79

Лабораторная работа № 6 Элементы теории массового обслуживания

Цель работы: приобретение навыков нахождения основных параметров систем массового обслуживания, изучение математического аппарата теории.

Содержание

Изучаются вопросы:

1. Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания

2.Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий

3.Системы массового обслуживания с отказами

4.Системы массового обслуживания с ожиданием

Выполняется вариант задания.

Указания

Основные понятия теории систем массового обслуживания

Системами массового обслуживания(СМО) называются системы,

предназначенные для многоразового использования при решении

однотипных		задач. Примерами	систем	массового	обслуживания
являются	магазины, ателье, телефонные			станции, билетные кассы,
ремонтные мастерские и т.д. Каждая СМО может состоять из одной или
нескольких		обслуживающих единиц, которые называются каналами

обслуживания.

По числу каналов системы массового обслуживания подразделяются на одноканальные и многоканальные.

Каждое обращение клиента в СМО называется заявкой. Как правило,

заявки поступают		в систему		массового обслуживания			случайным
образом,	формируя	случайный		поток	заявок. Продолжительность
обслуживания заявки в канале СМО также носит случайный характер. В
конечном	счете, система		массового		обслуживания	по	времени

оказывается загруженной неравномерно. В периоды времени, когда мало заявок, СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Если же поступает большое число заявок , то часть из них либо покидают систему необслуженными, либо становятся в очередь. По этому признаку СМО подразделяются на два основных класса:

1.система массового обслуживания с отказами, в которой заявка,

поступившая в момент, когда все каналы заняты , получает отказ и покидает систему;

2.система массового обслуживанияс ожиданием (с очередью), в

которой в случае занятости всех каналов заявка становится в очередь на

80

обслуживание. При этом способ отбора для обслуживания заявок из очереди называется дисциплиной обслуживания.

Различают следующие виды дисциплин обслуживания заявок:

-первой пришла – первой обслужена;

-последней пришла – первой обслужена;

-обслуживание с приоритетом – в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки;

-обслуживание с ограниченной длиной очереди;

-обслуживание с ограниченным временем пребывания в очереди и

т.д.

Показатели эффективности функционирования систем массового обслуживания характеризуют ее способность справляться с потоком заявок.

К числу показателей эффективности СМО с отказами относятся:

Абсолютная пропускная способность (А) определяет среднее число заявок, обслуживаемых за единицу времени.

Относительная пропускная способность(Q) – это отношение абсолютной пропускной способности к числу заявок, приходящих в единицу времени.

Вероятность отказа в обслуживании (Ротк) определяется ситуацией занятости всех каналов СМО и всех мест в очереди.

Среднее	число	занятых каналов(Sk) –		среднее	число каналов,
занятых обслуживанием.
Среднее	число	свободных	каналов(Sсв)	– среднее количество
простаивающих каналов.
Коэффициент		простоя	каналовотношение		среднего	числа
свободных каналов к общему количеству каналов обслуживания.
Коэффициент		занятости	каналовотношение		среднего	числа
занятых каналов к общему количеству каналов обслуживания.

Средняя длина очереди(Lоч) число ждущих, но не обслуживаемых заявок.

Среднее число заявок в системе(Lсист) складывается из средних значений занятости каналов и длины очереди.

Среднее время ожидания обслуживания(Тсист) отражает среднее время пребывания заявки в очереди плюс время обслуживания.

Понятие Марковского случайного процесса.

Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем работы. Это означает, что состояние СМО изменяется скачкообразно в случайный момент времени работы(например, при поступлении новой заявки или при окончании обслуживания заявки).

81

Случайный процесс называетсяМарковским или процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от состояния рассматриваемой системы в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Например, Марковским процессом можно считать процесс игры в шахматы: при определенной позиции (положении фигур на доске) вероятность выигрыша одного из игроков зависит только от этой позиции и не зависит от того, посредством каких предыдущих ходов эта позиция получилась.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Стационарным потоком событий называется поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока является величиной постоянной.

Потоком событий без последействияназывается поток, число событий которого, попавших на заданный временной интервал, не зависит от числа событий, попавших на другие временные интервалы.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый промежуток времени Dt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и без последействия.

Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание.

Можно показать, что для простейшего потока числоm событий, попадающих на произвольный интервал времени(0, t ) , распределено по закону Пуассона

	P		(t )=	(lt )m × e-lt
	m			m!	.
В частности,	вероятность того, что за время t						не произойдет ни
одного события (m = 0), равна P0(t) = e-lt.
Обозначим через Т случайную величину, равную интервалу времени
между двумя последующими событиями простейшего потока.
Очевидно, что вероятность того, что T будет не меньшеt, равна
вероятности, что за время t не произойдет ни одного события, т.е.
Вероятность	P(T ≥ t) = P0(t) = e-lt.							собой
	Р ( Т < t ) ,	с одной			стороны, представляет
вероятность	противоположного				события		по	отношению	к

82

вышеуказанному, а с другой стороны, она – по определению функция

распределения F ( t ) для случайной величины Т .

Таким образом,

F(t) = Р ( Т < t ) = 1 – P(T ≥ t) = 1 – P0(t) = 1 – e-lt.

Найдем

вероятность попадания

на

малый временной интервалDt

хотя бы одного события простейшего потока. Эта вероятность равна

вероятности того, что интервал между двумя последующими событиями

в потоке будет меньше, чем Dt,

P(T < Dt) = F(Dt) = 1 – e-lDt » lDt.

Последнее приближенное равенство получаем путем разложения

функции e-lDt в ряд Маклорена и отбрасыванием членов второго порядка

и выше

(- lDt )2

e-lDt = 1+ (- lDt )+

+K » 1- lDt

2!

.

Заметим, что если переход системы из одного состояния в другое

происходит скачком, а количество состояний системы(конечное или

бесконечное)

можно

пронумеровать, то

такая

система

называется

системой дискретного типа.

Если в такой системе количество возможных состояний счетно, то

сумма вероятностей нахождения системы в одном из состояний

å pk (t )=1

.

k

Совокупность

вероятностей pk(t)

для

каждого

момента

времени

характеризует случайный процесс функционирования системы.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями

используют граф состояний, в котором каждое состояниеS0, S1, …, Sn

исследуемой системы изображают в виде прямоугольника, а переход из

состояния

Si

в

состояние Sj

под воздействием

простейших

потоков

событий показывают дугой (стрелкой).

Если около дуг записаны значения интенсивности потоковlij, то

граф состояния называют размеченным.

Пусть

двухканальная

система

массового

обслуживания может

находиться в одном из трех состояний: S0

– оба канала свободны; S1 –

один из каналов занят обслуживанием, а другой свободен; S2

–

оба

канала заняты обслуживанием.

Переходы системы из состоянияS0

в

состояние S1 и

из S1

в S2

с

происходят

под

воздействием

простейших

потоков

заявок

интенсивностями l01 и l12 соответственно, а из S1 в S0

и из S2 в S1 – под

воздействием потоков обслуживания с интенсивностями l10 и l21.

83

Тогда размеченный граф состояний СМО имеет вид, изображенный на рис. 27.

l01	S1	l12
S0		S2
l10		l21

Рис. 27. Размеченный граф состояний двухканальной системы массового обслуживания

Системы массового обслуживания с отказами

Пусть имеется одноканальная система массового обслуживания с отказами, в которую поступает поток заявок с интенсивностьюl. Заявки обслуживаются каналом СМО с некоторой интенсивностьюm. Процесс обслуживания образует поток обслуженных заявок.

Здесь и далее будем предполагать , что все потоки в СМО простейшие. Если заявка поступает в момент, когда единственный канал занят, то она получает отказ и в дальнейшей работе СМО не участвует.

Требуется определить предельные вероятности состояний такой СМО и показатели ее эффективности.

СМО имеет два состояния: S0 – канал свободен и S1 – канал занят

(рис. 28).

l
S0	S1
m
Рис. 28. Размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами
Формулы для расчета характеристик СМО представлены в табл. 60.
								Таблица 60
Характеристики СМО		Расчетные формулы
Вероятность отсутствия клиентов в системе		p =			m
		0		l + m
Вероятность обслуживания		p =			l
		1		l + m
Вероятность отказа		Pотк = p1 =						l
							l + m
Относительная пропускная способность		Q = p0		=			m
						l + m
Абсолютная пропускная способность		A = Ql =					lm
						l + m

84

Пусть в СМО имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Это пример многоканальной СМО с отказами.

Поток обслуживается одним каналом с интенсивностьюm, двумя каналами – 2m, тремя – 3m и т.д.

Обозначим состояния СМО S0, S1, S2, …, Sk, …, Sn, где Sk – состояние, когда в ней находится k заявок, т.е. k каналов заняты.

Граф состояний СМО в этом случае(он соответствует процессу гибели и размножения) будет иметь вид, изображенный на рис. 29.

	l	l	l		l	l		l
				…			…
	S0	S1	S2		Sk			Sn
	m	2m	3m		km	(k+1)m		nm

Рис. 29. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

Из рис. 29 очевидно, что поток заявок последовательно переводит систему из левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания зависит от состояния. Если СМО находится в состоянииS2 (заняты два канала), то

она может перейти в состояниеS1, когда закончат обслуживание либо

первый,

либо второй

занятый канал. Следовательно,

суммарная

интенсивность потока обслуживания будет 2m и т.д.

В соответствии

с

графом, изображенным

на

рис. 29, пропускную

r =

l

r =

l

m

2m –

способность

одного

канала

обозначим

,

двух каналов,

r =

l

3m

– трех и т.д.

Формулы для расчета характеристик СМО представлены в табл. 61.

Таблица 61

Характеристики СМО

Расчетные формулы

Вероятность

отсутствия

клиентов в

æ

r2

rk

rn ö

-1

системе

p

0

= ç1

+ r +

+K+

+K+

÷

ç

2!

k!

÷

è

n! ø

Вероятность обслуживания

r

2

r

k

p = rp

;

p

=

p ; K p

=

p

; K

2

k

1

0

2!

0

0

k!

Вероятность отказа

P

=

r

n

p

отк

n!

0

Относительная

пропускная

r

n

способность

Q =1 - Pотк =1-

p0

n!

85

Окончание табл. 61

Характеристики СМО

Расчетные формулы

Абсолютная пропускная способность

æ

r

n

ö

A = lQ = lç1 -

p

÷

0

ç

n!

÷

è

ø

Среднее число занятых каналов

A

æ

r

n

ö

k =

ç

-

÷

m

= rç1

n!

p0 ÷

è

ø

Системы массового обслуживания с ожиданием

Пусть имеется одноканальная СМО с неограниченной очередью

(например, телефон-автомат с одной будкой). То есть на СМО не наложены никакие ограничения ни по длине очереди, ни по времени ожидания.

Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность l. Поскольку обслуживание ведет один канал, то обслуживание заявок производится с одинаковой интенсивностью для всех состояний.

Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состоянийS0, S1, S2, …, Sk, … по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 – канал свободен;

S1 – канал занят, обслуживает заявку, очереди нет; S2 – канал занят, в очереди одна заявка;

…

Sk – канал занят, в очереди (k – 1) заявка;

…
Размеченный граф состояний СМО имеет					вид, изображенный на
рис. 30.
l	l	l		l		l
			…				…
S0	S1	S2			Sk
m	m	m	…	m		m	…

Рис. 30. Одноканальная СМО с ожиданием

Это процесс с бесконечным числом состояний. Для такого процесса доказано, что если среднее число приходящих заявок в единицу времени

		r =	l
	меньше среднего числа обслуживаемых заявок		m < 1, то предельные
	вероятности существуют. Если r ≥ 1,	то очередь растет до
	бесконечности.

Формулы для расчета характеристик СМО представлены в табл. 62.

86

Таблица 62

Характеристики СМО

Расчетные формулы

Вероятность отсутствия клиентов

в

p0 = 1 – r

системе

Вероятность обслуживания

p1 = rp0 = r(1 – r);

p2 = r2p0 = r2(1 – r);

…,

pk = rkp0 = rk(1 – r) …

Среднее число заявок в системе

L

=

r

сист

1 - r

Среднее

число

заявок, находящихся

Lоб = r

под обслуживанием

Среднее число заявок в очереди

Lоч = Lсист – Lоб =

r

2

1 - r

Среднее

время

пребывания

заявки

в

T

= Lсист

=

r

системе

сист

l

l(1-r)

Среднее

время

пребывания

заявки

в

T

= Lоч

=

r2

очереди

оч

l

l(1 - r)

Рассмотрим многоканальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность , λа поток обслуживании – интенсивность μ.

Система может находиться в одном из состоянийS0, S1, S2, …, Sk, …, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 – в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 – занят один канал , остальные свободны; S2 – заняты два канала, остальные свободны; … Sk – занято k каналов, остальные свободны; … Sn –заняты все n каналов (очереди нет); Sn+1 – заняты все n каналов, в очереди одна заявка; … Sn+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, и т.д.

Граф состояний системы показан на рис. 31. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей , СМОинтенсивность потока обслуживании (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины μ доnμ, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nμ.

87

Известно, что при r < 1 предельные вероятности существуют. Если n

r ≥ 1, очередь растет до бесконечности. n

l

l

…

l

l

…

l

l

l

…

Sn

Sn+1

S0

S1

…

Sk

…

2m

…

m

2m

km

(k+1)m

nm

nm

Рис. 31. Многоканальная СМО с ожиданием

Формулы для расчета характеристик СМО представлены в табл. 63.

Таблица 63

Характеристики СМО

Расчетные формулы

Вероятность

отсутствия

æ

r

2

r

k

r

n

r

n+1

ö

-1

клиентов в системе

p

0

= ç1+ r +

+K+

+K+

+

÷

ç

2!

k!

n!

÷

è

n!(n - r)ø

Вероятность обслуживания

1

r

k

r

n

p =

r

× p

0

; …, p

k

=

× p

0

, …, p

n

=

× p

0

,

1

1!

k!

n!

pn+1

=

rn+1

× p0 , …, pn+r

=

rn+r

× p0 , …

n ×n!

nr

× n!

Вероятность того, что заявка

pоч =

rn+1

× p0

окажется в очереди

n!(n - r)

Среднее

число

занятых

= l = r

k

каналов

m

Среднее число заявок в

rn+1 × p

æ

r ö-2

очереди

L

=

0

ç1-

÷

оч

n ×n!

è

n ø

Среднее

число

заявок

в

Lсис = Lоч + r

системе

Среднее

время

пребывания

T

= Lсист

=

r

заявки в очереди

сист

l

l(1-r)

Среднее

время

пребывания

T

= Lоч =

r2

заявки в системе

оч

l

l(1 - r)

Замечание. Для СМО с неограниченной очередью приr < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Pотк = 0, относительная пропускная способность Q = 1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок,

т.е. A = λ.

88

Пример 1. На строительном участке в инструментальной мастерской работают два мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда оба мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 18; среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно 10 мин.

Сколько мастеров должно работать в мастерской, чтобы вероятность обслуживания рабочих была выше85%? Оценить основные характеристики работы данной мастерской по выбранным каналам обслуживания.

Решение:

Для решения воспользуемся формулам табл. 61 и все вычисления выполним в MS Excel. Модель с формулами на языке Excel приведена на рис. 32. Результат решения приведен на рис. 33-34.

Рис. 32. Модель решения задачи

89

Рис. 33. График вероятности отказа в обслуживании

Рис. 34. Результат решения задачи

Из графика на рис. 33 (Мастер диаграмм Excel/Точечная) видно, что минимальное число каналов обслуживания(мастеров), при котором вероятность обслуживания работника будет выше85% (вероятность отказа должна быть меньше 0,15), равно 5.

Видно, что СМО в значительной мере перегружена: из двух мастеров занято в среднем1,4 (ячейка D20 рис. 34), а из обращающихся в мастерскую рабочих около53% (ячейка D7 рис. 34) остаются необслуженными.

90

Пример 2. Небольшое кафе в парке отдыха, одно из многих, имеет 9 столиков. Посетители, увидевшие свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов в среднем составляет 24 мин.

Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Поток потенциальных клиентов можно считать пуассоновким, его интенсивность – 1 заявка за 2 минуты.

Хозяин подумывает немного расширить кафе и довести количество столиков до дюжины. Принесет ли ему выгоду этот шаг, если занятый столик приносит 750 руб. в час, из которых остается оплатить содержание одного столика – 300 руб./час?

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

Решение:

Для расчета прибыли от кафе, зависящей, от коэффициента загрузки столиков, нужно вычислить характеристики СМО.

По условию данной задачи получается , что очереди в кафе нет совсем. Это соответствует модели СМО с отказами. Под клиентом будем понимать и одиночного посетителя, и пару, и группу, которые занимают один из столиков. Видимо по умолчанию предполагается, что столики маленькие и если даже один клиент сидит за ним, к нему никто не подсаживается.

В задаче в качестве канала выступает столик, та им образом, количество каналов в системе равно 9.

Определим интенсивность потока клиентов и интенсивность потока обслуживания для одного столика. Так как потенциальные клиенты проходят мимо кафе раз в 2 минуты, то интенсивность потока λ = 60/2 = 30 клиентов в час. В среднем клиенты проводят за столиком 24 минуты. Очевидно, эту величину и нужно считать временем обслуживания. При этом интенсивность потока обслуживания в расчете на часовой интервал времени будет равна μ = 60/24 = 2,4 клиентов в час.

Для расчета характеристик СМО воспользуемся формулами табл. 61. На рис. 35 представлена модель решения задачи, а результаты

решения задачи на рис. 36.

Проанализируем полученные результаты.

Видно, что в среднем из 9 столиков занятыми оказываются 7,67 (ячейка G15), а процент загрузки каждого столика равен около0,85 (ячейка H15). Вероятность того, что все столики заняты (9 клиентов в системе) равна 36% (ячейка D15).

Теперь оценим прибыли и затраты владельца кафе. При любом раскладе хозяин платит за столик 300 руб. в час, соответственно за 9 столиков – 2700 руб. в час. Если бы столики были заняты все время, каждый приносил бы 750 руб. в час. Но, как мы уже заметили, каждый столик загружен примерно 85% времени.

91

Рис. 35. Модель решения задачи

92

Рис. 36. Результат решения задачи

93

Это значит, что из этих750 руб. столик приносит только639,57 руб. (ячейка J15), а прибыль со всех столиков составляет 3056 руб. в час.

Оценим теперь прибыль от12 столиков (строка 18 на рис. 36). При проценте загрузки около 80% (ячейка H18) каждый столик даст только 601 руб. (ячейка J18). Это меньше, чем при 9 столиках. Но зато столиков теперь больше и прибыль кафе составит около3613 руб., что примерно на 18% больше, чем при 9 столиках. Таким образом, увеличить количество столиков до 12 – выгодно.

Оптимальное количество столиков равно14 (строка 20) – прибыль равна 3745,11 руб. Т.к. увеличение количества столиков до 15 приводит к снижении общей прибыли до 3728,44 руб.

Пример 3. Минимаркет с одним контролером-кассиром обслуживает покупателей. Интенсивность входящего потока равна20 покупателей в час, а интенсивность потока обслуживания равна 25 покупателей в час.

Найти показатели эффективности СМО. Определить вероятность того, что в очереди стоит один покупатель.

Насколько нужно изменить время обслуживания покупателя, чтобы вероятность занятости кассира увеличилась до 95%?

Решение:

Для расчетов показателей эффективности одноканальной СМО с ожиданием воспользуемся формулами табл. 62.

Модель решения задачи представлена на рис. 37

Рис. 37. Модель решения задачи

94

Результаты решения задачи представлены на рис. 38.

Рис. 38. Результаты решения задачи

Для ответа на последний вопрос задачи воспользуемся инструментом MS Excel Подбор параметра (вкладка Данные группа Работа с данными

пункт Анализ "что-если"/Подбор параметра). Необходимо подобрать

значение вероятности того, что кассир занят(ячейка В10), изменяя значение интенсивности потока обслуживания(ячейка В3). Диалоговое окно подбора значений представлено на рис. 39.

		Рис. 39. Окно Подбора параметра
В результате		подбора	время	обслуживания покупателя составило
2,85 минут, что больше на 0,45 минуты (2,85 – 2,4)						или на 27 секунд.
Пример	4.	Минимаркет		с	двумя	контролерами-кассирами
обслуживает	покупателей.		Интенсивность		входящего потока равна

20 покупателей в час, а интенсивность потока обслуживания равна25 покупателей в час.

Найти показатели эффективности СМО. Определить вероятность того, что в магазине окажется 4 покупателя.

95

Решение:

Для расчетов показателей эффективности одноканальной СМО с ожиданием воспользуемся формулами табл. 63.

Для нашего примера r = 0,8. Тогда r = 0,8 < 1. В данной СМО n 2

существуют предельные вероятности.

Модель решения задачи представлена на рис. 40

Рис. 40. Модель решения задачи

Результаты решения задачи представлены на рис. 41.

Рис. 41. Результаты решения задачи

96

ЗАДАНИЯ

Вариант 1

Задача 1. В бюро обслуживания в среднем поступает 15 заявок в час. Если клиент заходит в бюро и все операторы заняты, он уходит. Среднее время обслуживания клиента составляет 11 минут. Считая поток заказов простейшим, определить основные характеристики СМО.

Сколько операторов должно работать в бюро, чтобы вероятность обслуживания была выше 95%? Необходимо ли добиваться вероятности обслуживания выше 95%, если оплата оператора составляет 250 руб. за клиента, а клиент оплачивает услугу в среднем по 500 руб. за заявку.

Задача 2. Булочная «Горячий хлеб» имеет одного контролеракассира, который за смену получает 314 руб. В течение часа в магазин приходят в среднем54 покупателя. Среднее время обслуживания контролером-кассиром одного покупателя составляет 1 минуту. Средняя стоимость одной покупки составляет20 рублей, а каждый час, который клиент провидит в очереди, оценивается в 5 руб. Определить характеристики СМО и вероятность того, что в очереди стоит не более

десяти покупателей.
Оцените	экономическую	эффективность	СМО. А	для	этого

выполните расчет выручки от продажи за12 часов рабочего времени, общих затраты булочной, которые складываются из затрат, связанных с ожиданием в очереди, и зарплаты контролера кассира.

Насколько должна увеличиться сумма одной покупки в булочной,

чтобы прибыль за смену увеличилась на 640 руб.?
	Вариант 2
Задача 1. В	ресторан прибывает в среднем6 посетителей в час.
Считая поток	посетителей простейшим,	зная, что посетители

покидают ресторан, если нет свободных столиков, определить основные характеристики СМО.

Сколько столиков должно быть в ресторане, чтобы вероятность

обслуживания	была	выше72%? Учесть, что	среднее	время
обслуживания клиентов составляет 45 мин.

Если занятый столик приносит доход550 руб. в час, а содержание одного столика обходится в150 руб./час. Какое количество столиков принесет хозяину наибольшую прибыль?

Задача 2. Автосервис решил нанять механика для того , чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата . Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за250 руб. в час. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать3 клиента в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить4 клиента в час, но его можно нанять на работу за 360 руб. в час. Клиенты

97

прибывают со скоростью 2 клиента в час. Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в540 руб. в час. Предполагая пуассоновское распределение прибытия и экспоненциальное– времени обслуживания, определить: среднее время, которое клиент проводит в очереди; среднюю длину очереди; среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания; среднее число клиентов в системе обслуживания; вероятность того, что система обслуживания окажется свободной при условии найма одного или другого механика.

Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?

Насколько должна увеличиться интенсивность потока клиентов в автосервис, чтобы свободное время нанятого механика снизилось в 2 раза?

Задача	1.			Вариант 3
		Отель	на	океанском	побережье	держит	четырех
инструкторов, которые обучают туристов серфингу в индивидуальном
порядке. Поток туристов, желающих поучиться, достаточно велик и к
домику	инструкторов		в	среднем	каждые15 минут	подходит

потенциальный клиент. Если все инструкторы заняты, туристы не ждут, когда кто-нибудь из них освободится , а уходят к другой группе инструкторов, т.к. недостатка в инструкторах, в общем, нет.

В целом распределение для времени занятий можно считать экспоненциальным. При этом средняя продолжительность занятия составляет один час. Стоимость занятия для клиента– 500 руб. в час.

Инструкторам отель платит 150	руб. в час.
Какова вероятность того,	что все четыре инструктора заняты?
Сколько минут из часа в среднем каждый инструктор свободен? Какова

вероятность того, что все четыре инструктора не заняты? Управляющему отелем показалось, что инструкторы имеют слишком

много нерабочего времени. Он склоняется к мысли, уволить одного инструктора. Выгодно ли это для отеля? Какое количество инструкторов принесет наибольшую прибыль отелю?

Задача 2. В верхнем течении реки построена новая станция по обслуживанию речных судов. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 4 судна в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 10 судов в час. В среднем издержки по простою речного судна составляют3650 руб. в час, а издержки по обслуживанию дока – 2700 руб. в час.

Определить: вероятность того, что док будет пуст? каково среднее число судов в очереди? каково среднее время ожидания обслуживания? каково среднее время пребывания в доке?

98

Администрация станции рассматривает возможность введения в

строй еще одного дока с той же скоростью обслуживания . Есть ли в этом необходимость?

Как должны измениться издержки по обслуживанию дока или для системы с одним доком , или для системы с двумя доками , чтобы совокупные издержки систем были одинаковыми?

Вариант 4

Задача 1. На трехканальной телефонной линии заявка-вызов, поступившая в момент, когда все канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью 60 звонков в час.

Время	обслуживания		заявки	есть	случайная		величина, которая
подчиняется		экспоненциальному		закону		распределения. Средняя
продолжительность			разговора 3	мин.	Определите		показатели
эффективности работы СМО.

Какова вероятность того, что все линии заняты? Какова вероятность того, что все линии не заняты?

Управляющий станции решил уволить одного оператора. Выгодно ли данное решение? Какое количество операторов принесет наибольшую прибыль?

Задача 2. В магазин с одним прилавком покупатели прибывают по закону Пуассона со средней скоростью15 покупателей в час. Время

обслуживания	распределено		экспоненциально, средняя		скорость
обслуживания	– 20	покупателей	в	час. Определить: среднее	время,
которое покупатель		проводит	в	очереди; среднюю длину	очереди;

среднее время, которое покупатель проводит в магазине; среднее число покупателей в магазине; вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 70 руб. за один час ожидания.

Он решил ограничить среднее время ожидания обслуживания пятью минутами. Владелец решил добиться этого двумя способами:

1 способ. Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то время как кассир рассчитывается с покупателем(часовая оплата каждого– 110 руб.). Это позволит увеличить среднюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час.

2 способ. Нанять второго кассира (часовая оплата – 110 руб.), тем самым создать в магазине двухканальную очередь(средняя скорость обслуживания – 20 клиентов в час для каждого работника).

Какую альтернативу следует выбрать?

Как должна измениться почасовая оплата сотрудников магазина, чтобы совокупные издержки каждой альтернативы были одинаковыми?

99

Вариант 5

Задача 1. Рассмотрим работу автомойки самообслуживания с тремя боксами. Автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, получает отказ в обслуживании. Поток заявок на мойку в среднем 1 автомобиль в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа.

Определите в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности; абсолютной пропускной способности; вероятности отказа. Сравните фактическую пропускную способность с номинальной , которая была бы , если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Сколько боксов должно работать на мойке, чтобы вероятность обслуживания была выше90%? Необходимо ли добиваться такой вероятности обслуживания, если стоимость мойки одного автомобиля составляет 200 руб., а обслуживание одного бокса обходится в среднем

110 руб.

Задача 2. В небольшой супермаркет в одном из районов города

покупатели		прибывают	по	закону	Пуассона со	средней	скоростью
12 человек	в час. На выходе из супермаркета стоит один кассовый
аппарат, и		обслуживает	его	один	кассир. Часовая	оплата	кассира

составляет 110 руб. в час. Время, затраченное на расчеты с клиентом, распределено экспоненциально и в среднем равно3,75 мин. Затраты, связанные с ожиданием в очереди, оцениваются в среднем в77 руб. за час.

Насколько должна увеличиться интенсивность потока клиентов в супермаркет, чтобы свободное время нанятого кассира снизилось в 2 раза?

Владелец магазина решил приобрести второй кассовый аппарат и нанять второго кассира. Есть ли необходимость в приобретении второго

кассового	аппарата	с	точки	зрения	экономического ? эффекта
Амортизационные отчисления от приобретенного кассового аппарата и
затраты на его обслуживание пренебрежимо малы, поэтому в расчетах
их можно не учитывать.
Определить приведет			ли к	сокращению	очереди приобретение

третьего кассового аппарата, но есть ли в этом необходимость с точки зрения экономического эффекта?

100

Вариант 6

Задача 1. На станции техобслуживания автомобилей имеется три подъемника. Станция работает 14 часов в сутки. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью 4 автомобиля в час. Среднее время продолжительности обслуживания автомобиля2,5 часа и распределено по показательному закону. Требуется вычислить основные числовые характеристики функционирования станции.

Если занятый подъемник приносит доход1100 руб. в час, а содержание одного подъемника обходится 850в руб./час. Какое количество подъемников принесет хозяину наибольшую прибыль?

Задача 2. Предприятие быстрого питания обслуживает клиентов, прибывающих на автомашинах по закону Пуассона со средней скоростью 24 машины в час. Время обслуживания распределено экспоненциально. Клиенты делают свой заказ, а затем отъезжают, чтобы оплатить и получить заказанное. Каждый час, который клиент проводит в очереди, оценивается в 900 руб. Оплата служащим равна 250 руб. в час. Помимо зарплаты для обеспечения работы каждого из каналов надо тратить 700 руб. в час.

Рассматриваются следующие возможные конфигурации системы:

А. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказы

ипринимающим оплату. Среднее время обслуживания клиента – 2 мин. В. Одноканальная система с одним служащим, выполняющим заказ,

идругим служащим, принимающим оплату. Среднее время обслуживания – 1,25 мин.

С. Двухканальная система с двумя служащими, каждый из которых выполняет заказы и принимает оплату. Среднее время обслуживания – 2 мин для каждого из служащих.

Для каждой конфигурации системы определите: вероятность того, что в системе нет машин; среднее число машин в очереди; среднее время ожидания обслуживания; среднее время пребывания в системе; среднее число машин в системе; вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать.

Определить какая конфигурация системы обслуживания требует

меньших затрат?
Для конфигурации системы А определить	насколько должно
сократиться время обслуживания клиента, чтобы	среднее время
ожидания обслуживания снизилось в 2 раза?

101

Вариант 7

Задача 1. Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается не проверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой 18 изделий в час. Среднее время на проверку одного изделия 6 минут.

Определить вероятность того, что изделие пройдет проверку, насколько загружены контролеры, и сколько их необходимо поставить, чтобы вероятность проверки составляла 98%.

За проверку каждого изделия оператор получает22 рубля. Доход от реализации изделия составляет 32 рубля. Окупается ли с экономической точки зрения контроль готовой продукции? Как можно изменить входные характеристики СМО, чтобы служба контроля являлась эффективной?

Задача 2. Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в минуту. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем находится на складе (среднее время пребывания заявки в системе) 4 мин. Определить: среднее число клиентов в системе; среднее время обслуживания одного клиента в системе; среднее число клиентов в очереди.

Для работы склада с одним работником определить, насколько должно сократиться время обслуживания механика, чтобы число механиков на складе сократилось до 8 человек?

Опыт использования двух работников на складе показал , что время ожидания механиком своей очереди снизилось. Определить для двухканальной системы: среднее число клиентов в системе; среднее время обслуживания одного клиента в системе; среднее число клиентов в очереди.

Механик получает 1200 руб. в час, а работник отдела запчастей– 720 руб. в час.

Оценить какая из двух систем работы склада(одноканальная или двухканальная) имеет более низкие издержки по обслуживанию и ожиданию?

Вариант 8

Задача 1. Имеется технологическая система(участок), состоящая из трех одинаковых станков. В систему поступают для обработки детали в среднем через 0,5 часа. Среднее время изготовления одной детали0,6 часа. Если при поступлении заявки на изготовление детали все станки заняты, то деталь направляется на другой участок таких же станков. Найти финальные вероятности состояний системы и характеристики (показатели эффективности) данной СМО.

102

Доход от работы станка на участке составляет2000 руб. в час из которых остается оплатить содержание одного станка – 800 руб. в час.

Начальник участка принял решение о демонтаже одного станка.

Выгодно ли это для участка?
Задача 2. Ресторан «Ешь вволю» (плати 700 руб. и ешь, что хочешь
хоть целый день) имеет две кассы для продажи входных билетов с двух
разных сторон заведения.
Наблюдения показывают, что в воскресный день к				каждому	из
входов прибывает посетитель примерно один раз в				шесть . минут
Входное обслуживание каждого клиента занимает в среднем4 минуты.
Каждый час,	который	посетитель проводит в	очереди, оценивается
в 150 руб. Оплата кассиров в среднем равна 250 руб. в час.
Сколько процентов времени каждая из касс свободна? Сколько в
среднем посетителей ждут обслуживания в каждой очереди? Сколько в
среднем времени каждый посетитель вынужден ожидать в очереди?
Насколько должно сократиться время обслуживания				посетителя,
чтобы время, проведенное им в очереди, сократилось до 4 минут?
Ресторан рассматривает вариант объединения двух касс при одном
единственном	входе	в ресторан. Кассы будут	работать	с той	же

скоростью. Каковы будут характеристики такой системы обслуживания? Стоит ли провести такую реорганизацию? Каковы минимальные совокупные издержки?

Вариант 9

Задача 1. В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону2 мин. Определить оптимальное число телефонных номеров в фирме, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Стоимость одного звонка для клиента составляет50 рублей в час. Операторам фирма платит15 рублей. Какое количество операторов принесет наибольшую прибыль фирме?

Задача 2. Клиенты входят в приемную в среднем по шесть в час . Отделение укомплектовано одним служащим, который тратит на работу с клиентом около шести минут. Предположите, что прибытие клиентов соответствует Пуассоновскому потоку, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.

Определить сколько людей в среднем будет находиться в приемной (исключая самого клерка )? Как долго клиент будет находиться в приемной? Каков коэффициент использования рабочего времени

103

клерка? Какова вероятность того, что более двух клиентов будут находиться в приемной?

Чему должен быть равна интенсивность потока клиентов, чтобы
служащий был свободен около 30% рабочего времени?
Другой такой же клерк нанят для той же работы. Как долго клиент
будет проводить в приемной теперь?
Каждый	час,	который	клиент	проводит в	очереди, оценивается
в 30 руб. Оплата служащего равна 250 руб. в час. Каковы минимальные
совокупные издержки работы приемной?
			Вариант 10
Задача 1. В вычислительный центр коллективного пользования с
тремя серверами поступают заказы от предприятий на вычислительные
работы. Если работают все три сервера, то вновь поступающий заказ не
принимается,	и	предприятие		вынуждено	обратиться	в	другой
вычислительный		центр.	Среднее	время работы с одним заказом
составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 заявок в час. Найти
предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы
вычислительного центра.

В каком размере необходимо оплачивать работу инженера при выполнении заказа, если средняя стоимость за выполненный заказ составляет 600 руб. в час?

Задача 2. В цехе находится большое количество автоматических станков. В среднем 1 раз в 2 часа один из станков останавливается и требует замены деталей, (случайные моменты остановки распределены в соответствие с распределением Пуассона). Когда происходит остановка станка, техник диагностирует причины остановки и производит замену необходимой детали. Среднее время нахождения неисправности, нахождения и установки нужной детали– 30 мин. (это время распределено экспоненциально).

Оплата техника составляет 300 руб. в час. Простой оборудования – 4000 руб. в час.

Каковы будут характеристики такой системы обслуживания? Каково должно быть оптимальное число техников в цехе?

Сколько необходимо платить технику, чтобы совокупные затраты для одноканальной и двуканальной СМО были одинаковыми?

104

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что называется системой массового обслуживания (СМО)?

2.Как классифицируются СМО?

3.Какие случайные процессы называют марковскими?

4. Какой поток событий называют простейшим? Каковы его свойства?

5.Какие характеристики СМО Вы знаете? Поясните смысл каждой характеристики.

6.В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО с отказами?

7.В чем состоит схема расчета показателей эффективности многоканальной СМО с отказами?

8.В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью?

9.В чем состоит схема расчета показателей эффективности многоканальной СМО с неограниченной очередью?