Osnovy_gidravliki_i_teplotekhniki

23

манометры показывают разность давлений в двух произвольных точках. В системе СИ давление измеряется в Па (1Па=1н/м2). В инженерной практике применяются также другие внесистемные единицы измерения давления, связанные между собой следующими соотношениями:

1ат (техн.) =1 кгс/см2 = 9,81 *104 Па= 10м вод. ст. = 736 мм рт. ст. Следует различать также атмосферу физическую, равную

атмосферному давлению 760 мм рт. ст.

1атм (физ.) = 1,0332 кгс/см2 = 101325 Па = 10,33 м вод. ст. = 760 мм рт. ст.

Распределение гидростатического давления по вертикали линейно зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и может быть графически представлено в виде трапеции АВДЕ для полного давления или прямоугольного треугольника АВС для избыточного давления

(рис. 2.2).

		B	P0	D
c
A		ρgh	C	E
			P0 +ρgh

Рис. 2.2. Распределение гидростатического давления
Если	в	сосуде	произвольной	формы	находятся	три

несмешивающихся жидкости, то они располагаются в соответствии с их плотностями; жидкость с меньшей плотностью всегда располагается выше жидкости с большей плотностью (рис. 2.3). Такое расположение жидкостей определяется общим законом механики для любых тел в поле силы тяжести, а именно потенциальная энергия системы должна

		P0		P			быть	минимальной,		что
			1
				0			возможно		только	тогда,
					h1		когда	центр	тяжести	всей
	α		2	ρ1			системы		находится	в
	1
				ρ1 ρ2	h		наиболее низкой точке.
α	2		3			2
α3			ρ3 ρ2		h3
		P						Рис. 2.3. Равновесие
		1					несмешивающихся жидкостей
P3	P2

Распределение давления, как это следует из основного уравнения гидростатики (2.12), линейно зависит от глубины погружения точки.

24

Особенность в распределении давления заключается в том, что на границе раздела жидкостей угол наклона линии давления меняется в соответствии с изменением плотности жидкости при переходе от слоя к слою. Для границ раздела справедливы следующие равенства:

P P ρ gh				; P P ρ gh				; P P ρ gh .
1	0	1	1	2	1	2	2	3	2	3	3

2.4. Сила давления жидкости на плоские поверхности

При определении силового воздействия жидкости на твердую поверхность решают обычно две задачи: определяют величину равнодействующей сил гидростатического давления и находят точку ее приложения.

Сила полного гидростатического давления на плоскую произвольно ориентированную поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки и величины самой площадки:

F PS (P0 ρghc )S ,

(2.18)

где hс – глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности

(рис. 2.4).

	ρ0	Если жидкость помещена в сосуд любой формы,
	hc	то	гидростатическое давление во всех точках
		горизонтального дна сосуда одинаково,
	P
		давление же на его боковые стенки возрастает с
		увеличением глубины погружения (рис. 2.5).
	S		Гидростатическое давление на уровне дна
	Рис. 2.4 Давление жидкости на		сосуда определяется уравнением
			P P0 ρgh,
	произвольно ориентированную

плоскую поверхность	где h – высота жидкости в сосуде.

ρ02	ρ0		ρ0
ρ02 ρ0
h h	h2	h	h
3

S3 S2 S1

Рис. 2.5. Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность

Таким образом, сила давления на горизонтальное дно сосуда не зависит от формы сосуда и объема жидкости в нем. При равной плотности жидкости , эта сила определяется лишь высотой столба жидкости h и площадью S дна сосуда. В случае равномерно

25

распределенной нагрузки на дно сосуда точки приложения центра давления и центра тяжести совпадают:

F= (P0 + g h)S.

2.5.Сила давления жидкости на криволинейные поверхности

Выберем внутри покоящейся жидкости произвольный объем W, ограниченный поверхностью S, и в пределах этой поверхности криволинейную площадку S (рис. 2.6). Так как площадка S находится в равновесии, система распределенных по ее поверхности сил dF может быть заменена одной равнодействующей F с составляющими Fx, Fy, Fz, параллельными соответствующим координатным осям Ох , Оу , OZ.

Сила dF, действующая на площадку dS, определяется по формуле

dF = (P0 + g hc) dS, (2.19)

где hс – глубина погружения центра тяжести площадки dS относительно свободной поверхности.

Элементарная сила может быть представлена в виде

dF dFx2 dFy2 dFz2

или

F F 2		F 2	F 2	,	(2.20)
	x	y	z

где dFx и dFy – горизонтальные составляющие силы, действующие вдоль осей, параллельных осям Oх и Oу; dFz – вертикальная составляющая силы dF.

0		x
		S '''
S '
y
hc	dPx	S
z	dPy	dPz W
	dP
Рис. 2.6. Давление жидкости на криволинейную поверхность
При этом горизонтальная составляющая
	Fx (P0	ρghc )S ' ,	(2.21)
где S' – проекция площадки S на плоскость yOz,
	Fy (P0 ρghc )S '' ,		(2.22)

где S'' – проекция площадки S на координатную плоскость xOz.

Таким образом, горизонтальная составляющая силы полного гидро-

26

статического давления на криволинейную поверхность равна силе давления на проекцию этой поверхности на плоскость, нормальную

направлению действия рассматриваемой составляющей.
Для вертикальной составляющей можно записать:
Fz P0 S ''' ρgWт.д. ,	(2.23)

где S''' – проекция площадки S на плоскость xOy; Wт. д. – тело давления – объем, образованный рассматриваемой площадкой S, ее проекцией на горизонтальную плоскость, совпадающую со свободной поверхностью или с ее продолжением, и вертикальными образующими, проходящими через крайние точки рассматриваемой поверхности.

Таким образом, вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления на криволинейную поверхность равна сумме силы внешнего давления Р0 на проекцию рассматриваемой площадки на свободную поверхность или на ее продолжение и силы, определяемой весом тела давления.

2.6. Закон Архимеда

Рассмотрим тело, погруженное в жидкость (рис. 2.7). На него будут действовать поверхностные силы гидростатического давления, направленные по нормали к поверхности, ограничивающей тело.

Распределенные по поверхности силы для тела, находящегося в равновесии, могут быть заменены одной равнодействующей Р с составляющими Fx, Fy и Fz. При этом Fх = F'х – F''х, Fу = F'у –F''y, Fz = F'z

– F''z. Горизонтальные составляющие Fх и Fy равны нулю. Так,

например, силы F'х и F''y равны, так как Fx = Pабс S' = Paбс SBFDE, т.е. поверхности, на которые действует давление, имеют одну и ту же

проекцию на вертикальную плоскость. Поэтому их разность равна нулю. По той же причине и Fy = 0. Таким образом, на погруженное твердое тело действуют только две силы: сила давления на поверхность АЕСFB и сила давления на поверхность AECFD.

0	a e	Fz'
		c	F '	x
y	f	B
			y
	Fx' A E	C	Fx''
		F
z	Fy''	D
		''		Рис. 2.7. Закон Архимеда
		Fz
Соответственно				F'z = gWAacCB ,
				F''z = gWAacCD .

27

Разность этих сил и является равнодействующей сил гидростатического давления на погруженное тело:

		Fz = g(WAacCB – WAacCD ) = – gWABCD .			(2.24)
Уравнение (2.24) выражает закон Архимеда: на твердое тело,
погруженное	в	покоящуюся	жидкость,	действует	сила

гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела. Силу Fz часто называют выталкивающей, или архимедовой силой.

Условием плавания тел является равенство веса тела и выталкивающей силы G = Fz; если G > Fz – тело тонет, если G < Fz – тело всплывает и плавает в полупогруженном состоянии.

2.7. Равновесие газа в поле силы тяжести

Дифференциальные уравнения равновесия (2.4) и (2.6) имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа. В отличие от несжимаемой (капельной) жидкости плотность газа есть величина переменная, зависящая от состояния газа. Если газ находится в поле силы тяжести, тогда x = 0, y = 0 , z = 0 и уравнение поверхности уровня примет вид

– gdz = 0, z = const.

Следовательно, для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления. Изменение давления в газе будет зависеть не только от координаты z точки М внутри сжимаемой жидкости, но и от того, как связаны между собой давление, плотность и температура газа. Эта связь устанавливается на основании уравнения газового состояния

P = f (, T).

Рассмотрим равновесие газа для однородной атмосферы и при изотермическом изменении газового состояния.

Д л я однородной атмосферы = const и при x = 0, y = 0 и z =- g dP = – gdz или P = – gz + C.

Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной

системе координат z > z0:
P = P0 – gh,	(2.25)

где P0 – давление у поверхности земли, h – расстояние от земли до рассматриваемой точки.

Изотермическое изменение состояния газа. В случае изотермического состояния газа его плотность меняется в соответствии с уравнением Клапейрона:

	28
	(PV = RT) или P/ = RT, ρ	P	,	(2.26)
		RT

где R – удельная газовая постоянная, Дж/кг К.

После подстановки уравнения газового состояния в дифференциаль-

ное уравнение равновесия имеем
	dP g		P	dz .				(2.27)
		RT
После разделения переменных и интегрирования, с учетом
граничных условий на поверхности земли, запишем
	g(z z		) RT ln			P
		0				P0
				gh
Или	P P e RT				,			(2.28)
			0

где z – z0 = h.

Последнее уравнение показывает, что при изотермическом состоянии, давление в покоящемся газе меняется по экспоненциальному закону, уменьшаясь с увеличением высоты рассматриваемой точки.

2.8. Некоторые практические приложения основного уравнения гидростатики

Принцип сообщающихся сосудов. В открытых или закрытых,

находящихся под одинаковым давлением, сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, уровни располагаются на одной высоте независимо от формы и поперечного сечения сосудов. Этот принцип используется для измерения уровня жидкости и закрытых аппаратах с помощью водомерных стекол:

Pатм + gh'0 = Pатм + gh''.

Если сообщающиеся сосуды заполнены двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими ' и '', то в сообщающихся сосудах высоты уровней разнородных жидкостей над поверхностью их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

Определение давления. Если сосуды заполнены одной жидкостью плотностью , но давления над уровнем жидкости в них неодинаковы и равны P1 и P2, то

Р1 + gh1 = P2 + gh2,

откуда разность уровней жидкостей в сосудах

P1 – P2 = g(h2 – h1) = gh.

Последнее уравнение применяют при измерении давлений с помощью пьезометров или разностей давлений между различными точками с помощью дифференциальных U–образных манометров:

29

P g h(ρ2 ρ1 ) ,

где h – разность уравнений рабочей жидкости в дифманометре; 2, 1 –

плотности рабочей и исследуемой жидкости соответственно.

Пневматическое

измерение

количества

жидкости

в

резервуарах. Для определения количества жидкости в каком-либо

резервуаре 1, например подземном, в него помещают трубку 2, нижний

конец которой доходит почти до днища резервуара. Давление над

жидкостью в резервуаре равно Р0 (рис. 2.8).

2

3

1

P0

z0

Рис. 2.8. Пневматическое измерение количества жидкости в резервуарах

По трубе 2 подают сжатый воздух или другой газ, постепенно повы-

шая его давление, замеряемое манометром 3. Когда воздух преодолеет

сопротивление столба жидкости в резервуаре и начнет барботировать

сквозь жидкость, давление Р, фиксируемое манометром, перестанет

расти и будет равно

P = P0

+ gz0,

откуда уровень жидкости в резервуаре

z

0

P P0 .

ρg

По

величине

z0

и известной площади поперечного сечения

резервуара определяют объем находящейся в нем жидкости.

Гидростатические

машины.

4

На

использовании

основного

3

P

уравнения

гидростатики

основана

работа

гидростатических

машин,

2

например гидравлических прессов.

Если приложить

относительно

1

небольшое

усилие

к

поршню

1

P

(рис. 2.9), движущемуся в цилинд-

ре меньшего диаметра d1, и создать

давление

Р

на

поршень,

то

Рис. 2.9. Гидростатические машины

30

согласно закону Паскаля, такое же давление будет оказано на поршень 2

в цилиндре большего диаметра d2.

При этом сила давления на поршень 1 и 2 составит

F P

πd 2

1 , F1 = PS1,

1

4

F P πd22

F2 = PS2;

2

4

F

d 2

S

2 .

2

2

F

d 2

S

1

1

1

В результате поршень в цилиндре большего диаметра передает силу

давления во столько раз большую, чем сила, приложенная к поршню в

цилиндре меньшего диаметра, во сколько раз поперечное сечение

цилиндра 2 больше, чем цилиндра 1.

Таким способом с помощью сравнительно небольших усилий осу-

ществляют прессование материала 3, помещенного между поршнем 2 и

неподвижной плитой 4.

Дымовая

труба.

Плотность

наружного

воздуха

н

больше

плотности отходящих дымовых газов (вн). В плоскости 2–2. давление

равно давлению атмосферного воздуха в этой плоскости (рис. 2.11). В

плоскости 1–1, по оси топки, давления по обе стороны заслонки будут

разными. Внутри трубы

Pвн = Ратм + вн gH,

Снаружи

Рн – Рвн = gh(н – вн) = Рразр,

Рн = Ратм + н gH.

2

2

Таким образом, труба с более

легким

газом

создает

разрежение

ρн > ρвн

(тягу),

величина

которой

прямо

пропорциональна

высоте трубы и

H

разности

плотностей

наружного

ρвн

ρн

воздуха и внутреннего газа. Если н

газа

в

трубе

больше

плотности

1

1

наружного воздуха, на внутреннюю

сторону

заслонки

действует

манометрическое давление,

воздух

Рис. 2.10. К определению тяги

не поступает в тягу, а газ выходит

наружу. Такое явление называется

дымовой трубы

опрокидыванием тяги

и случается

летом, когда холодный воздух в трубе тяжелее наружного. Отмеченное

относится к вытяжным устройствам зданий, где более легкий (теплый)

воздух в помещении стремится через трубу выйти наверх.

31

2.9.Контрольные вопросы

1.Основные физико-химические параметры жидкости и единицы их измерения.

2.Объяснить понятия: идеальная и реальная, ньютоновская и аномальная жидкости.

3.Понятие гидростатического давления и его свойства.

4.Основное дифференциальное уравнение гидростатики, его практическое значение.

5.Уравнение поверхности равного давления и свойства этой поверхности.

6.Основное уравнение гидростатики, его геометрическая и энергетическая интерпретация.

7.Абсолютное и избыточное давление, приборы измерения давления, соотношения между единицами его измерения.

8.Эпюра распределения давления несмешивающихся жидкостей.

9.Относительное равновесие жидкости, вид поверхности уровня и закон распределения давления.

10.Сила давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности.

11.Закон Архимеда, его практическое применение.

12.Закон распределения давления при равновесии газов в поле силы тяжести для однородной и неоднородной атмосферы.

13.Практические приложения основного уравнения гидростатики.

2.10. Примеры решения задач

Задача 2.1. Определить избыточное давление в забое скважины глубиной h = 85 м, которая заполнена глинистым раствором плотностью ρ = 1250 кг/м3.

Решение. Величину избыточного давления находим по формуле

(1.4):

P gh 1250 9, 81 85 1, 04 106 Па 1 МПа

Задача	2.2.	В	канале,
подводящим	воду к		очистным
сооружениям,		установлен
пневматический		уровнемер		с
самопишущим			прибором
(рис.2.11).
Нижний		конец	трубки
погружен в воду на глубину				H2
ниже самого низкого уровня воды
в канале. В верхний конец трубки
подается	небольшой		объем
воздуха	под	давлением,			Рис. 2.11.	Пневматический уровнемер
достаточным		для	выхода

32

воздуха в воду через нижний конец трубки. Определить глубину воды в канале H , если давление воздуха в трубке 1 по показаниям

самопишущего прибора 3 равно h = 80 мм рт. ст. и h = 29 мм рт. ст. Расстояние от дна канала до нижнего конца трубки Н1 = 0,3 м .

Решение. Избыточное давление воздуха в трубке

P рт gh ,

1

где h — показания самопишущего прибора (перепад уровней ртути в приборе).

В то же время избыточное давление воды на уровне нижнего конца

трубки

P2 в gH2 .

Глубину Н определяем из условия равенства давлений P1 = P2:

рт gh в gH2 .

Следовательно,

рт h H2 в .

При h = 80 мм рт. ст.

H2 13600 0, 08 1, 09 м. 1000

Высота наполнения воды в канале

H H2 H1 1, 09 0, 3 1, 39 м.

При h = 29 мм рт. ст.

H2 13600 0, 029 0, 39 м; 1000

H 0, 39 0, 3 0, 69 м.

Задача 2.3. Нижняя часть рабочей камеры кессона находится на глубине h = 30 м от свободной поверхности воды. Определить избыточное давление воздуха, которое необходимо создать в рабочей камере кессона, чтобы вода из реки не могла проникнуть в камеру.

Решение. Избыточное давление воздуха в рабочей камере кессона должно быть не менее гидростатического давления на заданной глубине, т.е. (см. формулу (2.14))

P gh 1000 9,8 30 294 000 Па 2, 94 105 Па 294 кПа Абсолютное давление в рабочей камере кессона определяем по

формуле (2.13):	P 9, 81 104	2, 94 105	3, 92 105	Па 392 кПа
	абс