Электроника СВЧ. Практикум(Шматько, Одаренко)

30	Гл. 1. Основные уравнения электроники
				= 0
	∂f	+ v	∂f
	∂t		∂z

с начальными условиями	для функции распределения
f (z,v, 0) = a0 exp (ikz) (a0 –	константа). Решение уравнения
имеет вид:

f (z,v,t ) = a0 exp (ikz )exp (−ikvt ).

Как видно, это решение описывает осцилляции функции распределения по скорости с круговой частотой kt , линейно возрастающей со временем, и периодом τ0 = 2π/kt . Возникнове-

ние все более высоких частот означает развитие более тонкой структуры. Следуя вышеизложенной методике можно в этом приближении получить и решение кинетического уравнения с учетом взаимодействия электронов с высокочастотным полем колебательной системы.

1.4.Потенциальные и вихревые поля

Вэлектронных приборах СВЧ наряду со статическим полем пространственного заряда, участвующим в процессе взаимодействия с электромагнитными полями, существует и высокочастотное поле, которое еще называют динамическим полем пространственного заряда. В общем случае расчет таких полей затруднителен. Однако расчет может быть несколько упрощен, если поле пространственного заряда выделить отдельно от электромагнитных полей. Для этой цели представим общее электро-

магнитное поле, участвующее в процессе взаимодействия с электронами, в виде суммы двух полей – вихревого (индекс r ) и потенциального (индекс p ), а именно:

EG =EGr +EGp , HG =HGr +HGp , jG = jGr + jGp .

(1.22)

divjG+

Потенциальные и вихревые поля

31

Из теории поляG известно,Gчто вихревыеG поля удовлетворяют условиям: divEr = 0 , divHr = 0 и divjr = 0 . Эти поля еще называют соленоидальными. ПотенциальныеG (безвихревыеG) поля удовлетворяют другим условиям: rotEp = 0 , rotHp = 0 ,

rotjGp = 0 . Применяя эти условия к уравнениям Максвелла, по-

лучим две различные системы уравнений для вихревых и потенциальных полей:

G

= ε

∂EG

G

,

rotH

r

+ j

r

0

∂t

r

rotEG

= -µ

∂HGr ,

r

0

∂t

divHKr

= 0,

G

= 0.

divEr

ε

∂EG

p

G

+ j

p

= 0,

0

∂Gt

ρ

.

divEp

= ε

.

0

,

(1.23)

(1.24)

На основании равенства divjGr = 0 и уравнения непрерывности

∂∂ρt = 0 можно сделать вывод, что плотность тока jGr

не связана с переменной плотностью пространственногоG заряда ρ. Точно также ясно из уравнения divEr = 0 , что вихревые поля EGr не связаны с пространственным зарядом ρ.

32	Гл. 1. Основные уравнения электроники

Другой смысл имеют величины EGp и jGp , которые связаны с пространственным зарядом пучка электронов:

	G		=	ρ		G		= −	∂ρ
	divE	p			,	divj	p			.	(1.25)
				ε					∂t
				0

Воспользуемся Gтем обстоятельством, что условие потенциальG - ности поля rotEp = 0 приводит к тому, что величина Ep явля-

ется градиентной функцией некоторой скалярной величины

Φ(r,t ) ( rotgradΦ ≡ 0 ), а именно:

	EGp =−gradΦ(r,t )			(1.26)
	или:	ρ(r,t )
	∆Φ(r,t )= −		.	(1.27)
		ε
		0

Функция Φ(r,t ) является высокочастотным потенциалом поля

пространственного заряда пучка. Очевидно, что выражение (1.26) и уравнение (1.27) описывают высокочастотное кулоновское взаимодействие движущихся зарядов (электронов). Излучение этих зарядов и запаздываниеG описывается вихревыми

компонентами полей, т.к. в поле Ep запаздывание не входит.

Продемонстрируем применение этого подхода для нахождения уравнения для плотности высокочастотного тока пучка, разбив поле на вихревую и потенциальную компоненты. Для этой цели воспользуемся уравнением (1.20), в которомG электри-

ческое поле представим в виде суммы вихревой Er и потенци-

альной EGp компонент: EG =EGr +EGp . Тогда получим из (1.20)

для величины j уравнение:

Потенциальные и вихревые поля

33

∂2 j

+ 2v

∂2 j

+ v2

∂2 j

=

eρ

0

∂(EGr

+ EGp )

. (1.28)

∂t2

0 ∂z∂t

∂z2

m

∂t

0

Потенциальное поле EGp , которое является полем пространст-

венного заряда пучка электронов, удовлетворяет уравнению Пуассона (1.27) и уравнению Максвелла:

divEGp = ερ ,

0

а плотность высокочастотного тока пучка jGp – уравнению непрерывности:

divjGp = − ∂∂ρt .

Продифференцируем первое из уравнений (1.25) по времени t , и получим следующее соотношение, используя второе уравне-

ние из (1.25):

∂

G

=

∂

ρ

= −

1

G

divE

p

divj

p

∂t

∂t ε

ε

0

0

или

∂EGp

jG

+ ε

= 0 ,

p

0

∂t

что совпадает с (1.24). Используя эту связь потенциального поля пространственного заряда пучка с его плотностью тока, оконча-

34	Гл. 1. Основные уравнения электроники

тельно находим для величины j уравнение с учетом динамического поля пространственного заряда:

∂

2

∂

2

2 ∂

2

e

ρ0

eρ0

∂Er

j

j

j

∂t2

+ 2v0

∂z∂t

+ v0 ∂z2

+

m

ε j =

m

∂t

.

(1.29)

0

В случае гармонических процессов exp (−iωt ) имеем:

∂

2

I0

j2

− 2iβe

∂j

− (βe2 − βp2 )j = −iβe

Er .

(1.30)

∂z

∂z

2U0

Здесь βp =

ωp

– плазменное волновое число, ωp =

eρ0

–

v0

mε0

плазменная частота, I0 – ток пучка.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится в виде суммы двух решений:

j = j0 + j1 . Одно из них, j0 - общее решение однородного уравнения с начальными условиями на входе в систему для плотности тока пучка j0 (z )z =0 = j (0) и высокочастотной скорости электронов v (z )z =0 = v (0). Другое, j1 – частное решение неоднородного уравнения (1.30) с нулевыми начальными условиями на входе в систему z = 0 для плотности тока пучка j1 и

его производной во времени ∂j1 . Частное решение неоднород-

∂t

ного уравнения (1.30) с нулевыми начальными условиями представим в виде j1 = j1 (z )= j1 (z )exp (iβez ). Тогда уравнение

(1.30) для искомой величины j1 = j1 (z ) упрощается:

			Потенциальные и вихревые поля							35
	d2 j1		+ β2 j	=		−	iβeI0	E	exp (−iβ z ).	(1.31)
	dz	2	p 1				2U0	r	e

Решение этого уравнения удобно находить через функцию Грина для такого вида уравнений:

G (z −z′)= sinβp (z −z ').

βp

В результате, используя найденную функцию Грина, получим из (1.30) для величины j1 интегральное представление:

		(iβ I	0	) z	′	′	′
j1	= −	e		′
		2U0		∫Er (z	)G (z − z	)exp (−iβez	)dz . (1.32)
				0

И окончательно для искомой величины переменной плотности тока пучка j1 (z ) получим:

	(		)		(iβ I	0	) z	′	′	′
		z		= −	e		′
j1					2U0		∫Er (z	)G (z − z	)exp (iβe (z − z	))dz . (1.33)
							0

Решение однородного уравнения для плотности тока пучка j0 будем искать в виде: j0 = j0 (z )exp (iβez ). Тогда это уравнение для величины j0 с ненулевыми начальными условиями j0 (z )z =0 = j (0) и v (z )z =0 = v (0) упрощается и сводится к

уравнению линейных колебаний:

	36	Гл. 1. Основные уравнения электроники
		d2 j	+ βp2 j0	= 0 ,
		0
		dz2
	решение которого имеет вид:
	j0	(z ) = j (0)cos (βpz )− iv (0)βeρ0			sin (βpz )	. (1.34)
					βp

Таким образом, в линейном приближении получено аналитическое выражение для плотности тока в электронном пучке

j (z ) с учетом влияния поля пространственного заряда. При отсутствии поля пространственного заряда βp = 0 или малой его величине βp → 0 выражения решения однородного и неоднородного уравнений упрощаются и сводятся к виду:

					j0	=		(j (0) − iv (0)βeρ0z )exp (iβez ),			(1.35)
	(		)		(iβ I		0	) z	′	′	′
		z		= −	e			′
j1					2U0			∫Er (z	)(z − z )exp (iβe (z − z		))dz . (1.36)
								0

Отметим одну важную особенность найденных аналитических выражений для плотности тока пучка j = j0 +j1 . Эти выраже-

ния фактически пригодны для всех резонансных и нерезонансных электронных приборов О-типа при произвольной начальной модуляции скорости и плотности тока пучка (регулярной или случайной) на входе в пространство взаимодействия на линейной стадии процесса взаимодействия.

Получим далее уравнение для нахождения электромагнитных полей, возбуждаемых в колебательной системе прибора, которое в электронике СВЧ называют уравнением возбуждения.

Уравнение возбуждения

37

1.5. Уравнение возбуждения

Для получения уравнения возбуждения воспользуемся исходными уравнениями Максвелла (1.23). Подействуем оператором rot на второе уравнение Максвелла системы уравнений

(1.23), тогда:

G	∂	G
rotrotEr = −µ0		rotHr .	(1.37)
	∂t

Используя уравнения Максвелла и известное векторное равенство

rotrotEG = × ×EG = ( EG)− 2EG ,

преобразуем уравнение (1.37) к виду:

	G			1 ∂2EG		r = µ	∂jG
	∆E	r	−				r .	(1.38)
				c2	∂t2
						0	∂t

Уравнение (1.38) называется неоднородным волновым уравнением или уравнением возбуждения.

Для удобства вихревые поля в дальнейшем будем обозначать без индексаG r . Так как для вихревых полей выполняется

условие divj = 0 , то из уравнения непрерывности

divjG + ∂∂ρt = 0

следует, что ρG≡ 0 , подчеркивая тем самым, что плотность вихревого тока j не связана с переменной плотностью заряда.

38 Гл. 1. Основные уравнения электроники

АналогичноG условие divEG = 0 указывает на то, что вихревое

поле E не связано с пространственным зарядом пучка.

В электронике СВЧ используют приближенные методы решения волнового уравнения. В теории резонансных приборов с дискретным или длительным взаимодействием пространственная структура поля, с которым взаимодействует пучок электронов, считается заданной и фиксированной в пространстве. Амплитуда и фаза поля могут лишь изменяться во времени. Для нерезонансных приборов зачастую процесс во времени гармонический, а в пространстве взаимодействия описывается бегущей волной с медленно изменяющейся амплитудой поля. В каждом конкретном случае вид поля выбирается с учетом заданной электродинамической системы прибора. Рассмотрим в отдельности оба эти случая.

Резонансные приборы. Будем предполагать, что пространственная структура поля в резонансной системе электронного прибора фиксирована и близка к пространственной структуре поля одного из ее собственных видов колебаний. Такая ситуация наблюдается в высокодобротных колебательных системах. При этом частота генерации близка к собственной частоте колебаний резонансной системы. Амплитуда огибающей этого узкополосного процесса является медленно меняющейся функцией времени t на интервалах времени пролета электронов через про-

странство взаимодействия tL . Период колебаний поля T , время пролета электронов через пространство взаимодействия tL и время установления колебаний tS связаны между собой неравенством: T <<tL <<tS . Таким образом, возбуждаемые в коле-

бательной системе прибора электронным пучком электромагнитные поля можно представить в виде:

EG(rG,t )= ∑e (t )EGm (rG), HG (rG,t )= ∑hm (t )HGm (rG). (1.39)

m

m

			Уравнение возбуждения		39
G	G	G	G
Поля Em (r )		и Hm (r ) удовлетворяют однородным уравнени-
ям Максвелла:
		rotHGm = −ikmEGm ,		rotEGm =ikmHGm .	(1.40)
Здесь m – индекс колебаний, km				= ωm – волновое число m-го
				c
собственного вида колебаний, ωm				– собственная частота m-го

вида колебаний (которая, вообще говоря, величина комплексная). Используя уравнения Максвелла (1.1) и (1.2), получим систему двух связанных дифференциальных уравнений относи-

тельно неизвестных амплитуд поля em (t ) и hm (t ):

ick

e

(t )= −

dhm (t )

,

(1.41)

m m

dt

−ick

(t ) =

de

(t )

+

1

GG

+ 4πσe

(t ). (1.42)

h

m

jE

dV

Nm V∫

m m

dt

m

m

Величина Nm определяет норму m-го вида колебаний, которая вычисляется по формуле:

1

V∫

G

2

1

V∫

G

2

Nm =

Em

dV = −

Hm

dV ,

4π

4π

где интегрирование производится по объему резонансной системы V; величина σ определяет проводимость поверхности резонансной системы и связана с ее добротностью Qm выраже-

нием Qm = 4ωπσm . Исключая одну из неизвестных амплитуд по-