Математика
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Часть 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500
«Строительство» всех форм обучения
Екатеринбург
УрФУ
2010
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143 я 73, М 33
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: Соболев А.Б., Вигура М.А., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М., Л.Ю.Трояновская Л.Ю., Кассандров И.Н.
М 33 МАТЕМАТИКА. Часть 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие / Соболев А.Б., Вигура М.А., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М., Л.Ю.Трояновская Л.Ю., Кассандров И.Н.
Екатеринбург: УрФУ, 2010. 172 с.
ISBN 978-5-321-01784-5
Данное пособие представляет собой вторую часть базового курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: векторная алгебра, аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.
Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, тексты домашних заданий, титул и варианты индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143 я 73
ISBN 978-5-321-01784-5
© УрФУ, 2010
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................................ |
4 |
|
1.1. Определение вектора....................................................................................... |
4 |
|
1.2. Линейные операции над векторами и их свойства....................................... |
4 |
|
1.3. Базис и координаты.......................................................................................... |
5 |
|
1.4. Скалярное произведение векторов................................................................. |
8 |
|
1.5. Векторное произведение векторов................................................................. |
9 |
|
1.6. Смешанное произведение векторов............................................................. |
11 |
2. |
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ................................ |
13 |
|
2.1. Уравнения поверхностей и линий................................................................ |
13 |
|
2.2. Плоскость в пространстве............................................................................. |
14 |
|
2.3. Прямая линия в пространстве....................................................................... |
19 |
|
2.4. Прямая и плоскость........................................................................................ |
22 |
3. |
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.................................... |
24 |
|
3.1. Простейшие задачи на плоскости................................................................. |
24 |
|
3.2. Прямая линия на плоскости.......................................................................... |
25 |
|
3.3. Кривые второго порядка................................................................................ |
28 |
|
3.4. Преобразования координат........................................................................... |
32 |
|
3.5. Линии в полярной системе координат......................................................... |
37 |
|
3.6. Параметрическое задание линий.................................................................. |
41 |
4. |
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА............................................................ |
43 |
5. |
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.............................................................................. |
48 |
6. |
ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ................................................................................... |
103 |
|
ДЗ № 1. Векторная алгебра ................................................................................ |
103 |
|
ДЗ № 2. Прямая и плоскость.............................................................................. |
107 |
|
ДЗ № 3. Прямая на плоскости............................................................................ |
109 |
|
ДЗ № 4. Кривые на плоскости............................................................................ |
112 |
|
ДЗ № 5. Поверхности в пространстве............................................................... |
117 |
7. |
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ...................................................................................... |
120 |
8. |
ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ........................................ |
146 |
9. |
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ.......................................................... |
147 |
10. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.............................................................. |
171 |
3
I.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1.Определение вектора
Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся не только скалярной величиной, но и направлением, например: перемещение, скорость, напряженность электрических и магнитных полей.
Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B ) – концом вектора.
Вектор обозначается либо значком AB , либо одной строчной буквой a .
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором: 0 . Нулевому вектору приписывают любое направление.
Вектор характеризуется модулем (или длиной), который равен длине отрезка AB : AB = a .
Вектор BA = −a называется противоположным ненулевому вектору
AB = a .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, векторы иногда называют свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
1.2. Линейные операции над векторами и их свойства
Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на вещественное число.
4
Суммой a +b двух векторов a и b называется вектор, проведенный из начала вектора a в конец век-
тора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .
Правило сложения векторов, изложенное в этом определении, обычно на-
зывают правилом треугольника.
Разностью a −b называется вектор x , такой, что x + b = a .
Операция сложения векторов обладает свойст-
вами:
1)a +b = b + a ;
2)(a +b )+ c = a +(b + c );
3)a +0 = a ;
4)a +(−a)= 0.
|
|
|
|
|
|
Произведением αa вектора a на вещественное число |
α |
||
(α ≠ 0, a ≠ 0) называется вектор, коллинеарный вектору a , имеющий длину |
|||||||||
|
|
α |
|
|
|
a |
|
и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a |
в |
|
|
|
|
случае α > 0 и противоположное направлению вектора a в случае α < 0 . Если
α = 0 , то αa = 0 .
Геометрический смысл операции умножения вектора на число:
при умножении вектора a на число α вектор a "растягивается в α раз".
Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
1)α (βa )= (αβ )a ;
2)(α+β )a =αa + βa ;
3)α (a +b )=αa +αb ;
4)1 a = a .
1.3. Базис и координаты
Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
Базисом B в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
5
Базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов), называется ортонормированным (ОНБ).
Базисом B на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой. Если a – произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на
этой прямой b может быть записан в виде b =αa .
Базисом B на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определен-
ном порядке. Если a и b – произвольные неколлинеарные векторы на плоскости, то любой вектор на этой плоскости
с может быть записан в виде с =αa + βb ={α,β} .
Каждый вектор пространства может быть разложен по базису в пространстве.
Если a , b , с – три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор d может быть записан в виде d =αa + βb +γc ={α,β,γ}.
Геометрически вектор d представляет собой пространственную диагональ параллелепипеда, по-
строенного на векторах a , b и с .
Числа α, β, γ называются координатами вектора в соответствующем базисе.
Теорема. Разложение вектора по базису единственно.
Декартова прямоугольная система координат
Декартова система координат в пространстве определяется заданием точки О – начала координат и базисных векторов i , j , k (трех взаимно перпендикулярных векторов единичной длины).
Вектор OM , идущий из начала координат в точку M (x,y,z), называется радиус-вектором
точки M .
Координаты радиус-вектора OM и |
коор- |
|
динаты точки M совпадают OM ={x,y,z} . |
|
|
Если известны координаты точек начала |
||
A (ax ,ay ,az ) и конца B (bx ,by ,bz ) |
вектора, |
то ко- |
ординаты вектора AB ={bx − ax ,by |
− ay ,bz − az }. |
6
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Необходимым и |
достаточным условием коллинеарности векторов |
a ={ax ,ay ,az } и b ={bx ,by ,bz}, b ≠ 0 , является пропорциональность их соответ- |
|
ствующих координат: ax |
=αbx , ay =αby , az =αbz . |
Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над их координатами: a +b ={ax +bx , ay +by , az +bz}, αa ={αax ,αay ,αaz}.
Проекция вектора на ось
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором e (ортом), задающим положительное направление на прямой.
Проекцией прe a вектора a на ось называется направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению (a e ).
Для вектора a = AB проекция на прямую OL равна числу aOL = прOL a = ± A ' B ' = a cos ϕ .
Проекции обладают свойствами:
1)прe (a +b )= прe (a)+прe (b );
2)λ прe a =прe λa .
|
|
Декартовы |
прямоугольные координаты вектора |
|||||||||||||||||||||||
OM = a = |
{ax ,ay ,az } равны проекциям этого вектора на |
|||||||||||||||||||||||||
оси |
|
Ox , |
Oy , |
Oz соответственно: ax = |
|
a |
|
cosα , |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ay = |
|
|
|
a |
|
|
cos β , az = |
|
|
|
a |
|
|
|
cos γ , где α, β,γ – |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
углы, которые составляет вектор a с координат- |
||||||||||||||||||||||||||
ными осями Ox , Oy , Oz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Косинусы углов ( cosα , |
|
cos β , cosγ ) векто- |
||||||||||||||||||||||
ра a = {ax ,ay ,az } |
с векторами базиса i , j , k |
|
назы- |
|||||||||||||||||||||||
ваются направляющими косинусами вектора a . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вектор |
a |
= |
|
a |
|
={cosα, cos β, cosγ} |
представляет собой вектор единич- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной длины в направлении вектора a .
7
1.4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением (a b ) ненулевых векторов a иb называется
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:
(a b )= a b cosϕ , ϕ [0,π].
Скалярное произведение обладает свойствами:
1.(a b )= (b a);
2.((αa ) b )=α (a b );
3.((a +b ) c )= (a c )+(b c );
4.(a a )> 0 , если a ≠ 0 ;
5.(a a)= 0 , если или a = 0 , или b = 0 , или a b .
Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
Теорема. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами a ={ax , ay , az }, b ={bx ,by ,bz }, то скалярное произве-
дение этих векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть
(a b )= axbx +ayby +azbz .
Доказательство. (a b )= ((axi +ay j + az k ) (bxi +by j +bz k ))= axbx ( i i ) +
+axby (i j )+axbz (i k )+aybx (j i )+ayby (j j )+aybz (j k )+azbx (k i )+azby (k j )+azbz (k k ).
2 |
|
|
|
2 |
=1, аналогично (j j )=1, (k k )=1; |
Но (i i )=|i | |
cos i |
,i |
=|i | |
||
|
|
|
|
|
|
(i j )= (i k )= (j i )= (j k )= (k i )= (k j )=1 1 cos 90o = 0;
(a b )= axbx +ayby +azbz .
8
Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
1. |
|
a |
|
= (a a ) = ax2 + ay2 + az 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a b ) |
|
|
|
a |
b + a |
b |
y |
+ a b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
y |
|
z z |
|
|||
2. |
cos a , b |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
ax2 |
+ ay2 |
+ az2 |
|
|
bx2 +by2 +bz2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция прb a вектора a на вектор b |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
пр a = |
(a b ) |
= |
axbx + ayby + azbz |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
bx2 +by2 +bz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Направляющие косинусы вектора a : |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ax |
|
|
|
ay |
|
, cosγ = |
az |
||||
cosα = |
|
|
|
, |
cosβ = |
|
|
. |
||||||
|
ax2 + ay2 + az2 |
|
ax2 + ay2 + az2 |
ax2 + ay2 + az2 |
4. Для направляющих косинусов справедливо соотношение cos2α +cos2 β +cos2γ =1.
1.5.Векторное произведение векторов
Впространстве различают правые и левые тройки векторов. Упорядо-
ченная тройка некомпланарных векторов a ,b , c , приведенных к одному на-
чалу, называется правой, если из конца третьего вектора c кратчайший пово-
рот первого вектора a ко второму b виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
с |
b |
c |
|
|
a2
a a
правая левая
Тройку векторов базиса i , j , k принято считать правой.
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки
меняется.
Если тройки abc, cab, bca - правые, то acb, cba, bac - левые.
При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки
не меняется.
9
Векторным произведением |
a, b |
ненулевых и неколлинеарных векто- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ров a и b называется вектор |
|
|
|
|
|
|
= a ×b , удовлетворяющий сле- |
|||||||
c = a, |
b = |
a ×b |
||||||||||||
дующим трем требованиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) длина вектора c равна произведению длин векторов a |
и b на синус |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
угла между ними, т. е. |
c |
|
= |
|
|
= |
a |
|
|
b |
sin a , b |
; |
||
|
|
a ×b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b , т.е. c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b ;
3)вектор c направлен так, что тройка a b c является правой.
Векторное произведение равно нулю, если a = 0 или (и) b = 0 , или они коллинеарны.
Векторное произведение обладает свойствами:
1.a ×b = − b ×a ;
2.αa ×b =α a ×b ;
3.(a +b)×c =[a ×c]+ b ×c ;
4.[a ×a]= 0 для любого вектора a ;
5.a,b = 0 , если векторы a и b коллинеарны или хотя бы один является
нулевым.
Приведем некоторые схемы для вычисления различных векторных произведений векторов базиса i , j , k :
i ×i = j × j = k ×k = 0, i × j = − j ×i = k ,
i ×k |
= − k ×i |
= − j, |
j ×k |
= − k × j |
= i , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
i ×i |
|
= |
j × j |
|
= |
k ×k |
= |
1 1 sin 0 |
= 0 . |
|||||
|
|
|
10