МУ ЭММ часть 1

51

Вариант 3

Имеются три склада, из которых необходимо вывезти муку в четыре торговые точки. Стоимость перевозки 1 т муки, запасы муки на складах и требуемые объемы продаж в торговых точках представлены в табл. 17. Для эффективной работы торговой точки необходимо как минимум 2 т доставки муки.

Исходные данные					Таблица 17
Пункт назначения		Торговые точки			Объем
Пункт отправления	Т1	Т2	Т3	Т4	запаса муки
Склад 1	2	3	4	3	90
Склад 2	5	3	1	2	30
Склад 3	2	1	1	4	40
Ежемесячные потребности объектов	70	30	20	40

Определить оптимальный план снабжения, при котором спрос на муку удовлетворяется с минимальными затратами на перевозку.

Вариант 4

На складах A1, А2, А3 имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110 т соответственно. Потребители В1, В2, B3 должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т продукции представлены в табл. 18. Каждый потребитель заключил договор на минимальный объем доставки продукции, который составляет 4 т продукции.

Расходы по перевозке 1 т продукции, усл. ед.				Таблица 18
Пункт назначения		Потребители
Пункт отправления	В1	В2		В3
Склад 1	2	5		2
Склад 2	4	1		5
Склад 3	6	6		8

Вариант 5

У поставщиков A1, A2, A3, находится соответственно 500, 400, 700 единиц однотипной продукции, которая должна быть доставлена потребителям B1, B2, B3, B4 в количестве 400, 200, 400, 600 единиц соответственно. Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю приведена в табл. 19. Минимальный объем доставки от каждого поставщика каждому потребителю должен составлять 10 единиц продукции.

52

Стоимость доставки единицы продукции, ден. ед.				Таблица 19
Пункт назначения		Потребители
Пункт отправления	В1	В2	В3		В4
А1	14	18	13		7
А2	11	11	9		8
А3	12	17	11		16

Требуется найти оптимальное решение доставки продукции от поставщиков к потребителям, минимизирующее стоимость доставки.

Вариант 6

Запасные части для предприятий железнодорожного транспорта изготавливаются на заводах по ремонту подвижного состава и производству запасных частей и других специализированных предприятиях. Пусть имеется три предприятия по производству запасных частей и четыре пункта потребления. Объемы производства будем измерять в тоннах, а затраты в тысячах рублей. Известны показатели, характеризующие товарооборот, которые представлены в табл. 20.

	Исходные данные					Таблица 20
	Пункт назначения		Пункт потребления			Объем, т
	Пункт отправления	П1	П2	П3	П4
	Завод 1	3	5	4	7	520
	Завод 2	10	11	9	12	350
	Завод 3	8	5	6	4	730
	Потребности объектов, т	436	320	490	354

Минимальный объем доставки с каждого завода каждому потребителю должен составлять не менее 30 т запасных частей.

Требуется найти оптимальное решение доставки запасных частей от производителя к потребителям, минимизирующее стоимость доставки.

Вариант 7

На складах A1, А2, А3 имеются запасы продукции в количествах 180, 300, 120 т соответственно. Потребители В1, В2, B3 должны получить эту продукцию в количествах 110, 350, 140 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т продукции представлены в табл. 21. Минимальный объем доставки с каждого склада каждому потребителю должен составлять не менее 20 т продукции.

53

Расходы по перевозке 1 т продукции, усл. ед.				Таблица 21
Пункт назначения		Потребители
Пункт отправления	В1	В2		В3
Склад 1	2	5		2
Склад 2	7	7		13
Склад 3	3	6		8

Вариант 8

Фирма по доставке цветов имеет четыре постоянных клиента. Цветы поставляются из четырех складов, где запас цветов составляет 10, 20, 10, 30 т соответственно. Фирма получила заказ от клиентов: клиент А – 13 т, клиент В – 18 т, клиент С – 20 т, клиент D – 19 т. Удельные затраты на поставку цветов от склада каждому клиенту представлены в табл. 22.

Удельные затраты на поставку цветов, усл. ед.				Таблица 22
Пункт назначения		Клиенты
Пункт отправления	Клиент А	Клиент В	Клиент С	Клиент D
Склад 1	1,22	5,91	8,41	4,12
Склад 2	2,13	0,36	3,63	9,08
Склад 3	0,85	3,45	3,47	5,36
Склад 4	1,24	7,87	2,24	2,69

Для эффективной работы каждого клиента и склада необходима доставка и отправка не менее 2 т цветов.

Определить объем поставки из каждого склада каждому клиенту так, чтобы минимизировать суммарные затраты.

Вариант 9

Однородный груз сосредоточен у 3 поставщиков в объемах 60, 120 и 100 т продукции. Данный груз необходимо доставить 4 потребителям в объемах 20, 110, 40 и 110 т соответственно. Известна стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю (табл. 23). Минимальный объем доставки от каждого поставщика к каждому потребителю должен составлять не менее 2 т продукции.

Стоимость перевозки единицы груза, усл. ден. ед.						Таблица 23
Пункт назначения			Потребители
Пункт отправления	Потребитель 1	Потребитель 2		Потребитель 3	Потребитель 4
Поставщик 1	1	2		5		3
Поставщик 2	1	6		5		2
Поставщик 3	6	3		7		4

54

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, а запросы всех потребителей будут полностью удовлетворены при минимальных затратах на перевозку всех грузов.

Вариант 10

В хозяйстве имеются четыре склада минеральных удобрений и четыре пункта, куда их необходимо доставить. Потребность каждого пункта в минеральных удобрениях различна, запасы на каждом складе ограничены. Стоимость доставки груза от склада к пункту потребления представлена в табл. 24. Минимальный объем доставки со склада потребителю должен составлять не менее 11 т удобрений.

	Исходные данные задачи					Таблица 24
	Пункт назначения		Пункт потребления			Объем, т
	Пункт отправления	П1	П2	П3	П4
	Склад 1	40	51	82	66	127
	Склад 2	70	35	72	25	152
	Склад 3	27	40	40	52	225
	Склад 4	55	8	52	12	175
	Потребности объектов, т	134	108	248	189

Требуется определить, с какого склада, в какой пункт поставлять, сколько минеральных удобрений для минимизации грузооборота перевозок.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение классической транспортной задачи.

2.Какова математическая запись целевой функции и ограничений классической транспортной задачи?

3.В чем отличие закрытой транспортной задачи от открытой?

4.Когда транспортная задача не имеет решений?

5.Назовите основные этапы решения транспортных задач и раскройте их смысл.

6.Каким образом формируется транспортная модель в электронной таблице Excel?

7.Этапы решения транспортной задачи в Excel.

55

Лабораторная работа № 4 Элементы сетевого планирования и управления

Цель работы: приобретение навыков построения моделей сетевого планирования и управления и оптимизации построенных моделей.

Содержание

Изучаются вопросы:

1.Сетевой графике и его параметры.

2.Правила построения сетевого графика.

3.Расчет параметров сетевого графика.

4.Оптимизация технологического графика.

5.Линейный график и способы его построения.

Выполняется вариант задания.

Указания

Сетевой график и его параметры

Выполнение комплексных научных исследований, а также проектирование и строительство промышленных, сельскохозяйственных и транспортных объектов требуют календарной увязки большого числа взаимосвязанных работ, выполняемых различными организациями.

Составление и анализ соответствующих календарных планов представляют собой весьма сложную задачу, при решении которой применяется так называемый метод сетевого планирования. Этот метод дает возможность определить, во-первых, какие работы или операции из числа многих, составляющих проект, являются «критическими» по своему влиянию на общую календарную продолжительность проекта и, во-вторых, каким образом построить наилучший календарный план проведения всех работ по данному проекту с тем, чтобы выдержать заданные сроки при минимальных затратах. Идея сетевого метода очень проста. Она основана на графическом изображении комплекса работ с любой степенью их детализации и на выполнении элементарных арифметических операций по расчету параметров и анализу сетевых графиков.

С математической точки зрения сетевой график – это связный взвешенный орграф G = (A, R) без петель и контуров. При моделировании производственных процессов в качестве вершин графа используют события, а в качестве дуг – работы.

Событие – это момент начала или завершения одной или нескольких работ. Предполагается, что событие не имеет временной продолжительности, а совершается мгновенно. На трафике оно изображается кружком (прямоугольником) и нумеруется. Событие, которым начинается рассматриваемый комплекс работ, называется

56

начальным, а событие, которым завершается комплекс работ, – конечным, остальные события являются промежуточными.

Под работой понимается любой трудовой процесс, сопровождающийся затратой времени и приводящий к нужным результатам. На графе работы, как отмечалось выше, изображаются дугами. Весом каждой дуги является продолжительность соответствующей работы.

Работы бывают действительные и фиктивные.

Действительная работа – это реальный процесс, приводящий к достижению конкретных результатов и требующий затрат определенных ресурсов (материальных средств, времени, персонала). На сетевом графике работа изображается сплошной дугой. Фиктивная работа – условное изображение зависимости между действительными работами. Фиктивная работа не требует затрат ресурсов и времени, на графике она изображается пунктирной дугой.

Любая последовательность работ, соединяющая каких-либо два события, называется путем. Путь, соединяющий исходное и конечное событие через последовательность работ, называется полным путем сетевого графика. Длительностью полного пути является сумма весов (продолжительностей по времени) входящих в него дуг (работ).

Полный путь максимальной продолжительности называется критическим. Критическими также называются работы и события, находящиеся на этом пути. Критический путь выделяется на графике жирными или двойными стрелками. Именно он определяет продолжительность выполнения всего комплекса требуемых работ.

По существу, критический путь – самое «узкое» место проекта. Уменьшить общую продолжительность осуществления проекта можно, только изыскав способы сокращения работ, лежащих на критическом пути. Таким образом, нет никакой необходимости в часто практикуемом стремлении «поднажать» на всех работах ради сокращения общей длительности выполнения проекта.

Сумма продолжительностей всех критических работ называется

критическим сроком выполнения комплекса работ. Очевидно, что быстрее критического срока комплекс работ выполнить нельзя. Действительно, чтобы достигнуть завершающего события, надо пройти обязательно весь критический путь.

Для сокращения продолжительности выполнения комплекса работ необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

57

Правила построения сетевого графика

Можно выделить следующие этапы сетевого планирования: подготовка исходных данных, составление сетевого графика. упорядочение сетевого графика, определение критического пути и резервов времени, анализ и оптимизация сетевого графика.

Этап1. Подготовка исходных данных для построения сетевого графика включает в себя:

Составление перечня работ и событий. Для этого используются технологические карты, регламенты, инструкции и т.д.

Выявление групп работ, которые могут выполняться параллельно, практически независимо друг от друга. Эти работы кодируются цифровым кодом, первая цифра которого обозначает номер подгруппы работ, к которой принадлежит рассматриваемая работа, а вторая цифра – порядковый номер данной работы в этой подгруппе. Определение логических связей и последовательности выполнения работ.

Определение продолжительности работ. Обычно эти данные получаются заблаговременно путем хронометража, методом экспертного опроса или путем анализа статистических данных.

Установление последовательности выполнения и взаимозависимости отдельных работ. Суть этой процедуры состоит в том, что для каждой из работ рассматриваемого перечня определяются работы, непосредственно ей предшествующие, т.е. работы, до завершения которых не может быть начата рассматриваемая работа.

На основании этих исходных данных составляется таблица, содержащая номера работ по порядку, содержание (наименование) работ, число (состав) исполнителей, продолжительность работ и перечни предшествующих работ для каждой работы комплекса.

Пример. Перечень работ, выполняемых при техническом обслуживании автомобиля (табл. 25).

				Перечень работ			Таблица 25
	Номер	Код	Число	Продолжительность	Предшествующие		Участие
			исполнителей,				специалистов в
	работы	работы		работы, мин		работы
			человек				работах
	1	1.1	1	5		–	№1
	2	1.2	2	8		2.3	№1, №2
	3	2.1	1	5		1.1	№1
	4	2.2	1	10		1.1	№2
	5	2.3	2	6		2.1, 2.2	№1, №2

Этап2. Составлениесетевого технологического графика осуществляется в следующем порядке. Сначала строятся частные сетевые графики

58

выполнения отдельных подгрупп работ. При построении графиков следует соблюдать ряд правил (рис. 19).

а)

б)

в)

г)

Рис. 19. Правила построения сетевого графика

1.В сетевом графике должны быть одно начальное и одно завершающее события. Если это не так, то вводятся фиктивные события

иработы.

2.Дуги, соединяющие события, могут иметь произвольную длину и произвольный наклон, но желательно избегать их пересечения.

3.График не должен иметь тупиковых событий, т.е. событий (за исключением завершающего события), из которых не выходит ни одной дуги (рис. 19, а). В этом случае вводят фиктивную работу (рис. 19, б), показанную пунктирной дугой.

4.График не должен содержать событий (за исключением начального события), в которые не входит ни одна дуга (рис. 19, в). В этом случае вводят фиктивную работу (рис. 19, г), показанную пунктирной дугой.

5.Любые два события – вершины графа – могут быть непосредственно связаны не более чем одной дугой.

6.График не должен содержать замкнутых контуров и петель. Построение частных сетевых графиков производится слева направо

от исходного события к завершающему. При этом на графиках отмечаются лишь коды работ и их продолжительность. Затем проводят сшивание частных сетевых графиков в один путем совмещения крайних событий частных графиков и введения, если это нужно, фиктивных работ.

Пример. По данным табл. 25 построить частные сетевые и общий сетевой графики выполнения работ.

Разобьем выполняемые работы на два частных сетевых графика

(рис. 20).

а)	1.2	б)	2.2
1.1			5
5	8		2.1	2.3
			10	6

Рис. 20. Частные сетевые графики

Сшивание частных графиков производится в следующем порядке: к первому частному графику «пришивается» второй, к вновь

59

образованному графику «пришивается» третий и т.д. до тех пор, пока не будут «сшиты» все частные графики.

При сшивании частных сетевых графиков могут образовываться замкнутые контуры. Так, например, «сшивая» частные сетевые графики на рис. 20, получаем замкнутый контур на рис. 21, а. Чтобы его разомкнуть, введем дополнительное событие между работами 1.1 и 1.2 (рис. 21, б). События, которые связаны только фиктивными работами объединяются. После «сшивания» частных графиков в один производится нумерация событий общего графика (номер события указывается в кружке).

а)	1.1	1.2	б)	1.1	1.2
				5	8
	2.1	2.3		2.1	2.3
				5	6
	2.2			2.2
				10

Рис. 21. «Сшивание» частных графиков

Нумерация событий производится по следующему правилу: начальному событию присваивается нулевой номер, следующем событию присваивается очередной номер, если все входящие в него дуги выходят из уже пронумерованных событий, и т.д. Если под это правило подпадает несколько событий, то нумерация производится в любой удобной последовательности, например очередной номер присваивается событию, встречающему первым при следовании слева направо.

После нумерации сетевой график, изображенный на рис. 21, б имеет вид, представленный на рис. 22.

1.1	2.1	2.3	4	1.2
0	1	3		5
5	5	6		8
	10 2.2
		2

Рис. 22. Сетевой технологический график

После построения сетевого графика производятся расчет его параметров, их анализ и оптимизация.

Этап 3. Расчет параметров сетевого графика. Основными параметрами сетевого технологического графика являются ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени наступления событий.

60

Ранний срок свершения события tp(j) – максимальная продолжительность времени выполнения всех работ от исходного события до рассматриваемого j-го события.

Ранние сроки свершения событий определяются последовательно от начального события 0 к конечному N, в порядке нумерации событий, по формуле

tp(j) = max{tp(i) + t(i, j)}, tp(0) = 0, i < j, tp(N) = Tкр,

где tp(j) – ранний срок свершения i-го события, предшествующего рассматриваемому j-му событию; t(i, j) – продолжительность работы, соединяющей i-е и j-e события.

Значения tp могут быть определены непосредственно из графика с помощью мнемонического правила: устанавливаются события (по входящим стрелкам), которые непосредственно предшествуют рассматриваемому событию и к значениям tр этих событий прибавляются длины дуг, соединяющих эти события с рассматриваемым, и из полученных сумм выбирается максимальная, которая и определяет собой значение tp рассматриваемого события.

Поздний срок свершения события tп(i) – максимальный допустимый срок наступления рассматриваемого i-гo события, не приводящий к увеличению критического пути. Он показывает, через какое время после начала выполнения комплекса работ должно наступить интересующее событие, чтобы общая продолжительность работ не увеличилась.

Поздние сроки свершения событий определяются последовательно от завершающего события к исходному в порядке, обратном нумерации событий, по формуле

tп(j) = min{tп(i) – t(i, j)}, tп(N) = tp(N) = Tкр,

где tп(j) – поздний срок свершения j-го события, которому непосредственно предшествует рассматриваемое i-е событие; t(i, j) – продолжительность работы (длина дуги), соединяющей i-е и j-e события.

Заметим, что значения tп и tр конечного события равны и соответствуют величине критического пути Ткр. Это обстоятельство можно использовать для проверки правильности выполнения расчетов.

Значения tп также могут быть определены из графика с помощью мнемонического правила: устанавливаются события (по выходящим дугам), которым непосредственно предшествует рассматриваемое событие и из значений этих событий вычитаются длины дуг, соединяющих эти события с рассматриваемым, и из полученных значений выбирается минимальная, которая и определяет собой значение tп рассматриваемого события.

Резерв времени свершения события t(i) показывает, насколько можно сдвинуть срок наступления рассматриваемого события в сторону его увеличения, не увеличивая при этом критического пути: