Алгебра
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Часть 1. АЛГЕБРА
Курс высшей математики для бакалавров
Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук Л.П. Мохрачева
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 270800 «Строительство» всех форм обучения
Екатеринбург
УрФУ
2012
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73
М 33
Рецензенты:
Кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. кафедрой физики УЛГУ, д-р физ.мат. наук, проф. М.П.Кащенко); д-р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН
Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, И.А. Батекина, Л.П. Мохрачева
М 33 МАТЕМАТИКА. Ч. 1. Алгебра: учебно-методическое пособие / А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, И.А. Батекина, Л.П. Мохрачева. Екатеринбург: УрФУ, 2012. 107с.
ISBN
Данное пособие представляет собой первую часть базового курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: основы теории матриц и определителей, решения систем линейных уравнений.
Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, текст домашнего задания, титул и текст индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73
ISBN |
© УГТУ-УПИ, 2012 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ............................................................................................. |
4 |
|
1.1. Матрицы............................................................................................................................. |
4 |
|
1.1.1. Определение матрицы. Виды матриц...................................................... |
4 |
|
1.1.2. Операции над матрицами и их свойства................................................. |
5 |
|
1.2. Определители второго, третьего и n-го порядков ............................................................ |
8 |
|
1.2.1. Определение определителя 2-го 3-го и n- го порядков............................. |
8 |
|
1.2.2. Свойства определителей .......................................................................... |
9 |
|
1.2.3. Методы вычисления определителей произвольного порядка................ |
12 |
|
1.3. Обратная матрица............................................................................................................ |
15 |
|
1.4. Матричные уравнения ..................................................................................................... |
17 |
|
1.5. Ранг матрицы ................................................................................................................... |
19 |
2. |
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ .............................................................................. |
20 |
|
2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными ...................................................... |
20 |
|
2.2. Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными……….….22 |
|
|
2.3. Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными……...23 |
|
|
2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений..................................................... |
25 |
|
2.5. Однородные системы ...................................................................................................... |
26 |
3. |
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ............................................................................................... |
30 |
|
3.1. Определители второго и третьего порядка и их свойства ............................................. |
30 |
|
3.2. Определители n–го порядка ............................................................................................ |
34 |
|
3.3. Матрицы и действия с ними............................................................................................ |
37 |
|
3.4. Системы линейных уравнений........................................................................................ |
42 |
4. |
ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ....................................................................................................... |
57 |
|
4.1. ДЗ № 1. Матрицы и определители .................................................................................. |
57 |
|
4.2. ДЗ № 2. Системы линейных уравнений.......................................................................... |
60 |
5. |
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1………………………………………………………………........62 |
|
|
5.1. Титульный лист ............................................................................................................... |
62 |
|
5.2. Варианты......................................................................................................................... |
63 |
6. |
ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ............................................................. |
93 |
7. |
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ..................................................................... |
94 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………………...……………………106 |
3
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1.Матрицы
1.1.1.Определение матрицы. Виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел aij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n , расположенных в m строках и n столбцах:
a11
A a21
am1
a12 a1n a22 a2n
.
am2 amn
Числа aij называются элементами матрицы.
Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой и имеет вид:
А a1 a2 a3 ...an . Матрица размера m 1 называется матрицей-столбцом и имеет вид:
|
a1 |
|
|
a |
|
В |
2 |
. |
...
am
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( m n ), при этом число n называется порядком матрицы.
Пример квадратной матрицы 3-го порядка:
|
|
|
a 1 1 |
a 1 2 |
a 1 3 |
|
A |
|
|
a 2 1 |
a 2 2 |
a 2 3 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
a 3 1 |
a 3 2 |
|
|
|
|
|
a 3 3 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд элементов квадратной матрицы, лежащих на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, – побочной диагональю матрицы. Элементы, стоящие на главной диагонали,
имеют вид aii , i 1,2,...,n .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней)
треугольной.
Пример верхней треугольной матрицы третьего порядка:
4
a11 |
a12 |
|
|
0 |
a22 |
|
||
|
0 |
0 |
|
a13
a23 . a33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие
выше и ниже главной диагонали, равны нулю ( aij 0 |
при i j ), называется |
|||||
диагональной: |
|
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
0 |
a22 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
||||
... |
... |
... |
... |
. |
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
ann |
|
Очевидно, что диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:
|
1 |
0 |
0 |
|
|
E |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
. |
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается O .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и все их соответствующие элементы совпадают.
1.1.2.Операции над матрицами и их свойства
1.Сложение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой матриц A aij и |
B bij |
одинаковой раз- |
мерности m n называется матрица C A B , |
элементы |
которой равны |
cij = aij +bij , где i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n . |
|
|
Свойства операции сложения: |
|
|
С в о й с т в о 1 . A B B A. |
|
|
С в о й с т в о 2 . |
A B C A B C . |
С в о й с т в о 3 . |
A O A. |
З а м е ч а н и е . О п е р а ц и ю в ы ч и та н и я м а тр и ц о п р е д е л я е м к а к о б р а тн у ю д л я о п е р а ц и и с л о ж е н и я т . е . A B C , п р и - ч ё м C B A . Та к и м о б р а з о м cij = aij -bij , i 1,2,..., m ; j 1,2,...,n .
5
2. Умножение матрицы на число
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A на число называется мат-
рица C A, |
элементы которой удовлетворяют равенству: cij aij , где |
i 1,2,..., m ; j |
1,2,...,n . |
Свойства операции умножения на число:
Св о й с т в о 4. A 1 A O .
Св о й с т в о 5. A A .
Св о й с т в о 6. A B A B .
Св о й с т в о 7. A A A .
Св о й с т в о 8. 0 A O ; 1 A A .
За м е ч а н и е. Используя операцию умножения на число, операция вычитания матриц определяется следующим образом A B A 1 B .
ПРИМЕР: Найдите 3А+2В, если
2 1 |
1 |
, |
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
A |
0 1 |
|
B |
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
3 |
3 |
4 |
2 |
0 |
|
2 |
5 |
3 |
||||||
Решение: 3A 2B |
0 |
3 |
12 |
|
|
6 |
4 |
4 |
|
|
6 |
7 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Умножение матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A размерности (m n) на мат-
рицу B размерности (n k) называется матрица C=AB размерности (m k), элементы которой находятся по формуле:
n |
|
cij aiqbqj ai1b1 j ai2b2 j ainbnj , где i 1,2,..., m ; |
j 1,2,...,k , |
q 1 |
|
т.е. cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на элементы
j–го столбца матрицы B. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.
|
|
|
4 |
1 |
||
ПРИМЕР: Найдите АВ, если A 1 2 |
3 , |
B |
|
5 |
2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Решение: C AB 1 4 2 5 3 6 1 1 2 2 3 3 32 14 ,
размерность матрицы C 1 2 .
Свойства операции умножения:
С в о й с т в о 9. AB C A BC .
6
Св о й с т в о 10. A B C AC BC .
Св о й с т в о 11. A B C AB AC .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются перестановочными (ком-
мутирующими), если AB BA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В общем случае произведение матриц не коммутативно: AB BA. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР: Найдите AB и BA, если A |
3 |
|
, B |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 1 |
2 |
3 |
6 |
|
1 |
2 1 |
2 |
7 |
10 |
|||||
Решение: AB |
|
|
|
14 |
, B A |
|
3 |
|
|
7 |
10 |
. |
|||
3 |
4 1 |
2 |
7 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
Св о й с т в о 12. AE EA A.
Св о й с т в о 13. AO OA O .
4. Транспонирование матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если матрица А имеет размерность m n , то транспо-
нированная матрица AT имеет размерность n m , а её элементы определя-
ются равенством aTji aij .
Иными словами, строки матрицы становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками:
|
a |
a |
a |
|
|
|
a11 |
|
a21 am1 |
|||||
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
a12 |
|
a22 am2 |
||||
|
a |
21 |
a |
a |
|
|
T |
|
|
|||||
A |
|
22 |
|
2n |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
a1n |
|
amn |
|||||||
Например, для |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
2 |
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
A |
5 |
6 |
|
, A |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A совпадает со своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется симметрической.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица A отличается множителем 1 от своей транспонированной, т.е. AT A , то такая матрица называется кососим-
метрической.
Операция транспонирования имеет следующие свойства:
Свойство 14. AT T A. Свойство 15. A B T AT BT .
7
Свойство 16. AB T BT AT .
1.2.Определители второго, третьего и n-го порядков
1.2.1. Определение определителя 2-го 3-го и n- го порядков
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы
a |
a |
|
|
|
|
|
|
a12a21 и обозначаемое |
||||||||
11 |
12 |
|
называется число, равное a11a22 |
|||||||||||||
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
d e t |
|
a |
1 1 |
a1 2 |
|
|
a1 1 a 2 2 a1 2 a 2 1 . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a 2 1 |
a 2 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР: |
|
|
|
|
1 4 3 2 2 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
||||
A |
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|||
a21 |
называется число, равное |
|
|
|||||||
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|||
|
a31 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
det |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 .
Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), его можно пояснить следующими схемами, на которых элементы, входящие в одно произведение с указанным знаком, соединены отрезками.
ПРИМЕР:
1 4 2
0 3 1
2 1 5
1 3 5 4 1 2 2 0 1 2 3 2 1 1 1 4 0 5 20 .
Чтобы дать определение определителя n-го порядка нужно ввести некоторые новые понятия.
8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановкой из n чисел 1,2,…, n называется всякое расположение этих чисел в определённом порядке. Число перестановок из n чисел равно n!.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа i, j составляют инверсионную пару в перестановке, если i>j, но i встречается в перестановке раньше, чем j.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перестановка называется чётной, если число инверсионных пар чётно, и нечётной, если - нечётно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование перестановки, при котором меняются местами два символа, называется транспозицией.
Теорема. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
Две перестановки, записанные другом под другом, образуют подстановку. Канонической подстановкой называется подстановка вида
1 |
2 |
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
1 |
3 n |
Число инверсионных пар в обеих перестановках, образующих подстановку, определяет чётность подстановки. Справедливо утверждение: транспозиция не изменяет четности подстановки.
Введённые выше понятия позволяют дать определение определителя любого порядка в общем виде:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём слагаемое входит со знаком плюс, если подстановка, образованная индексами элементов матрицы чётная и со знаком минус – если нечётная. Согласно этому определению определитель n-го порядка записывается в виде
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
1 s a1 1a2 2 an n , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
|
|
где s - чётность подстановки |
1 |
2 |
|
3 n |
|||
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
1 |
|
3 n |
1.2.2 Свойства определителей
Перечислим свойства определителей для определителей n -го порядка.
Для наглядности эти свойства проиллюстрированы на примерах определителей третьего порядка.
9
Св о й с т в о 1 . Определитель матрицы А не меняется при ее транспонировании: AT A .
Св о й с т в о 2 . При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например,
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
Св о й с т в о 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Св о й с т в о 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
k a11 |
a12 |
a1 3 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
k a 2 1 |
a 22 |
a 23 |
k |
a 21 |
a 22 |
a2 3 |
, k co n st . |
k a3 1 |
a3 2 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a3 3 |
|
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на это число.
С в о й с т в о 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю. Например
a11 |
a12 |
a13 |
0 |
0 |
0 0 |
.
a31 a32 a33
Св о й с т в о 6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Св о й с т в о 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Например
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
||
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
21 |
21 |
22 |
23 |
|
21 |
22 |
23 |
|
21 |
22 |
23 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
a/ |
a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
31 |
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
С в о й с т в о 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится.
Например
10