Правило Лопиталя
.pdf5.3.6. ПРЕДЕЛЫ
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2. |
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x 1 |
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x |
2 |
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4x 1 |
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x 1 |
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4x 3 |
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x3 |
5x2 8x 4 |
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3x |
2 |
4 |
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x 2 |
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(x2 |
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2x 3)2 |
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3 |
4x |
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3x |
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x 3 x |
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6. |
lim |
x2 |
12 x 1 |
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x |
3 |
x |
2 |
x |
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x |
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lim |
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x3 |
4x2 |
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1 |
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3 |
11x |
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x 8x |
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8. lim x3 x2 x3 4
x
Вариант №1
9. lim |
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x3 x |
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x 1 |
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1 cos 4x |
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x 0 |
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x2 |
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lim 3xsin |
5 |
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x 0 |
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8 x 1 |
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12. |
lim |
1 |
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3x |
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x |
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7x |
4 |
2 x 3 |
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x 7x |
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x2 x |
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sin 2 x |
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x 0 |
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lim |
ln(1 3xsin x) |
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ln(1 3xcos x) |
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x 0 |
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x2 |
x 2 |
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x 4 |
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x 1 |
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2. |
lim |
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x2 |
4x 2 |
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x |
2 |
4 |
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x 2 |
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3. |
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2x2 |
3x 2 |
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x |
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1 |
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x 12 |
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2 |
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4. |
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x4 |
1 |
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4 |
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x |
2 |
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1 |
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x 1 2x |
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(1 x)3 (1 3x) |
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x |
5 |
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x 0 |
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x4 |
1 |
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4 |
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x |
2 |
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1 |
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x 2x |
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(1 x)3 |
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1) |
2 |
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x (x |
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8. |
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3x |
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9x2 |
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x |
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Вариант №2
9. lim |
x 1 |
2 |
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x 5 |
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x 5 |
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tg3x |
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x 0 sin 4x |
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4x sin 3x |
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2x sin 5x |
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x 0 |
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12. |
lim |
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1 |
7 |
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2 x 1 |
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3x |
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x |
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lim |
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3x 3 |
3x 3 |
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3x 4 |
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|
x |
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ln(1 x2 ) |
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tgx |
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x 0 |
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arcsin 2 |
x |
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3 |
(1 x) |
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x 0 ln |
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x2 |
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4x 5 |
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x 1 |
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x 1 |
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2. |
lim |
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x2 |
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4 |
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x |
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x 0 |
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3. |
lim |
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6x2 |
5x 1 |
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x 1 |
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x 13 |
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3 |
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4. |
lim |
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x3 |
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4x2 5x 2 |
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x |
3 |
3x 2 |
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x 1 |
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5. |
lim |
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x3 |
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3x 2 |
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|
x |
2 |
x 2 |
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x 1 |
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6. |
lim |
x3 |
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3x 2 |
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x |
2 |
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x 2 |
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|
x |
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7. |
lim |
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4x3 8x2 |
1 |
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||||||||||||||||
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x |
3 |
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7x |
2 |
1 |
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x |
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||||||||||||||
8. |
lim |
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x |
||||||||||||||
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x2 |
1 |
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x |
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Вариант №3
9. |
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x2 |
1 1 |
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x |
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x 0 |
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10. |
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lim |
tg8x |
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x |
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x 0 |
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lim |
cos 5x cos 3x |
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x 0 |
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x2 |
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12. |
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lim |
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1 |
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1 |
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2 x |
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|||||||
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3x |
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x |
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13. |
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lim |
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2x 1 |
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4 x 1 |
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2x 1 |
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|
x |
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14. |
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lim |
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ln(1 x cos x) |
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tgx |
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x 0 |
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15. |
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lim |
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2arcsin |
x |
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3x |
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x 0 |
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x2 |
4 |
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x 1 |
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x 1 |
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|
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|||||||||||
2. |
lim |
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x2 |
4 |
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|||||||
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x 8 |
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x 2 |
|
|
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3. |
lim |
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10 x2 |
9x 7 |
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x 7 |
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x 7 |
5 |
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5 |
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4. |
lim |
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x3 |
|
x2 |
|
5x 3 |
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x |
3 |
|
x |
2 |
|
x 1 |
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|
x 1 |
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5. |
lim |
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x3 |
|
2x 1 |
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4 |
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2x 1 |
||||||||||||||||
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x 1 x |
|
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6. |
lim |
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x3 |
2x 1 |
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4 |
2x 1 |
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x x |
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|
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7. |
lim |
x3 |
12 x2 |
1 |
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4x |
3 |
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x |
2 |
|
1 |
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|
x |
|
|
|
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8. |
lim |
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2x |
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|
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4x2 1 |
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|
x |
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Вариант №4
9. lim |
x 1 |
1 |
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x |
2 |
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x 0 |
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|
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10. |
lim |
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(1 cos x)2 |
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3 |
x sin |
3 |
x |
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x 0 tg |
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11. |
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tg3x |
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x 0 tg8x |
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12. |
lim |
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1 |
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8 |
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3x 1 |
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7x |
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x |
|
|
|
|
|
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|
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13. |
lim |
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3x 1 |
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2 x 1 |
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||||||
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3x 4 |
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||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
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14. |
lim |
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ln(1 x2 ) |
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arcsin |
x |
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x 0 |
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15. |
lim |
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|
tg 3 x |
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arctg 3 x |
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x 0 |
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x2 |
1 |
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x |
2 |
4 |
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|
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|
|||||
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x 1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|||||
2. |
lim |
|
x2 |
4 |
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|
|
|
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|
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|
x 2 |
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|
|
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|||||||
|
x 2 |
|
|
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3. |
lim |
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2x2 |
13x 21 |
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|
|
|
|
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2x 7 |
|||||||||
|
x 72 |
|
|
|
|
|||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
x3 |
3x 2 |
|
||||||
|
x |
3 |
x |
2 |
x 1 |
|||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
x 1 |
|||||||
|
x 1 2x |
|
|
|||||||||||
6. |
lim |
x2 |
11x 1 |
|
||||||||||
|
3 |
12 x 1 |
||||||||||||
|
x x |
|
|
|||||||||||
7. |
lim |
2x2 |
12 x 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
x 11 |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
8. lim 2x2 3 5x
x
Вариант №5
9. lim |
3x 1 |
|
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|
||||
|
|
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|
3x2 |
1 |
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Вариант №6
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6x2 |
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3x 2 |
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Вариант №7
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Вариант №8
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1 x x2 |
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x 0 |
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x |
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4. |
lim |
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(1 x)3 (1 3x) |
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3 |
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2 x |
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5 |
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||||||||||||||
x 0 |
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x |
x |
12. |
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lim |
1 |
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4x |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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|
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|||||||
5. |
lim |
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x3 |
5x2 8x 4 |
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3x 3 |
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x3 3x2 4 |
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7x |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
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13. |
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|
lim |
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|||
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|
7x |
4 |
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||||||||||||||
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|
12 x3 |
4x |
|
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|
x |
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6. |
lim |
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4 |
11x |
2 |
|
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|
|
arcsin |
3 x |
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|
x x |
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14. |
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lim |
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
ln |
2 |
(1 x |
2 |
) |
|
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||||||||||||||||
|
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|
|
4x2 8 |
|
|
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|
x 0 |
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|||||||||||||||||||||||
7. |
lim |
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|||||||||||
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|
2 |
4x |
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||||||||||||||
|
x 11x |
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15. |
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lim |
x |
3 |
|
|
x |
7 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
|
sin 3 x |
|
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|||||||||||||
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|
x 0 |
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||||||||||||
8. |
lim |
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|||||||||||||||
x2 |
4x 1 x2 |
3x |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
x