении. В случае плавно изменяющегося движения реальные живые сечения можно заменить плоскими вертикальными сечениями, величина напора в каждой точке которых также считается постоянной.

Таким образом, вместо действительного фильтрационного потока исследуют расчётную модель с плоскими вертикальными живыми сечениями. И, поскольку каждое такое сечение характеризуется постоянной величиной напора, скорость фильтрации рассчитывают не для каждой отдельно взятой элементарной струйки, а для всего плоского сечения.

14

Рис. 11.11. Расчётная модель с плоскими живыми сечениями неравномерного движения грунтовых вод.

Для определения величины скорости фильтрации по формуле Дарси необходимо знать величину пьезометрического уклона I. Поскольку движение неравномерное пьезометрический уклон изменяется вдоль потока.

Для определения величины пьезометрического уклона наметим два плоских вертикальных «живых» сечения 1-1 и 2-2 на расстоянии ds друг от друга (см. Рис. 11.10). Расстояние ds между этими сечениями бесконечно мало, поэтому можно говорить о единственном плоском сечении, находящемся между сечениями 1-1 и 2-2, для которого и определяется величина пьезометрического уклона. Величина потерь напора на расстоянии ds составит:

dH ≈ H 2 − H1 ,

где dH – потери напора между сечениями 1-1 и 2-2;

H1 и H 2 – напоры в сечениях 1-1 и 2-2, соответственно.

Величина пьезометрического уклона между сечениями 1-1 и 2-2:

I = −dHds .

15

Знак минус в выражении для пьезометрического уклона показывает, что при положительном уклоне напор между сечениями уменьшается.

Исходя из формулы Дарси, величина средней скорости между сечениями 1-1 и 2-2 может быть определена по выражению:

V = K × I = -K dH .	формула Дюпюи.
ds

Последнее выражение называется формулой Дюпюи. При применении формулы Дюпюи напор следует определять как превышение точки депрессионной поверхности в данном сечении над горизонтальной плоскостью сравнения.

Итак, в соответствие с формулой Дюпюи, средняя скорость фильтрации V в данном вертикальном сечении равна уклону депрессионной поверхности в этом сечении, умноженному на коэффициент фильтрации.

Поскольку расстояние ds между сечениями 1-1 и 2-2 можно принять сколь угодно малым, то, устремив его к нулю, можно определить величину пьезометрического уклона и скорости фильтрации для бесконечно близко расположенных сечений. Такие сечения «объединяются» друг с другом в одно плоское вертикальное сечение, причём определённое ранее значение скорости фильтрации характеризует это сечение.

Различия между формулой Дарси и формулой Дюпюи. Форма записи выражений, называемых формулой Дарси и формулой

Дюпюи, практически одинакова, однако различие состоит в принятых к рассмотрению моделях фильтрационного потока.

Формула Дарси – позволяет определить скорость фильтрации в любой точке фильтрационного потока, при любом характере движения (плавно изменяющегося или резко изменяющегося).

16

Формула Дюпюи – позволяет определить среднюю по глубине скорость фильтрации в плоском вертикальном сечении для плавно изменяющегося (а также параллельноструйного) движения фильтрационного потока. В формуле Дюпюи скорость выражается через уклон свободной по-

верхности потока ( это величина − dHds ).

11.7.Дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося движения грунтовых вод в призматическом русле.

Для вывода этого уравнения будем использовать формулу Дюпюи, а следовательно, и модель с плоскими вертикальными сечениями. Линия потенциальной энергии совпадает со свободной поверхностью, пьезометрический уклон, определённый для вертикального плоского сечения и взятый с обратным знаком, совпадает с уклоном свободной поверхности.

Выразим пьезометрический уклон через изменение глубины h фильтрационного потока. Для этого в неравномерном фильтрационном потоке выделим два вертикальных сечения, расположенные на расстоянии ds друг от друга (см. Рис. 11.12).

Уклон дна между сечениями 1-1 и 2-2:

iдна ≈ −	z2 − z1	=	z1 − z2	.
	ds
			ds

Скорость изменения глубины h при движении от сечения 1-1 к сечению 2-2:

dhds ≈ h2 ds− h1 .

17

Рис. 11.12. К выводу дифференциального уравнения неравномерного движения грунтовых вод.

Пьезометрический уклон между сечениями 1-1 и 2-2:

I = − H 2 − H1	= −	(z2 + h2 ) − (z1 + h1 )	=	(z1 − z2 ) + (h1 − h2 )	;
ds		ds		ds
		I =iдна - dh .
		ds

Такой же вид выражение для пьезометрического уклона имеет при исследовании движения жидкости в открытых руслах. Подставим найденное выражение для пьезометрического уклона в формулу Дюпюи.

æ	dh ö
V = K × I = K × çiдна -	÷ .
è	ds ø

Перепишем полученное выражение для определения величины расхода такого потока:

æ	dh ö	,
Q = V ×ω = ω × K ×çiдна -	÷
è	ds ø

где ω = b × h – площадь вертикального плоского сечения потока; b – ширина фильтрационного потока.

18

Для «плоской» задачи величина удельного фильтрационного расхода, соответственно равна:

q =	Q	æ	dh ö	(11.1)
	b	= h × K ×çiдна -	÷
		è	ds ø

Полученное выражение и есть дифференциальное уравнение неравномерного плавно изменяющегося движения грунтовых вод в призматическом русле.

В случае горизонтального русла iдна = 0 уравнение (11.1) перепишется в виде:

q = -K ×h dhds .

Случаи неравномерного движения грунтовых вод в горизонтальных руслах наиболее часто встречаются в практических задачах.

11.8. Интегрирование дифференциального уравнения плавно изменяющегося движения грунтовых вод.

Интегрировать уравнение (11.1) необходимо, чтобы построить очертания кривой свободной поверхности для всего рассматриваемого потока, поскольку дифференциальное уравнение описывает лишь бесконечно малую часть этого потока (на расстоянии ds вдоль потока между бесконечно близко расположенными друг к другу сечениями). При интегрировании бесконечно малые части потока, складываются в целый поток.

Русло потока будем считать призматическим, то есть таким, форма поперечного сечения которого не изменяется по длине. Рассматриваем «плоскую» задачу.

∙Прямой уклон дна iдна > 0 .

Выразим удельный расход q через нормальную глубину потока –

глубину, которая установилась бы в потоке с постоянным расходом q, если

19

бы движение было равномерным. Для этого используем уравнение равномерного движения грунтовых вод, которое мы рассматривали ранее:

q = K ×h0 ×iдна .

Подставим значение удельного расхода, выраженное через нормальную глубину в дифференциальное уравнение неравномерного движения грунтовых вод:

K × h0

× iдна = K × h

æ

dh ö

;

× çiдна -

÷

è

ds ø

h0 × iдна

æ

-

dh

ö

;

= h × çiдна

ds

÷

è

ø

h æ

dh

ö

1 =

çiдна -

÷

;

h0

ds

× iдна è

ø

h

1

h

dh

1 =

-

×

× ds

,

(11.2)

h

i

дна

h

0

0

где h0 – нормальная глубина – величина, постоянная для данного потока с расходом q.

Для того, чтобы получить универсальное уравнение, которое описывало бы потоки грунтовой воды с различными расходами, будем описывать изменение глубины потока с помощью относительной глубины:

η = h . h0

Выполним замену переменной для выражения (11.2) чтобы внести под знак дифференциала параметр относительной глубины η.

1	æ	1	ö		h	= dη , поскольку h0 = const .
h	dh = dç h		× h÷	= d h
	ç		÷
0	è	0	ø	0

И выражение (11.2) перепишется в виде:

d

h

1 =

h

-

1

×

h

×

h

× h

0

h0

iдна

h0

ds

0

1 =η -

1

×η × dη

×h0

iдна

ds

20