DE_math_ch3
.pdf§13. Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений.
Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:
F (t, y, y0, ..., y(n)) = 0,
функция F – задана, t – независимая переменная, y(t) – искомая функция.
(t, y, y0, ..., y(n)) Rn+2
Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешимое относительно высшей производной:
y(n) = f(t, y, y0, ..., y(n−1)), (t, y, y0, ..., y(n−1)) Rn+1
Общий вид системы дифференциальных уравнений:
Fi(t, y1, y10 , ..., y1(k1), ..., y2, y20 , ..., y2(k2), ..., ym, ym0 , ..., ym(km)) = 0,
i = 1, 2, ..., m
Здесь y1 = y1(t), y2 = y2(t), ... , ym = ym(t) искомые функции,
k = (k1 + k2 + ... + km) - порядок системы дифференциальных уравнений.
Системы ДУ, разрешённых относительно старших производных:
yiki = fi(t, y1, y10 , ..., y1(k1−1), ..., y2, y20 , ..., y2(k2−1), ..., ym, ym0 , ..., ym(km−1)), i = 1, 2, ..., m
y1 = y1(t), y2 = y2(t), ... , ym = ym(t) искомые функции,
k = (k1 + k2 + ... + km) порядок системы дифференциальных уравнений.
Если
i = 1, 2, .. m, ki = 1 и Fi = 0
разрешено относительно yi0, то получим систему дифференциальных уравнений в канонической (нормальной) форме:
yi0 = fi(t, y1, y2, ..., ym)
i = 1, 2, ..., m
Перепишем систему заменяя y на x:
x˙ 1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x˙ 2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
. . .
x˙ n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Здесь t независимая переменная, x1, x2, . . . , xn ции от t, x˙ 1 = dxdt1 , x˙ 2 = dxdt2 , . . . x˙ n =
(1)
искомые функ- dxdtn . Независимая
переменная обозначается буквой t и имеет смысл времени.
Системы в нормальной форме, таким образом, характеризуются тремя
признаками:
1.число уравнений совпадает с числом искомых функций;
2.все уравнения – только первого порядка;
3.все уравнения разрешены относительно соответствующих производных.
Удобна векторная запись системы (1). Введем обозначения:
|
x1(t) |
|
|
f1(t, x1, x2, ..., xn) |
|
||
X(t) = |
x2.(t) |
|
, F (t, X) = |
f2(t, x1, x. |
2, ..., xn) |
. |
|
|
.. |
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn(t) |
|
|
fn(t, x1, x2, ..., xn) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторная запись системы (1):
˙ |
(2) |
X = F (t, X). |
Иногда (2) называют уравнением, понимая под искомой величиной не скалярную, а векторную функцию X = X(t).
Решением системы ДУ в канонической форме ˙ называют
X = F (t, X)
любую вектор-функцию
X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T ,
которая при подстановке в систему обращает её в верное тождество по t на некотором интервале (r1, r2).
Функция xi(t) – непрерывно дифференцируема на этом интервале (i = 1, 2, ..., n).
Задача Коши систем ДУ в канонической форме Рассмотрим систему (1)
|
x˙ 1 |
|
|
f1(t, x1, x2, .., xn) |
X˙ = |
x˙ 2 |
|
= F (t, X) = |
f2(t, x1, x2, .., xn) |
|
... |
|
|
.......................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x˙ n |
|
|
fn(t, x1, x2, .., xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t, x1, x2, ..., xn) Rn+1.
Начальные данные – точка в области
t0, x01, x02, .., x0n = t0, X0 .
,
Задача Коши
Найти решение системы (1) X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T , удовлетворяющее начальным условиям:
X(t0) = X0,
то есть
x1(t0) = x01 x2(t0) = x02
.................
x (t ) = x0
n 0 n
Теорема Коши существования и единственности решения
Теорема 1 Пусть функции fi(t, x1, x2, ..., xn) (i = 1, 2, ..., n), непре-
рывны вместе со своими частными производными ∂fi (t, x1, x2, .., xn),
∂xj
(i, j = 1, 2, ..., n) в области переменных t, x1, x2, ..., xn, тогда
1)(t0, X0) существует решение X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T системы (1), такое что X(t0) = X0.
2)Если два решения системы (1) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям, то эти решения совпадают всюду, где они совместно определены (единственность в глобальном смысле).