Lab_N17
.pdfФедеральное агентство по образованию ГОУ ВПО “Уральский государственный технический
университет – УПИ”
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Методические указания к лабораторной работе № 17 по физике для студентов всех форм обучения всех специальностей
Екатеринбург 2006
УДК 538.522
Составители В.В. Лобанов, Н.Д.Ватолина Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук Ф.А. Сидоренко
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ: Методические указания к лабораторной работе № 17 по физике / В.В. Лобанов, Н.Д.Ватолина Екатеринбург: УГТУ, 2006.16 с.
В работе приведены рекомендации по измерению затухающих электромагнитных колебаний
Подготовлено кафедрой физики.
©Уральский государственный
технический университет, 2006
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Лабораторная работа N17
В работе изложен метод исследования электрических колебаний с помощью электронного осциллографа, позволяющий рассчитать характеристики затухающих колебаний в контуре.
Цель настоящей лабораторной работы - изучение некоторых характеристик электромагнитных колебаний путем измерений электрических величин в реальном колебательном контуре.
Электрические цепи, называемые колебательными контурами, являются основой электро- и радиотехники, поэтому изучение процессов, в них происходящих, представляет значительный интерес для инженерной практики.
Работа содержит три задачи: в первой Вы должны с помощью осциллографа изучить график и составить уравнение затухающих колебаний в контуре; во второй - измерить характеристики контура, определяющие интенсивность затухания колебаний; и в третьей -
изучить апериодический режим колебательного контура. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1. Затухающие электрические колебания |
|
|
||||||
|
Колебательный контур - это электрическая цепь (рис.1), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
состоящая из конденсатора C , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
катушки |
индуктивностиL |
и |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
активного сопротивления R . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Источник тока ε и перекдючатель |
||||||
|
|
|
|
|
|
П нужны только в начальный |
||||||
|
|
|
|
|
|
момент |
для |
|
|
зарядки |
||
|
|
|
|
|
|
конденсатора. Напомним, что в |
||||||
|
|
|
|
|
|
этой |
цепи |
|
происходит |
|||
|
|
|
|
|
|
периодический |
обмен |
энергией |
||||
|
|
|
|
|
|
между |
электрическим |
полем |
||||
|
|
|
|
|
|
конденсатора (W = |
q 2 |
, где |
q - |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заряд на обкладках конденсатора) |
||||||
|
|
|
|
|
|
и магнитным |
полем |
катушки |
||||
|
|
LI |
2 |
|
|
|||||||
(W = |
, где I - разрядный ток, протекающий через катушку). |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R ≠ 0) |
||
Составим уравнение колебаний, происходящих в реальном |
||||||||||||
колебательном контуре. По закону сохранения энергии |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−d(W |
+W )= I 2 Rdt . |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
E |
B |
|
|
|
|
|
|
В уравнении |
(1) записано, что полная |
энергия контура |
|
(W =WE +WB ) |
убывает со временем |
(знак |
минус), переходя в |
"джоулево" тепло (первая часть). В это |
уравнение вместо WE и WB |
надо подставить их значения, продифференцировать по времени и разделить обе части на произведение LIdt . Учитывая, что
|
|
dq |
|
dl |
|
|
2 |
.. |
|
|
R |
|
|
I = |
= q , и |
= |
d |
|
q |
= q |
и |
вводя обозначения |
= β и |
||||
1 |
|
dt |
|
dt |
|
dt 2 |
|
|
2L |
|
|||
|
=ω02 , окончательно получим |
|
|
|
|||||||||
LC |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 q = 0. |
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
q+ 2βq |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Перед нами однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его зависит от соотношения между ω20 и
β2
Возможны три варианта. |
|
а). При β2 <ω02 решение уравнения (2) имеет вид: |
|
q = q0 e−βt cos(ωt +ϕ0 ), |
(3) |
из которого следует, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по периодическому закону, а амплитудное значение убывает ("затухает") со временем по экспоненциальному закону
(рис.2).
Частота затухающих колебаний
|
|
ω = |
|
ω02 − β2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||
где ω02 = |
1 |
и β = |
R |
|
, β - коэффициент затухания. |
|
|||||||||
LC |
2L |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Период затухающих колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
T = |
2π |
= |
2π |
= |
2π |
|
. |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
ω |
ω |
2 |
− β |
2 |
1 |
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC − |
4L2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б). Из (4) и (5) видно, что с ростом β период колебаний увеличивается и при β2 →ω20 T → ∞ . При этих условиях колебания
вконтуре прекращаются. Значение сопротивления контура,
удовлетворяющего
|
условию |
βKP2 =ω02 |
, |
|
называют критическим. |
Из |
|
|
(5) следует: |
|
|
|
RKP = 2 |
L , |
(6) |
|
|
C |
|
|
|
в) При β2 >ω02 |
|
|
решение уравнения (2) |
||
|
представляет собой сумму |
||
|
экспонент с |
|
|
|
вещественными |
|
|
|
показателями. Это |
|
|
Рис. 2. Амплитуда затухающих |
означает, что |
|
|
колебаний |
электрический контур, |
получив энергию извне, возвращается в исходное состояние,
не совершая колебаний. Полученная энергия с некоторой задержкой во времени переходит в тепловую. Этот надкритический процесс получил название апериодического (непериодического) разряда. Возможные для разных начальных
условий виды зависимости q(t) изображены на рис.3. Разделив на C (емкость конденсатора) левую и правую часть уравнения (3), получим уравнение
Рис. 3. Апериодический разряд
затухающих колебаний для напряжения на обкладках конденсатора
U =U 0e−βt cos(ωt +ϕ0 ). |
(7) |
График зависимости U(t), построенный по уравнению (7), |
|
имеет вид, изображенный на рис.4.
Видно, что напряжение на обкладках конденсатора изменяется периодически. При этом множитель U m =U 0 e−βt , играющий роль амплитуды колебаний, убывает со временем по экспоненциальному закону (пунктирная кривая на рис. 4). Скорость уменьшения амплитуды колебаний определяется коэффициентом затуханияβ .
Рис.4. Зависимость U(t) для затухающих колебаний
По графику можно экспериментально определить значение периода колебаний T , амплитуду напряжения на конденсаторе U 0
в начальный момент времени, напряжение на конденсаторе в этот же
момент времени U 0 cosϕ0 и начальную фазу колебаний ϕ0 .
Отметим несколько характеристик, определяющих интенсивность затухания: - логарифмический декремент затухания λ - натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, отличающихся по времени на один период. По определению
|
|
U 0e−βt |
−βt +βt +βt |
|
βT |
|
|
|||
λ = ln |
|
|
|
|
= ln e |
|
= ln e |
|
= βT . |
(8) |
|
|
e |
−β(t +T ) |
|
|
|||||
U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На практике для оценки λ удобнее сравнивать амплитуды колебаний, отстоящих друг от друга во времени на N периодов:
|
1 |
ln |
|
U 0e |
−βt |
; |
|
1 |
ln e |
βNT |
|
|
|
|
λ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= βT |
; |
(9) |
|||
N |
|
|
−β(t +NT ) |
N |
|
|||||||||
|
U |
0e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
время релаксации τ - это промежуток времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:
e = |
U 0e−βt |
; e = eβτ ; βτ =1; τ = |
1 |
; |
(10) |
||
|
β |
||||||
|
U |
0e |
−β(t +τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- количество полных колебаний за время релаксации Nτ
определяется по формуле Nτ = τT . Из уравнений (8) и (10) следует,
что
Nτ = |
1 |
; |
(11) |
|
λ |
||||
|
|
|
- по определению добротность колебательного контура Q равна количеству полных колебаний за время релаксации, умноженному на π .
Q =πNτ = πλ . |
2 <<ω2 |
|
(12) |
|
В случае слабого затухания |
β |
добротность |
контура |
|
|
|
0 |
|
|
оценивается через его параметры по приближенной формуле |
|
|||
Q = |
1 |
L . |
|
(13) |
|
R |
C |
|
|
Экспериментальная часть
На лабораторном стенде собрана электрическая схема, изображенная на рис.5. Схема возбуждения затухающих колебаний служит для автоматического подключения контура к источнику
Рис.5. Блок-схема установки
питания через равные промежутки времени, намного большие периода колебаний.
Подготовьте схему и осциллограф к работе:
а) один из вертикальных входов осциллографа соедините с клеммами магазина сопротивлений R маг и конденсатора С ;
б) включите осциллограф (кнопка "Питание") и дайте ему прогреться (1-2 мин). Переключатель "Развертка. Синхронизация" установите в положение 50 или 20 , или 0,1. Переключатель "Канал 1" поставьте в положение 10, 20 или 50 . Слева и справа от экрана осциллографа нажмите кнопки "I". На экране должна появиться характерная картина затухающих колебаний (см. рис.2 или рис.4). Отчетливой картины добейтесь, вращая ручку "Синхронизация". Ручками " 7" и " ↔ " добейтесь центровки изображения;
в) осциллограф является измерительным прибором, поэтому научитесь определять цену деления и предел измерения по обеим осям шкалы, нанесенной на экране осциллографа. Цену одного большого деления по оси x (это временная ось) указывает переключатель "Развертка. Синхронизация". Цену одного большого деления по оси y (это ось электрического сигнала) указывает переключатель "Канал 1". Запишите в отчет тип осциллографа и цену деления по осям x и y. Запишите характеристики магазина сопротивлений.
Задача 1. Построение графика затухающих колебаний. Уравнение затухающих колебаний
1.1.На магазине сопротивлений установите минимальное
сопротивление контура R маг = 0. Добейтесь устойчивого изображения осциллограммы затухающих колебаний (рис.6).
1.2.Измерив время, равное трем периодам, определите среднее значение периода затухающих колебаний.
3T = ......... мкс; T = ........ мкс.
1.3. Для построения графика затухающих колебаний оцените амплитудные значения напряжения U m =U 0 e−βt через временной
интервал, равный половине периода. Для этого измерьте ординаты точек 1,3,5,... и 2,4,6,... (см. рис.6), сдвигая каждый раз осциллограмму влево до пересечения с вертикальной осью экрана. Измерьте интервалы времени t1 и t2 (см. рис.6), временные координаты остальных точек осциллограммы считайте, прибавляя последовательно время, равное периоду T. Результаты занесите в табл.1.
Измерьте U 0 cosϕ0 в момент времени t = 0 . По результатам
измерений постройте график затухающих колебаний в координатах, ориентируясь на вид конкретной осциллограммы.
Рис.6. Примерный вид осциллограммы
Таблица 1 Амплитуда затухающих колебаний U m =U 0 e−βt
<T>=........ мкс R маг = 0
Обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки на |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
.......... |
|
11 |
|
осциллограмме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ,мкс |
|
t1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m , В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnU m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 = t1 + T и т.д. |
|
|
Обозначение точки |
|
|
|
|
|
|
.......... |
|
|
||
на осциллограмме |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
12 |
||
t , мкс |
t2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
U m , В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t4 = t2 + T и т.д. U 0 cosϕ0 =...........В |
|
|
|
|
|
|
|||||
1.4. По данным табл.1 постройте график уменьшения |
|
||||||||||
амплитуды |
затухающих колебаний |
со временем |
в координатах |
|
|||||||
U m = f (t). |
Здесь U m =U 0 e−βt . |
|
|
|
|
|
|
1.5. Для определения начального напряжения на обкладках конденсатора U 0 и коэффициента β затухания воспользуйтесь
Рис. 7. Примерный вид зависимости U m = f (t)
формулой
U m =U 0 e−βt , lnU m = lnU 0 − βt.
Подсчитайте lnU m и занесите в первую часть табл.1. Построив график зависимости lnU m = f (t) (см. рис.8), определите графическим путем U 0 (по отсечению прямой на оси ординат) и β (по тангенсу угла наклона прямой).
Рис.8. Примерный вид зависимости lnU m = f (t)