Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

КР, мат.ан, ОЗО 1сем

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
10.03.2015
Размер:
496.13 Кб
Скачать

Контрольная работа по математическому анализу

(1 курс 1 семестр 2014-2015 уч. год)

Задание 1. Доказать. Проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

  1. CÌA Þ (AÇBC = AÇ(BÈC).

  1. (AÇBC = AÇ(BÈC) Þ CÌA.

  1. AÈB = AÇB Þ A = B.

  1. AÇB = B Þ BÌA.

  1. AÈB = B Þ AÌB.

  1. AÌB Þ A\CÌB\C.

  1. AÌB Þ C\BÌC\A.

  1. A\(BÈC) = (A\B)\C.

  1. A\(B\C) = (A\B)È(AÇC).

  1. (AÈB)\C = (A\C)È(B\C).

Задание 2. Найти предел последовательности:

  1. ()

  2. ()

Задание 3. Найти предел функции:

1.a) b).

2. a)

b) .

3. a) b) .

4. a) b) .

5. a) b) .

6. a) b) .

7. a) b) .

8. a)

b) .

9. a) b) .

10. a) b) .

Задание 4. Найти производную функции:

1.а) ; б);

в) ; г) .

2. а) ; б);

в) ; г) .

3. а) ; б);

в) ; г) .

4. а) ; б);

в) ; г) .

5. а) ; б);

в) ; г) .

6. а) ; б);

в) ; г) .

7. а) ; б);

в) ; г) .

8. а) ; б);

в) ; г) .

9. а) ; б);

в) ; г) .

10. а) ; б);

в) ; г) .

Задание 5. Найти предел по правилу Лопиталя:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

1..

2. .

3..

4. .

5. .

6..

7. .

8. .

9.

10. .

Задание 7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

  1. .

  2. .

  3. .

4. .

5. .

  1. .

Задание 8. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:

1.

2.

3.

4. а) б) в)

5. а) б) в)

6. а) б) в)

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

Задание 9. Вычислить определенные интегралы.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

1. .

2. .

3.

4., .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Задание 11. Найти общее решение уравнения первого порядка методом разделения переменных.

  1. xy¢ + y =0

  2. y - xy¢ = 1 + x2 y¢

  3. y¢ xy (1 + x2 ) = 1 + y2

  4. yy¢ +x = 1

  5. 2x yy¢ + y = 2

  6. x + xy + y¢(y +xy) = 0

  7. y¢(1 + x2) + x(1 + 2y) = 0

  8. xy¢ - y = 2

  9. ey(1+ x2) y¢ - 2x(1+ ey) = 0

  10. xy¢ =

Задание 12. Найти частное решение уравнения первого порядка, удовлетворяющее следующим начальным условиям.

1. y¢=(2y+1)ctgx , y0 = 0,5 при x0 =

2. y¢ =2, y0 = 1 при x0 = e

3. y¢ tgxy = 1, y0 = 1 при x0 =

4. y¢ sinx = y lny, y0 = 1 при x0 =

5. y¢ = 2, y0 = 1 при x0 = 0

6. y¢ (2x+1) + y2 = 0, y0 = 1 при x0 = 4

7. xy¢ - y = 0, y0 = 2 при x0 = -4

8. y¢ = , y0 = 1 при x0 = 0

9. (x2 - y x2) y¢ + y2 + x y2 = 0, y0 = 1 при x0 = 1

10. y¢ = , y0 =e2 при x0 = 0

Задание 13. Найти общее решение линейного уравнения первого порядка .

  1. y¢ + 2y = 2

  2. y¢ -

  3. y¢ cosx – y sinx = 2 sin2x

  4. y¢ -

  5. xy¢ + 2y = x2

  1. y¢ + x2y = x2

  2. y¢ +

  3. xy¢ + y = ln x + 1

  4. y¢ +

  5. y¢ - y = ex

Задание 14. Найти решение линейного однородного уравнения второго порядка .

Справочник

Понятие функции

Пусть X - числовое множество. Если существует правило f, которое всякому x ÎX ставит в соответствие единственное число f(x), то говорят, что на множестве X задана функция f(x).

Понятие последовательности

Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Предел последовательности

Постоянное число a называется пределом последовательности xn, если для любого e > 0 найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется |xn - a| < e.

Понятие производной

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v  0

Таблица производных

Дифференциал

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

dy = f(x)dx.

Производная сложной функции

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Критическая точка функции

Критической точкой функции f(x) называют точку x, в которой производная обращается в нуль, т.е. f ¢(x)=0

Признаки возрастания функции

Функция возрастает в точке x, если ее производная в этой точке больше нуля,

т.е. f ¢(x) > 0.

Признаки убывания функции

Функция убывает в точке x, если ее производная в этой точке меньше нуля, т.е. f ¢(x)<0.

Достаточное условие минимума

Функция f(x) имеет в точке x минимум, если f ¢(x)=0 и f¢¢(x)>0

Достаточное условие максимума

Функция f(x) имеет в точке x максимум, если f¢(x)=0 и f¢¢(x)<0

Понятие неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C.

Таблица интегралов

Интегрирование заменой переменной

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Интегрирование по частям

Связь определенного и неопределенного интеграла (Формула Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Литература:

1. Б е к л е м и ш е в Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1987, 1998.

2. П и с к у н о в Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1. СПб.: Мифрил, 1996.

3. П и с к у н о в Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. СПб.: Мифрил, 1996.

4. М а н т у р о в О.В., М а т в е е в Н.М. Курс высшей математики. Ч.1. М.: Высшая школа, 1997.

5. Ш е с т а к о в А.А., М а л ы ш е в а И.А., П о л о з к о в Д.П. Курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1987.

6. Ш и п а ч е в В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990, 1999.

7. Я б л о н с к и й С.В. Введение в дискретную математику: Учеб. пос. для студентов. М.: Наука, 1986.

8. Г о р б а т о в В.А. Основы дискретной математики: Учеб. пос. для втузов. М.: Высшая школа, 1986.

9. Н е ф е д о в В.Н., О с и п о в а В.А. Курс дискретной математики. М.: Изд-во МАИ, 1992.

  1. Б у г р о в Я.С., Н и к о л ь с к и й С.М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.

  2. Н.Ш. К р е м е р Высшая математика для экономистов, Москва, ЮНИТИ, 2002

13. Д. П и с ь м е н н ы й Конспект лекций по высшей математике, Москва, АЙРИС ПРЕСС, 200