- •Оглавление
- •§ 2. Существование и единственность интерполяционного многочлена
- •§ 3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •§ 4. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа
- •§ 5. Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева
- •§ 6. Схема Эйткена
- •§ 7. Численное дифференцирование
- •§ 8. Погрешность простейших формул численного дифференцирования
- •§ 9. Разделенные разности. Многочлен Ньютона.
- •§ 10. Интерполяция с кратными узлами
- •§ 11. Кубическая сплайн-интерполяция
- •ГлаваIii. Численное интегрирование
- •§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Составные формулы
- •§ 2. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 3. Формулы Ньютона-Котеса
- •§ 4. Формулы Гаусса
- •§ 5. Погрешность квадратурных формул. Правило Рунге.
- •ГлаваIv. Численные методы алгебры
- •§1. Системы линейных уравнений: метод простых итераций, метод Зейделя
- •§2. Метод наискорейшего спуска
- •§ 3. Обратная интерполяция для решения нелинейных уравнений
- •§ 4. Системы нелинейных уравнений: метод простых итераций
- •§ 5. Системы нелинейных уравнений: метод Ньютона
- •§ 6. Методы спуска
- •Глава V. Дифференциальные уравнения и системы
- •§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: применение формулы Тейлора
- •§ 2. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта
- •§ 3. Конечно-разностные методы
- •§ 4. Уравнения второго порядка
Оглавление
Оглавление 1
Глава II. Аппроксимация и интерполяция 2
§ 1. Основные понятия 2
§ 2. Существование и единственность интерполяционного многочлена 3
§ 3. Интерполяционный многочлен Лагранжа 5
§ 4. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа 6
§ 5. Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева 7
§ 6. Схема Эйткена 9
§ 7. Численное дифференцирование 10
§ 8. Погрешность простейших формул численного дифференцирования 13
§ 9. Разделенные разности. Многочлен Ньютона. 15
§ 10. Интерполяция с кратными узлами 17
§ 11. Кубическая сплайн-интерполяция 19
Глава III. Численное интегрирование 22
§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Составные формулы 22
§ 2. Метод неопределенных коэффициентов 23
§ 3. Формулы Ньютона-Котеса 25
§ 4. Формулы Гаусса 27
§ 5. Погрешность квадратурных формул. Правило Рунге. 30
Глава IV. Численные методы алгебры 32
§1. Системы линейных уравнений: метод простых итераций, метод Зейделя 32
§2. Метод наискорейшего спуска 35
§ 3. Обратная интерполяция для решения нелинейных уравнений 36
§ 5. Системы нелинейных уравнений: метод Ньютона 41
§ 6. Методы спуска 44
§ 2. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта 48
§ 3. Конечно-разностные методы 50
§ 4. Уравнения второго порядка 51
ГлаваII. Аппроксимация и интерполяция
§ 1. Основные понятия
Задача:
Дано: x0, x1, ..., xn — узлы,
f(x0), f(x1), ..., f(xn) — значения f(x) в узлах.
Найти: функцию g(x), такую, что
g(xi) = f(xi), i=0,...,n.
Если в дальнейшем нужно вычислить значение g(x) для , то говорят об интерполяции функции.
Если (т.е. лежит за пределами отрезка, содержащего узлы), то говорят об экстраполяции.
Примером решения задачи является использование многочлена Тейлора m-ой степени:
.
Для x0=0 можно использовать известные разложения для функций:
.
Погрешность метода — остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:
, где c лежит между x и x0.
Кроме того, если не принадлежит интервалу сходимости ряда Тейлора, то погрешность не уменьшается.
§ 2. Существование и единственность интерполяционного многочлена
Задача:
Дано: x0, x1, ..., xn — узлы,
f0, f1, ..., fn — значения f(x) в узлах.
Найти: , такой, что
Lm(xi) = fi, i=0,...,n.
Теорема.
Существует единственный многочлен степени , удовлетворяющий условиям задачи.
Док-во:
Чтобы найти многочлен Lm(x) нужно найти коэффициенты a0,a1,...an.
Они должны удовлетворять СЛУ
, i=0,...,n.
В системе (m+1) неизвестных, (n+1) уравнение.
Если система крамеровская, то решение существует и единственное.
Пусть m+1= n+1, т.е. m=n.
Главный определитель системы
—определитель Вандермонда.
. Если все узлы различны, то . Теорема доказана.
Замечание (иллюстрация):
Если m<n, СЛУ может быть несовместна.
Например, m=1, n=2, найти линейную функцию (прямую), проходящую через три точки:
Еслиm>n, СЛУ имеет бесконечно много решений.
Например, m=2, n=1, найти квадратичную функцию (параболу), проходящую через две точки: