МУ ЭММ часть 1
.pdf
81
Технологические связи между отраслями измеряются с помощью коэффициентов прямых материальных затрат. Они могут быть рассчитаны путем деления величин межотраслевых потоков на валовую продукцию потребляющих отраслей. Например, если первая отрасль – производство электроэнергии, вторая – угольная промышленность, то
a |
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
|
X2 |
– коэффициент прямых затрат электроэнергии на единицу |
|||||
|
|
|
|
a |
21 |
|
x21 |
|
|
|
|
|
X2 – коэффициент |
||||
продукции |
угольной промышленности, |
|
||||||
прямых затрат угля на выпуск единицы электроэнергии. Для любой пары отраслей
xij |
|
aij X j . |
(4) |
Коэффициент прямых затрат показывает, сколько единиц продукции i-й отрасли непосредственно затрачивается в качестве средств производства на выпуск единицы продукции j-й отрасли. При i = j имеем коэффициент затрат собственной продукции отрасли на единицу ее валового выпуска. Коэффициенты прямых затрат образуют квадратную матрицу n-го порядка А = [aij]n × n.
Из формулы следует, что xij = aij Xj, значит выражение коэффициентов прямых затрат можно представить в виде:
n |
|
|
Xi aijxj yi |
|
|
j 1 |
. |
(5) |
Формула служит основным математическим соотношением как стоимостных, так и натуральных балансов, и является исходным пунктом расчетов при разработке балансов на плановый период.
Предполагается, что известны aij, тогда в системе (5) n уравнений 2n неизвестных. Неизвестны валовые выпуски всех отраслей и уровни их конечной продукции. Система неопределенна и имеет бесчисленное множество решений. Необходимо задать произвольные значения любым n неизвестным и тогда однозначно решить систему. Исходя из экономического смысла показателей можно говорить о трех вариантах расчета:
1.В модели заданы валовые выпуски продукции всех отраслей и Xj
иопределяется конечная продукция yi .
2.Заданы плановые уровни конечной продукции всех отраслей yi, а определяются величины валовой продукции, обусловленные как
82
заданием по конечному выпуску, так и технологической структурой производства (коэффициенты затрат).
3. По отдельным отраслям задаются уровни валовой продукции по другим – конечного выпуска (возможно по отдельным отраслям и то и другое), так что в сумме число заданных величин составляет n. Решая систему, находим значения остальных n неизвестных.
Теоретически наиболее приемлем второй вариант, а практически третий. Задавать валовой выпуск целесообразно по отраслям, составляющим фундамент общественного производства: энергетической, топливной, металлургической промышленности, машиностроению.
Не всегда удобно пользоваться системой (5), поэтому ее приводят к другому виду, позволяющему выразить валовую продукцию непосредственно через конечную. Используя матричную форму записи, уравнение (5) можно записать:
X = AX + Y
где X – вектор валовых выпусков; Y – вектор конечной продукции; А – матрица коэффициентов прямых материальных затрат.
Далее выполним преобразования X – AX = Y, X(E – A) = Y, где
Е – единичная матрица n-го порядки. Откуда
X = (E – A)-1Y. (6)
Решение системы (5) связано с нахождением обратной матрицы,
каждый элемент которой равен (1 – aij). Матрица
(E – A)-1 = B
называется обратной матрицей Леонтьева (матричным мультипликатором, мультипликатором Леонтьева) и представляет собой матрицу коэффициентов полных материальных затрат. Экономический смысл ее элементов bij заключается в следующем: коэффициент bij показывает потребность в валовом выпуске продукции отрасли j. Коэффициенты полных материальных затрат включают прямые и косвенные затраты. Прямые отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, а косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт через другие средства производства. Отношение полных затрат к прямым невелико в базовых отраслях и достигает больших значений в завершающих отраслях. Коэффициенты полных затрат имеют глубокий экономический смысл и дают исчерпывающую характеристику сложным многозвеньевым производственным связям.
Расчеты в матричных моделях, которые сводятся к определению объема валовой продукции по заданной конечной продукции, могут осуществляться по одному из двух соотношений: по системе уравнений
83
(5) и, учитывая обратную матрицу Леонтьева, по матричному уравнению
X = (E – A)-1Y = BY |
(7) |
Проведение расчетов удобнее вести по матричному уравнению (7). При изменении Y объемов конечной продукции легко найти объем валовой продукции X. Однако применение данного уравнения требует расчета коэффициента полных затрат, что сводится к решению n систем линейных уравнений с n неизвестными. Для практических расчетов более рационально пользоваться соотношениями (5), но можно просчитать малое количество вариантов.
Для того чтобы показать, как упростить расчеты и вычислить все плановые показатели баланса, рассмотрим пример.
Пример. Экономическая структура состоит из трех отраслей: промышленности, сельского хозяйства и прочих отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,30 |
0,25 |
0,20 |
|
56 |
А |
0,15 |
0,12 |
0,03, |
Y |
20 |
|
0,10 |
0,05 |
0,08 |
|
12 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Решение. Для решения составим систему уравнений, основываясь на соотношении (5).
x1 0,3x1 0,25x2 0,25x3 56x2 0,15x1 0,12x2 0,03x3 20x3 0,10x1 0,05x2 0,08x3 12
Приведем подобные члены, перенесем все неизвестные в левую часть:
0,7x1 0,25x2 0,25x3 56
0,15x1 0,88x2 0,03x3 200,10x1 0,05x2 0,92x3 12 .
Решим систему уравнений средствами Excel. Создадим модель задачи представленную на рис. 26, запустим средство программы Поиск решения (вкладка Данные команда Поиск решения) и получим результат решения системы Х = (102,20; 41,05; 26,38).
84
Модель решения системы
Результат решения системы
Рис. 26. Решение системы уравнений
Для составления баланса рассчитаем межотраслевые потоки по формуле (4):
x11 = 0,3 102,2 = 30,6; x12 = 0,25 41,05 = 10,3; x13 = 0,2 26,38 и т.д.
Реализация данного этапа представлена на рис. 27.
Модель расчета межотраслевых
Результат расчета
Рис. 27. Расчет матрицы межотраслевых потоков
Результаты представим в форме межотраслевого баланса, где чистая продукция определяется как разница между валовой продукцией
85
отрасли и суммой межотраслевых потоков в столбцах (рис. 28 и
табл. 49).
Рис. 28. Макет модели межотраслевого баланса
|
|
|
|
|
Таблица 49 |
|
Производящие |
Потребляющие отрасли |
конечная |
валовая |
|||
отрасли |
промыш- |
сельское |
прочие |
продукция |
продукция |
|
ленность |
хозяйство |
отрасли |
||||
|
|
|
||||
Промышленность |
30,66 |
10,26 |
5,28 |
56 |
102,20 |
|
Сельское хозяйство |
15,33 |
4,93 |
0,79 |
20 |
41,05 |
|
Прочие отрасли |
10,22 |
2,05 |
2,11 |
12 |
26,38 |
|
Чистая продукция |
45,99 |
23,81 |
18,20 |
|
|
|
валовая продукция |
102,20 |
41,05 |
26,38 |
|
|
|
Воспользуемся соотношением (7). Коэффициент полных затрат можно вычислить, беря в качестве конечной продукции единичные векторы. В этом случае система (5) определяет, сколько продукции каждой из отраслей надо произвести, чтобы выпустить в сферу конечного потребления одну единицу продукции данной отрасли. Это совпадает с определением коэффициента полных затрат.
Рассчитаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В. В программе Excel выделим диапазон ячеек для матрицы (G30:I32). Введем формулу =МОБР(N1:P3-F1:H3), нажмем комбинацию
клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис. 29).
Ctrl+Shift+Enter
Рис. 29.Модель расчета матрицы полных материальных затрат
86
Рассчитанная матрица В: 1,580 0,469 0,359
B 0,276 1,220 0,100
0,187 0,117 1,131
Наибольшее различие между коэффициентами прямых и полных затрат наблюдается для собственной продукции каждой отрасли. Проверим правильность расчета коэффициентов:
X1 = b11y1 + b12y2 + b13y3 = 1,58 56 + 0,469 20 + 0,359 12 = 102,20.
Задания
Вариант 1
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,1 |
0,4 |
0,1 |
|
|
100 |
А |
0,05 |
0,2 |
0,1 |
, |
Y |
50 |
|
0,25 |
0,2 |
0,05 |
|
|
150 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 2
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,3 |
0,1 |
0,4 |
|
|
200 |
А |
0,2 |
0,5 |
0 |
, |
Y |
100 |
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
|
300 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
87
Вариант 3
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,0 |
0,2 |
0,1 |
|
200 |
А |
0,3 |
0,0 |
0,1, |
Y |
100 |
|
0,2 |
0,1 |
0,0 |
|
200 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 4
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,3 |
0,1 |
0,4 |
|
200 |
А |
0,2 |
0,5 |
0,0, |
Y |
100 |
|
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
300 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 5
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,1 |
0,1 |
0,2 |
|
50 |
А |
0,2 |
0,3 |
0,1, |
Y |
40 |
|
0,1 |
0,2 |
0,2 |
|
80 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
88
Вариант 6
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,12 |
0,23 |
0,06 |
|
|
50 |
А |
0,08 |
0,12 |
0,18 |
, |
Y |
60 |
|
0,3 |
0,22 |
0,31 |
|
|
80 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 7
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,11 |
0,18 |
0,11 |
|
22 |
А |
0,24 |
0,23 |
0,23, |
Y |
45 |
|
0,05 |
0,08 |
0,06 |
|
5 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 8
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,26 |
0,25 |
0,20 |
|
125 |
А |
0,15 |
0,11 |
0,30, |
Y |
361 |
|
0,28 |
0,09 |
0,10 |
|
158 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
89
Вариант 9
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,19 |
0,11 |
0,70 |
|
|
187 |
А |
0,08 |
0,15 |
0,16 |
, |
Y |
198 |
|
0,15 |
0,09 |
0,11 |
|
|
239 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Вариант 10
Экономическая структура состоит из трех отраслей. Пусть на плановый период заданы матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y.
|
0,09 |
0,37 |
0,41 |
|
100 |
А |
0,22 |
0,08 |
0,16, |
Y |
120 |
|
0,21 |
0,19 |
0,11 |
|
130 |
Необходимо рассчитать плановые объемы выпуска валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей и результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Контрольные вопросы
1.Что такое матричная модель?
2.Как матричное моделирование можно использовать в производственном планировании?
3.Поясните экономический смысл матриц N, A, K, M, L, Q, T.
4.Какие основные задачи решаются на основе межотраслевого баланса?
5.Поясните сущность балансового метода.
6.Дайте характеристику структуры межотраслевого баланса. В чем выражается балансовый характер этой таблицы?
7.Приведите основные уравнения балансового метода.
8.Дайте определение и экономическую интерпретацию коэффициентов прямых затрат.
9.В чем заключается сущность математического аппарата метода межотраслевого баланса?
10.Как классифицируются балансовые модели?
90
Лабораторная работа № 6 Элементы теории массового обслуживания
Цель работы: приобретение навыков нахождения основных параметров систем массового обслуживания, изучение математического аппарата теории.
Содержание
Изучаются вопросы:
1.Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания
2.Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий
3.Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний
4.Процесс гибели и размножения
5.Системы массового обслуживания с отказами
6.Системы массового обслуживания с ожиданием
Выполняется вариант задания.
Указания
Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания
Системами массового обслуживания (СМО) называются системы,
предназначенные для многоразового использования при решении однотипных задач. Примерами систем массового обслуживания являются магазины, ателье, телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские и т.д. Каждая СМО может состоять из одной или нескольких обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания.
По числу каналов системы массового обслуживания подразделяются на одноканальные и многоканальные.
Каждое обращение клиента в СМО называется заявкой. Как правило, заявки поступают в систему массового обслуживания случайным образом, формируя случайный поток заявок. Продолжительность обслуживания заявки в канале СМО также носит случайный характер. В конечном счете система массового обслуживания по времени оказывается загруженной неравномерно. В периоды времени, когда мало заявок, СМО работает с недогрузкой или простаивает.
Если же поступает большое число заявок, то часть из них либо покидают систему необслуженными, либо становятся в очередь. По этому признаку СМО подразделяются на два основных класса:
1. Система массового обслуживания с отказами, в которой заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему;