Рабочая тетрадь по линейке

13	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1.	При каких условиях пространственные прямые ~r = ~r1 + ~a1t и ~r = ~r2 + ~a2t лежат в одной
плоскости?
2.	При каких условиях пространственная прямая ~r = ~r0 + ~at принадлежит плоскости
(~r; ~n) + d = 0?
3.	Найдите радиус-вектор точки пересечения пространственной прямой ~r = ~r0 + ~at с плоско-
стью (~r; ~n) + d = 0.
4.	Пусть точка M0 имеет радиус-вектор	~r0.	Найти радиус-вектор ее проекции на плоскость
(~r; ~n) + d = 0.
5.	Пусть точка M0 имеет радиус-вектор	~r0.	Найти радиус-вектор ее проекции на прямую
~r = ~r1 + ~a t.

6.Пусть система векторов fu1; u2; : : : ; ung линейно независима. Тогда система fu1; u1 +2u2; u1 + 2u2 + 3u3; : : : ; u1 + 2u2 + 3u3 + : : : + nung также линейно независима. Докажите.

7.Сумма диагональных элементов матриц AB и BA совпадают, если только эти матрицы существуют. Докажите.

8.Пусть квадратные матрицы A и B состоят из неотрицательных элементов и в каждой их строке сумма элементов равна 1. Докажите, что матрицы AB и BA также обладают этим свойством.

9.Докажите, что значение определенного интеграла от произведения двух функций может играть роль скалярного произведения для линейного пространства C[a,b] всех непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b].

10.Найдите матрицу оператора дифференцирования многочлена степени не выше n относительно базиса, составленного из всех степеней неизвестной от 0 до n.

11.Пусть A : E ! E линейный оператор, E конечномерное евклидово пространство и dim(Ker(A))>0. Тогда оператор A не обратим. Докажите.

12.Пусть E конечномерное евклидово пространство и ¸ = 0 собственное значение некоторого линейного оператора A : E ! E. Тогда оператор A необратим. Докажите.

13.Пусть E конечномерное евклидово пространство и ¸ собственное значение обратимого

~ ¡1

линейного оператора A : E ! E. Тогда ¸ = 1=¸ собственное значение оператора A : E ! E. Докажите.

14.Пусть E конечномерное евклидово пространство. Докажите, что собственные числа линейного оператора A : E ! E и оператора A¤ : E ! E, сопряженного к нему, совпадают.

15.Пусть E конечномерное евклидово пространство и ¸ собственное значение линейного

~

оператора A : E ! E. Тогда ¸ = 1 ¡ ¸ будет собственным значением оператора Ao = I ¡ A, где I тождественный оператор. Докажите.

16.Покажите, что если строки (столбцы) квадратной матрицы An£n образуют ортонормированный базис пространства Rn, то обратная к ней матрица совпадает с транспонированной к ней.

17.Пусть A : R2 ! R2 линейный оператор поворота плоскости на угол Á 2 (0; 2¼) по часовой стрелке. При каком значении угла он является самосопряженным?

18.Докажите, что коэффиценты разложения любого вектора евклидова пространства относительно ортонормированного базиса совпадают со скалярными произведениями этого вектора на соответствующие элементы этого базиса.

19.При каком условии для матриц верно равенство (A ¡ B)(A + B) = AA ¡ BB ?

21

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Москва: Изд–во МГУ, 1998.

2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Москва: Наука, 1999.

3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Москва: Наука, 1970.

4.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва: Наука, 1998.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва: Наука, 1998.

2.Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: Изд–во Эксмо, 2006.

3.Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Задачи и упражнения. – М.: Изд–во Эксмо, 2006.

4.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Москва: Наука, 1999.

22