15 Собств. знач. и собств. вектор ЛО
.pdfЛекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Определение собственных чисел и собственных векторов
Определение
Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если существует действительное число t такое, что
A(x) = tx: |
(1) |
Действительное число t называется собственным значением или собственным числом оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что выполнено равенство (1). При наличии равенства (1) мы будем называть x собственным вектором, относящимся к собственному значению t, а t собственным значением, относящимся к собственному вектору x.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Свойство собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению
Теорема 1
Совокупность всех собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образует подпространство.
Доказательство. Обозначим через M0 множество всех собственных векторов, относящихся к собственному значению t0 и положим
M = M0 [ f0g. Пусть x1; x2 2 M. Если x1 + x2 = 0, то x1 + x2 2 M. Пусть теперь x1 + x2 6= 0. Поскольку
A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) = t0x1 + t0x2 = t0(x1 + x2);
получаем, что x1 + x2 2 M0 M. Аналогично, для любого числа t имеем: если tx1 = 0, то tx1 2 M, а если tx1 6= 0, то
A(tx1) = tA(x1) = t(t0x1) = t0(tx1);
откуда tx1 2 M0 M.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (1)
Теорема 2
Если векторы x1; x2; : : : ; xk являются собственными и относятся к попарно различным собственным значениям t1; t2; : : : ; tk соответственно, то векторы x1; x2; : : : ; xk линейно независимы.
Доказательство будем вести индукцией по числу векторов.
База индукции. Пусть k = 1 и x1 собственный вектор. По определению собственного вектора, x1 6= 0. Поэтому если t1x1 = 0, то t1 = 0. Следовательно, система, состоящая из вектора x1, линейно независима.
Шаг индукции. Предположим, что k > 1 и доказываемое утверждение справедливо для любой системы из менее чем k векторов. Докажем его для произвольной системы из k векторов. Пусть x1; x2; : : : ; xk собственные векторы оператора A, относящиеся к попарно различным собственным значениям t1; t2; : : : ; tk . Пусть
s1x1 + s2x2 + + sk 1xk 1 + sk xk = 0 |
(2) |
для некоторых чисел s1; s2; : : : ; sk 1; sk .
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (2)
Используя замечание 1 из лекции 14, имеем
0= A(0) = A(s1x1 + s2x2 + + sk 1xk 1 + sk xk ) =
=s1A(x1) + s2A(x2) + + sk 1A(xk 1) + sk A(xk ) =
=s1t1x1 + s2t2x2 + + sk 1tk 1xk 1 + sk tk xk :
Итак,
s1t1x1 + s2t2x2 + + sk 1tk 1xk 1 + sk tk xk = 0: |
(3) |
С другой стороны, умножая обе части равенства (2) на tk , получаем, что
s1tk c1 + s2tk x2 + + sk 1tk xk 1 + sk tk xk = 0: |
(4) |
Вычитая равенство (4) из (3), получаем, что
s1(t1 tk )x1 + s2(t2 tk )x2 + + sk 1(tk 1 tk )xk 1 = 0:
По предположению индукции векторы x1; x2; : : : ; xk 1 линейно независимы. Следовательно, s1(t1 tk ) = s2(t2 tk ) = = sk 1(tk 1 tk ) = 0. Поскольку числа t1; t2; : : : ; tk 1; tk попарно различны, получаем, что
s1 = s2 = = sk 1 = 0. Из равенства (2) вытекает теперь, что sk xk = 0. Учитывая, что xk 6= 0 (поскольку вектор xk собственный), получаем, что sk = 0. Итак, если выполнено равенство (2), то
s1 = s2 = = sk 1 = sk = 0. Следовательно, векторы x1; x2; : : : ; xk 1; xk линейно независимы. Теорема доказана.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Нахождение собственных значений и собственных векторов (1)
Пусть A линейный оператор, действующий в векторном пространстве V . Зафиксируем некоторый базис пространства V и обозначим через A матрицу оператора A в этом базисе. Для произвольного вектора x 2 V обозначим через X столбец его координат в выбранном базисе. В силу замечания 3 из лекции 14 равенство (1) равносильно матричному равенству AX = tX. Последнее равенство можно переписать в виде
AX = tEX, где E единичная матрица того же порядка, что и A. Следовательно, AX tEX = O, где O нулевой столбец. Последнее равенство можно переписать в виде
(A tE)X = O: |
(5) |
Мы получили матричную запись системы линейных уравнений, основная матрица которой содержит параметр t. Эта система крамеровская (так как ее основная матрица квадратная) и однородная. Очевидно, что
собственными значениями оператора A являются те значения параметра t, при которых система (5) имеет ненулевые решения, и только они; собственными векторами этого оператора являются ненулевые решения системы (5) и только они.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Нахождение собственных значений и собственных векторов (2)
В силу следствия 4 из лекции 6 справедливо следующее
Предложение 1
Пусть V векторное пространство, а A линейный оператор в пространстве V .
а) Число t является собственным значением линейного оператора A тогда и только тогда, когда t 2 R и
jA tEj = 0: |
(6) |
б) Собственными векторами линейного оператора A, относящимися к его собственному значению t0, являются ненулевые решения системы линейных уравнений (A t0E)X = 0 и только они.
Легко понять, что jA tEj многочлен n-й степени, где n = dim V .
Определение
Многочлен jA tEj называется характеристическим многочленом
линейного оператора A, а уравнение (6) характеристическим уравнением этого оператора.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Инвариантность характеристического многочлена относительно выбора базиса
В определении характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора фигурирует матрица этого оператора в некотором базисе. Следующее предложение показывает, что в действительности характеристический многочлен (а значит и характеристическое уравнение) не зависит от выбора базиса.
Предложение 2
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V , F и G два базиса в V , а AF и AG матрицы оператора A в базисах F и G соответственно. Тогда jAF tEj = jAG tEj.
Доказательство. Обозначим через T матрицу перехода от базиса F к базису G. Используя формулу (2) из лекции 14 и лемму 1 из той же лекции, получаем, что AG = T 1AF T. Ясно, что T 1ET = T 1T = E. Используя свойства умножения матриц и свойства определителей, имеем jAG tEj = jT 1AF T tT 1ETj = jT 1AF T T 1(tE)Tj =
= jT 1(AF tE)Tj = jT 1j jAF tEj jTj =
1
= jTj jAF tEj jTj = jAF tEj:
Предложение доказано.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (1)
В качестве примера найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
A = |
00 0 |
0 |
0 |
1 |
: |
|
2 1 |
1 |
0 |
C |
|
|
B2 0 |
1 |
0 |
|
|
|
B0 1 |
0 |
0 |
C |
|
|
@ |
|
|
A |
|
Вычислим характеристический многочлен этого оператора. Разлагая соответствующий определитель сначала по четвертому столбцу, а затем по второй строке, имеем:
2 t 1 1 0
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
A |
|
tE |
j |
= |
|
0 |
0 |
0 |
|
= t2 |
(2 |
|
t)( |
|
1 |
|
t) + 2 = |
|
|
|
|
2 |
0 |
1 t 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t2( 2 + t 2t + t2 + 2) = t2(t2 t) = t3(t 1):
Характеристическое уравнение данного оператора, т. е. уравнение
t3(t 1) = 0, имеет два корня: t1 = 0 и t2 = 1. Мы нашли собственные значения оператора.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |
Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (2)
Найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению t1. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы с основной матрицей A t1E = A 0 E = A. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:
A = |
00 0 0 |
0 |
1 |
00 0 |
0 |
0 |
1 |
00 1 |
0 |
0 1: |
||
|
2 1 |
1 0 |
C |
2 1 |
1 0 |
C |
2 1 |
1 0 |
C |
|||
|
B2 0 1 0 |
B0 0 0 |
0 |
B0 0 |
0 |
0 |
||||||
|
B0 1 |
0 |
0 |
C B0 1 |
0 |
0 |
C B0 0 |
0 |
0 |
C |
||
|
@ |
|
|
A |
@ |
|
|
A |
@ |
|
|
A |
Система линейных уравнений, соответствующая последней матрице, имеет две свободных переменных: x3 и x4. Полагая сначала x3 = 1, x4 = 0, а затем x3 = 0, x4 = 1, находим два вектора, образующих фундаментальную систему решений нашей однородной системы: f1 = ( 12 ; 0; 1; 0) и
f2 = (0; 0; 0; 1). Они образуют базис пространства решений нашей системы. Совокупность всех ее решений это множество всех векторов вида c1f1 + c2f2, где c1; c2 2 R. Все эти векторы, кроме нулевого, и только они суть собственные векторы нашего оператора, отвечающие собственному значению t1. Будучи базисом, векторы f1 и f2 линейно независимы. Следовательно, c1f1 + c2f2 = 0 тогда и только тогда, когда c1 = c2 = 0. Таким образом, собственными векторами нашего оператора,
отвечающими собственному значению t1, являются векторы вида ( 12 ; 0; 1; 0)c1 + (0; 0; 0; 1)c2, где c12 + c22 6= 0, и только они.
Б.М.Верников |
Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы |