Электроника СВЧ. Практикум(Шматько, Одаренко)

20	Гл. 1. Основные уравнения электроники
	divHK = 0 ,					(1.3)
	G	=	ρ
	divE				,	(1.4)
			ε
	dmvG		0
		=e (EG +µ0 vG,HG ).				(1.5)
	dt
Здесь EG (В/м), HG (А/м) – напряженности электрического и маг-
нитного поля;	ε0 , µ0 – электрическая и магнитная проницаемо-

сти вакуума в практической системе единиц, e = –1.6·10–19 КлG , m = 9.11·10–31 кг – заряд и масса электрона соответственно; v – вектор скорости электронов.

При исследовании процесса взаимодействия уравнения (1.1–1.4) следуетG интегрировать при определенных граничных

условиях: Etg Σ = 0, где Σ – поверхность колебательной системы (идеальный проводник). Кроме этого, уравнение движе-

ния

(1.5)

необходимо

дополнить

начальными условиями:

vG

t =t0

=vG

,

dvG

|

=

dvG0

,

rG

t =t0

=rG

– начальные скорости и ус-

0

dt

t =t0

dt

0

корения электронов по разным направлениям и их начальные радиус-векторы rG0 на входе в электродинамическую систему

прибора в момент времени t =t0 .

Система уравнений (1.1–1.5) в некоторой степени противоречива. Уравнения поля (1.1–1.4) записаны относительноG непрерывных функций и непрерывных переменных r,t , а уравне-

ние движения (1.5) описывает закон движения дискретных точечных заряженных частиц.

Кинетическое описание. Другой подход, исключающий это противоречие, основан на использовании кинетического

уравнения для функции распределения f (rG,vG,t ) электронов по координатам rG, скоростям vG и времени t , заменяющего фа-

можно получить

Для функции распределения

Различные подходы и приближения

21

ктически уравнение движения (1.5) в самосогласованной системе уравнений (1.1–1.5).

Введем такую функцию распределения f (rG,vG,t ),										что ве-
G	G	G	G							коорди-
личина f (r	,v	,t )drdv имеет смысл числа электронов,
наты и скорости которых находятся в интервалах rG, rG+drG и
vG, vG+dvG , соответственно. С помощью функции распределения
электронов по скоростям				f (rG,vG,t ) легко определяются выра-
жения для плотности тока				G	G		и плотности заряда			G
				j	(r	,t )				ρ (r ,t )
электронного потока, а именно:
		G	K		∞	G	G	G	K	(1.6)
		j	(r ,t )	=e ∫v f			(r	,v	,t )dv ,
					-∞
		ρ(rG,t )=e ∞∫ f (rG,vG,t )dvG.								(1.7)
					−∞

ФизическийG смысл этих величин состоит в том, что плотность тока j (rG,t ) и плотность зарядаρ (rG,t ) в данной точке про-

странства rG и в данный момент времени t создаются всемиG

электронами, имеющими, вообще говоря, разные скорости v . f (rG,vG,t )

дифференциальное уравнение (аналогично уравнению движения в системе (1.1–1.5)), которое имеет вид:

	∂f	G	e	G	G	G		∂f
	∂t	+vgradrGf +		(E	+µ0 v	,H	)gradvGf =		, (1.8)
			m
								∂t

где обозначено:

22	Гл. 1. Основные уравнения электроники

gradrG =xG0 ∂∂x +yG0 ∂∂y +zG0 ∂∂z ,

gradG =xG		∂	+yG	∂	+zG	∂
v	0 ∂vx		0 ∂vy		0 ∂vz

вычисляются в предположении, что дифференцирование прово-
дится в первом случае gradG по координатам rG, а во втором
	r
gradG – по скоростям vG	; величина		∂f определяет изменение
v
	f (rG,vG,t )		∂t
функции распределения		электронов за счет соударе-

ний электронов с другими частицами: электронами, ионами, нейтральными молекулами.

Уравнение (1.8) называется кинетическим. Второе и третье слагаемые в левой части кинетического уравнения опре-

деляют изменение функции распределения f (rG,vG,t ) за счет

пространственной неоднородности распределенияG Gэлектронов

по скоростям и электромагнитных полей E и H . Система уравнений электронно-волнового взаимодействия при кинетическом описании принимает вид:

G	= ε0			∂EG		∞	G	G	G	K
rotH				∂t	+e ∫vf (r				,v	,t )dv ,
rotEG = -µ				∂HG ,		-∞
			0 ∂t
divHK = 0 ,
G		e		∞	G	G		G
divE	=			∫ f	(r	,v	,t )dv ,
		ε
	0			−∞

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

пучка электронов функция распределения

		Различные подходы и приближения							23
	∂f	G	e	G	G	G		∂f
	∂t	+vgradrGf +		(E	+µ0 v	,H )gradvGf	=	.	(1.13)
			m
								∂t

Выписанная система уравнений является самосогласованной – ансамбль электронов возбуждает в колебательной системе прибора электромагнитное СВЧ-поле, которое, в свою очередь, воздействует на электронный поток, изменяя траектории частиц. Кроме этого, благодаря кинетическому уравнению, можно учитывать начальный тепловой разброс электронов по скоростям.

Слагаемое		∂f	в (1.13), учитывающее соударение частиц, в
		∂t

электронике СВЧ обычно не рассматривается, поскольку оно характеризует взаимодействие частиц на близких расстояниях, меньших, чем среднее расстояние между частицами. Если эта величина равна нулю, то уравнение (1.13) называется уравнением Власова. Дальние взаимодействия в кинетическом уравнении

(1.13) учитываются с помощью силы Лоренца e (EG +µ0 vG,HG ).

Начальные приближения для функции распределенияf (rG,vG,t )

зависят от исходной модели электронного потока и прибора. Пучок на входе в систему может быть как моноэнергетическим (все электроны имеют одинаковые скорости), так и с произволь-

ным распределением скоростей. В случае моноэнергетического f (rG,vG,t ) описывает-

ся дельта-функцией Дирака δ(vG−vGrG ) и имеет вид:

f (rG,vG,t ) t =t0 =N (rG,t )δ(vG−vGrG ),

где величина N (rG,t ) определяет концентрацию заряженных частиц в пучке, а дельта-функция δ(vG−vGrG ) в декартовой системе координат определяется следующим образом:

24	Гл. 1. Основные уравнения электроники

δ(vG−vGrG )= δ(ξ −vx )δ(η −vy )δ(ζ −vz ).

Тогда плотность заряда ρ(rG,t ) и плотность тока jG(rG,t ) пучка (1.6), (1.7) упрощаются и сводятся к простым выражениям:

ρ(rG,t )=eN (rG,t ),

jG(rG,t )=eN (rG,t )vG(rG,t ).

При отличном от моноэнергетического распределения, например, максвелловском распределении электронов по скоростям

функция распределения f (rG,vG,t ) описывается выражением:

f (v) =		m	32		−mv	2
	N			exp			.
		2πkTe
					kTe
Здесь k = 1.38 10−23 Дж/град –			постоянная Больцмана, T					–
							e

температура по абсолютной шкале.

Выписанные системы уравнений в самосогласованном и кинетическом приближениях одинаково пригодны для описания как линейных, так и нелинейных процессов электронноволнового взаимодействия в электронных приборах СВЧ на различных стадиях установления амплитуды колебаний.

Приближение заданного тока или заданного движения.

В приближении заданного тока или движения пространственноеG и временное распределение функций плотности тока

j (rG,t ) и плотности заряда ρ (rG,t ) считаются известными. Ес-

тественно, что их нельзя задавать произвольно потому, что они связаны между собой уравнением непрерывности:

Различные подходы и приближения				25
G	+	∂ρ	= 0.	(1.14)
divj		∂t

В этом случае решаются только уравнения Максвелла и не рассматриваются уравнения движения, а точнее, не учитывается обратное влияние поля на характер движения электронов пучка. Поэтому траектории электронов не изменяются в пространстве и времени под действием СВЧ-поля. Такое приближение используется при возбуждении заданными источниками (токами или зарядами) с известным и фиксированным пространственным и временным распределением резонаторов, волноводов, периодических систем, диэлектрических структур и др. Это приближение не используется для нахождения самосогласованного решения исходных систем. Полученная при таком подходе информация позволяет определять характеристики рассеянных на различных неоднородностях полей с учетом необходимых граничных условий на их поверхности. Кроме того, в таком приближении не рассматриваются нелинейные явления и процессы, поскольку они полностью определяются уравнениями движения электронов.

Приближение заданного поля. Это приближение исполь-

зуется в случае, когда в колебательной системе прибора существуют сильные высокочастотные поля (например при использовании высокодобротных резонаторов в резонансных электронных приборах) и можно пренебречь обратным влиянием пучка электронов на пространственную структуру поля. СчитаютсяK

заданными распределения высокочастотных полей E (rG,t ) и

HG (rG,t ) в колебательной системе прибора, а уравнения (1.5) или

(1.8) интегрируются в этом заданном электромагнитном поле. Решение таких уравнений позволяет находить плотность высокочастотного тока пучка и, как следствие, величину электрон-

ной мощности Pe , которую пучок отдает СВЧ-полю системы

26	Гл. 1. Основные уравнения электроники
P =	1		2π	jG(x,y,z,t )EG(x,y,z,t)dxdydzdωt .
		2π	∫0 V∫
e

Здесь V – объем, в котором находятся электроны. Величина Pe имеет размерность мощности, которая численно равнаK усредненной за период колебаний работе поля E (rG,t ) над

высокочастотным током пучка за одну секунду. При условии Pe > 0 электрическое поле совершает положительную работу, увеличивая, в среднем, кинетическую энергию электронов. Наоборот, при выполнении условия Pe < 0 электроны, в

среднем, отдают свою энергию СВЧ-полю за счет их торможения в этом поле. В такой ситуации происходит самовозбуждение колебаний (генераторы) или их усиление (усилители) при наличии входного сигнала. Приближение заданного поля в задаче возбуждения электронным потоком резонансных систем справедливо в случае, когда добротность колебательной системы Q велика, т.е. Q >> 1. В таком

рассмотрении приближение заданного поля является нулевым приближением задачи при разложении ее решения в ряд

Тейлора по малому параметру Q−1 .

Cлабосигнальное приближение. На начальной стадии взаимодействия электронов с электромагнитным полем амплитуда СВЧ-колебаний мала. Фактически, все процессы линейные, т.е. отсутствует обгон одних электронов другими, не наблюдаются нелинейные явления, нарастание амплитуды в пространстве и во времени происходит по экспоненциальным законам. Поэтому такое приближение еще называют приближением линейной теории. Условие слабого сигнала позволяет получить аналитическое решение исходной системы уравнений в линейном приближении. Электронный пучок представляет собой заряженную жидкость, которая характеризуется однозначным значением функции скорости и плотности заряда в каждом сечении системы вдоль направления движения частиц. По аналогии с гид-

Различные подходы и приближения

27

родинамикой это приближение еще называют гидродинамическим. При описании электронного потока в гидродинамическом приближении чаще используют переменные Эйлера.

Существует и другой способ описания, в котором электроны подразделяются на отдельные группы («крупные частицы») с начальной фазой (временем t0 j ) и начальной координа-

той rG0 j (индекс j характеризует номер конкретной укрупненной

частицы) и затем анализируется движение этих укрупненных заряженных частиц в пространстве взаимодействия. Каждая укрупненная частица из полного ансамбля частиц при таком рассмотрении всегда различима даже в случае пересечения траекторий электронов или при обгоне друг друга. Переменные координат и скоростей частиц называются переменными Лагранжа. Этот подход (метод Лагранжа) используется в основном при нелинейном рассмотрении.

В приближении слабого сигнала скорость электронов, плотность заряда и плотность тока представим в виде двух сла-

гаемых – регулярной постоянной и высокочастотной перемен-
ной: vG =vG0 +vG, ρ = ρ0 +ρ ,	jG = jG0 + jG. Все переменные высо-
кочастотные величины vG,	ρ, jG предполагаются намного

меньшими их постоянных величин vG0 , ρ0 , jG0 .

Покажем на примере одномерной модели (все векторные

величины направлены вдоль оси Oz ), как получить дифференциальногоG уравнения для высокочастотного тока пучка электро-

нов j (rK,t )=zG0 j (z,t ) ( zG0 – единичный орт в направлении оси Oz ). СтатическоеG фокусирующее магнитное поле направлено вдоль оси Oz , H0 =zG0H0 ; H0 =const → ∞ . Тогда одномерное уравнение движения в переменных Эйлера принимает вид:

	∂v	+(v0	+v )∂v	=	e	Ez .	(1.15)
	∂t				m
			∂z

28 Гл. 1. Основные уравнения электроники

Полные производные по времени в переменных Эйлера обычно записываются в виде:

dtd = ∂∂t + (vG ).

В линейном приближении можно считать величину высокоча-

стотной скорости малой v <<v0 . Тогда из определения плотно-
		G	G
сти высокочастотного конвекционного тока пучка j			= ρv сле-
дует приближенное соотношение:
j ≈ ρ v +v	0	ρ.	(1.16)
0

Здесь не учитываются малые квадратичные слагаемые. Определим производную от высокочастотной скорости

∂v

∂t в уравнении (1.15). Для этого продифференцируем выраже-

ние (1.16) по времени. Тогда получаем следующее соотношение:

	∂v	=	1 ∂j		−	v0	∂ρ .	(1.17)
	∂t		ρ0 ∂t			ρ0
							∂t

Из уравнения непрерывности (1.14) в одномерном случае следует:

	∂j	= −	∂ρ .	(1.18)
	∂z
			∂t

Используя это соотношение и выражение (1.17), определим про-

изводную	∂v	через величину плотности тока пучка j :
	∂t			1 ∂j					∂j
		∂v	=			+	v0			.	(1.19)
		∂t		ρ0 ∂t			ρ0
									∂z

Различные подходы и приближения

29

Подставим это выражение в уравнение движения (1.15), тогда после тривиальных преобразований получим уравнение для переменной плотности высокочастотного конвекционного тока

потока электронов j :

∂

2

∂

2

+ v2 ∂

2

eρ0

∂Ez .

j

+ 2v

j

j

=

(1.20)

∂t2

0 ∂z∂t

0 ∂z2

m ∂t

Полученное уравнение для плотности высокочастотного тока одинаково пригодно как для гармонических, так и произвольных импульсных процессов. В случае гармонических процессов

exp (−iωt ) уравнение (1.20) упрощается:

∂

2

I0

j

− 2iβ

∂j

− β

2

= −iβ

∂z2

j

E

.

(1.21)

e ∂z

e

e 2U0

z

Здесь I

0

− ток пучка, U

0

−

ускоряющий потенциал,

β =

ω

–

e

v0

электронное волновое число.

Отметим, что при кинетическом описании также можно воспользоваться слабосигнальным приближением. В этом при-

∂f

ближении производная ∂v в кинетическом уравнении (1.13)

заменяется на ∂∂fv0 в предположении, что f0 (v) – невозмущен-

ная функция распределения, f (z,v,t )– относительно малое отклонение (возмущение) от невозмущенного значенияf0 (v). В простейшем случае свободного движения электронов Ez ≡ 0 уравнение Власова принимает вид: