13. Смешанное произведение векторов
.pdf§ 13. Смешанное произведение векторов
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
§ 13. Смешанное произведение векторов
Определениесмешанногопроизведения
Определение
|
|
~ |
|
|
Смешанным произведением векторов ~a, b и ~c называется число, равное |
|
|||
|
|
|
~ |
|
скалярному произведению векторного произведения векторов ~a и b на |
|
|||
вектор ~c. Смешанное произведение векторов |
~ |
~ |
||
~a, b,~c обозначается через ~ab~c |
||||
~ |
~ |
~ |
|
|
или (~a, b,~c). Таким образом, ~ab~c = (~a × b)~c. |
|
|
Как и в случае со скалярным произведением, результатом смешанного произведения является число. Поэтому смешанное произведение не является алгебраической операцией на множестве всех векторов в смысле определения, данного в § 4.
§ 13. Смешанное произведение векторов
Критерийкомпланарностивекторов
Первым утверждением, показывающим полезность понятия смешанного произведения, является следующий факт.
Критерий компланарности векторов
~ |
Векторы ~a, b и ~c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное |
произведение равно нулю. |
|
|
|
|
|
~ |
Доказательство. Необходимость. Предположим, что векторы ~a, b и ~c |
|||||
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
компланарны. Если ~a k b, то ~a × b = 0, и потому ~ab~c = (~a × b,~c) = 0. |
|||||
~ |
|
|
~ |
|
|
Пусть теперь ~a b. Отложим векторы |
~a, b и ~c от одной точки. Тогда они |
||||
|
|
|
~ |
|
|
будут лежать в некоторой плоскости. Вектор ~a × b ортогонален этой |
|||||
|
|
|
|
~ |
~ |
плоскости, а значит, и вектору ~c. Следовательно, ~ab~c |
= (~a × b,~c) = 0. |
||||
~ |
|
|
|
|
~ |
Достаточность. Если ~a k b, то компланарность векторов ~a, b и ~c очевидна. |
|||||
~ |
|
|
|
~ |
отложены от одной |
Пусть теперь ~a b. Будем считать, что векторы ~a, b,~c |
|||||
~ |
|
|
|
|
~ |
и той же точки. Пусть ~ab~c = 0. Это означает, что |
(~a × b,~c) = 0. |
||||
|
~ |
|
|
|
~ |
Следовательно, вектор ~a × b ортогонален вектору |
~c. Но вектор ~a × b |
ортогонален плоскости , образованной векторами и ~. Поскольку
σ ~a b ~c
ортогонален этому вектору, то он лежит в σ. А это означает, что векторы
~ |
компланарны. |
|||||
~a, b и ~c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
§ 13. Смешанное произведение векторов |
Геометрическийсмыслсмешанногопроизведения(1)
Следующее утверждение указывает еще одно важное для приложений свойство смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения
Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен модулю их смешанного произведения.
|
|
|
|
~ |
|
Доказательство. Предположим сначала, что тройка (~a, b,~c) правая. |
|
||||
Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 1 на следующем слайде. |
|
||||
~ |
|
|
|
|
|
Отложим векторы ~a, b и ~c от некоторой точки O. Пусть точка C такова, |
|
||||
−→ |
|
~ |
|
||
что OC = ~c, а D проекция точки C |
на плоскость векторов ~a и b, |
|
|||
которую мы обозначим через π. Угол между вектором ~c и плоскостью π |
|
||||
|
|
|
|
~ |
|
обозначим через α, а угол между векторами ~a × b и ~c через β. . |
|
||||
Учитывая, что α + β = |
π |
, и потому sin α = cos β, и используя |
|
||
2 |
|
||||
геометрический смысл векторного произведения (см. § 12), имеем |
|
||||
~ |
|
~ |
|
||
V = Sосн · h = |~a × b| · |CD| = |~a × b| · |~c| · sin α = |
|
||||
~ |
|
|
~ |
~ |
|
= |~a × b| · |~c| · cos β = (~a × b,~c) = ~ab~c. |
|
||||
~ |
|
~ |
|
||
Предположим теперь, что тройка (~a, b,~c) левая. Тогда тройка (b,~a,~c) |
правая. Но эти две тройки определяют один и тот же параллелепипед. В
силу доказанного выше объем этого параллелепипеда равен ~ . b~a~c
§ 13. Смешанное произведение векторов
Геометрическийсмыслсмешанногопроизведения(2)
Пользуясь свойствами векторного произведения, получаем, что
~ = [ ~] = −[~ ] = − [~ ] = −~ = −
~ab~c ~a, b ~c b,~a ~c b,~a ~c b~a~c V ,
и потому | ~ | = | − | = .
~ab~c V V
C s
~c
× ~ ~a b
β ~
b
α |
π |
ssD
O
~a
Рис. 1. Вычисление объема параллелипипеда
§ 13. Смешанное произведение векторов
Ориентациятройкивекторовизнаксмешанногопроизведения
Из доказательства геометрического смысла смешанного произведения вытекает следующий факт, который объясняет, почему правая тройка векторов называется положительно ориентированной, а левая отрицательно ориентированной.
Замечание об ориентации тройки векторов
( ~ )
Тройка векторов ~a, b,~c является правой тогда и только тогда, когда их смешанное произведение больше нуля, и левой тогда и только тогда, когда оно меньше нуля.
§ 13. Смешанное произведение векторов
Свойствасмешанногопроизведения
Перечислим теперь алгебраические свойства смешанного произведения векторов.
Свойства смешанного произведения
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
Если ~a, b,~c и d произвольные векторы, а t произвольное число, то: |
|||||||
1) |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
(~a, b,~c) = (b,~c,~a) = (~c,~a, b) = −(~a,~c, b) = −(~c, b,~a) = −(b,~a,~c); |
|||||||
2) |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
(t~a, b,~c) = (~a, tb,~c) = (~a, b, t~c) = t · (~a, b,~c); |
|
|
|||||
3) |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
(~a + b,~c |
, d) = (~a,~c, d ) + (b,~c, d) (смешанное произведение |
||||||
|
дистрибутивно относительно сложения векторов по первому |
||||||
|
аргументу); |
|
|
|
|
|
|
4) |
~ |
~ |
~ ~ |
|
~ |
|
|
(~a, b + ~c |
, d) = (~a, b, d) + (~a,~c, d) (смешанное произведение |
||||||
|
дистрибутивно относительно сложения векторов по второму |
||||||
|
аргументу); |
|
|
|
|
|
|
5) |
~ |
~ |
~ |
|
~ ~ |
|
|
(~a, b,~c + d) = (~a, b,~c) + (~a, b, d) (смешанное произведение |
дистрибутивно относительно сложения векторов по третьему аргументу).
§ 13. Смешанное произведение векторов
Доказательствосвойств1)и2)смешанногопроизведения
|
~ |
~ |
Доказательство свойства 1). Упорядоченные тройки (~a, b,~c) и (b,~c,~a) |
||
имеют одну и ту же ориентацию и определяют один и тот же |
|
|
параллелепипед. В силу геометрического смысла смешанного |
|
|
~ |
~ |
|
произведения, смешанные произведения ~ab~c |
и b~c~a либо оба равны объему |
этого параллелепипеда, взятому со знаком плюс, либо оба равны объему
|
|
~ |
~ |
этого параллелепипеда, взятому со знаком минус, и потому ~ab~c = b~c~a. |
|||
~ |
~ |
проверено в процессе доказательства |
|
Равенство ~ab~c = −b~a~c |
|
геометрического смысла смешанного произведения. Остальные равенства из свойства 1) доказываются аналогично одному из этих двух.
Доказательство свойства 2). Используя свойство 1) смешанного произведения и свойство 3) скалярного произведения (см. § 11), имеем
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
(t~a, b,~c) = (b,~c, t~a) = (b × ~c, t~a) = t · (b × ~c,~a) = t · (b,~c,~a) = t · (~a, b,~c). |
|||||
|
|
|
~ |
~ |
|
Аналогично доказывается равенство (~a, tb,~c) = t · (~a, b,~c). Наконец, |
|||||
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
(~a, b, t~c) = (~a × b, t~c) = t · (~a |
× b,~c) = t · (~a, b,~c). |
Свойство 2) доказано.
§ 13. Смешанное произведение векторов
Доказательствосвойств3)–5)смешанногопроизведения
Свойства 3)–5) доказываются аналогично друг другу, мы докажем только первое из них. Используя свойство 1) смешанного произведения и свойство 2) скалярного произведения (см. § 11), имеем
~ ~ |
~ |
~ |
~ ~ |
|
(~a + b,~c, d) = (~c, d ,~a + b) = (~c × d,~a + b) = |
|
|||
~ |
~ ~ |
~ |
~ ~ |
~ ~ ~ |
= (~c × d,~a) + (~c × d , b) = (~c, d ,~a) + (~c, d , b) = (~a,~c, d) + (b,~c, d).
Свойство 3) доказано.
§ 13. Смешанное произведение векторов
Доказательствосвойств2)и3)векторногопроизведения
Два свойства, указанных в заголовке слайда, были сформулированы в
§ 12, но не были там доказаны. Напомним, в чем они состоят. Пусть ~ и ~a, b
~c произвольные векторы, а t произвольное число. Свойство 2) утверждает, что
~ |
~ |
~ |
[t~a, b] = [~a, tb] = t[~a, b], |
||
а свойство 3) что |
|
|
~ |
|
~ |
[~a + b,~c] = [~a,~c] + [b,~c].
В силу ослабленного закона сокращения для скалярного произведения (см. § 11), для их доказательства достаточно установить, что для любого
|
|
~ |
~ |
|
вектора ~x выполняются равенства ([t~a, b], ~x) = (t · [~a, b], ~x) и |
|
|||
~ |
~ |
|
|
|
([~a + b,~c], ~x) = ([~a,~c] + [b,~c], ~x). Имеем |
|
|
||
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
([t~a, b], ~x) = (t~a, b, ~x) = t(~a, b, ~x) = t · ([~a, b], ~x) = (t · [~a, b], ~x); |
||||
~ |
|
~ |
~ |
|
([~a + b,~c], ~x) = (~a |
+ b,~c, ~x) = (~a,~c, ~x) + (b,~c, ~x) = |
|
||
|
~ |
~ |
|
|
=([~a,~c], ~x) + ([b,~c], |
~x) = ([~a,~c] + [b,~c], ~x). |
|
|
Оба свойства доказаны.
§ 13. Смешанное произведение векторов