алгем теория

Х = - матрица-столбец переменных;

В = - матрица-столбец свободных членов.

Решением системы (1) называется всякий вектор , координаты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема 1. (теорема Кронекера - Капелли). Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

Пусть ранг матрицы r(A)=r<n. Переменные называются базисными (основными), если определитель матрицы коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Количество базисных переменных равно r. Другие n-r переменных называются свободными (неосновными). Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы. Из него можно получить бесконечное множество частных решений, придавая свободным переменным произвольные значения.

Решение системы (1), в котором свободные переменные имеют нулевые значения, называется базисным решением. Число различных базисных решений не превосходит

.

Данные СЛАУ решаются методом Гауса и по формулам Крамера.

9. Минор и алгебраическое дополнения.

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Задание. Найти минор к элементу определителя .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

11

тогда

Ответ.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

Задание. Найти алгебраическое дополнение к элементу определителя .

Решение.

Ответ.

10. Понятие вектора и действия над векторами.

Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости)[1].

Операции над вектрами:

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

12

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Вектор называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность

2. - ассоциативность

3.

4.

Определение

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: (рис.

3).

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3., если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Здесь и - произвольные векторы, , - произвольные числа.

11. Координаты вектора.

Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

13

Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой. То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы и , тогда вектор имеет координаты (рис. 2).

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Задание. Заданы и . Найти координаты вектора

Решение.

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор имеет координаты , здесь - некоторое число (рис. 3).

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

14

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь , и - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей , и соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

15

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

12. Проекция вектора. Понятие базиса.

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , взятая со знаком "+", если направление совпадает с направлением вектора , и со знаком "-", если направление противоположно направлению единичного вектора оси (рис. 1).

Проекция вектора на ось обозначается символом .

Свойства проекции векторов

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор и его проекция - вектор - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора на некоторую ось равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :

Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.

Пусть – базис пространства Rn и . Тогда найдутся такие числа λ1,

λ2, …, λn, что .

Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Пример. Доказать, что векторы образуют базис в R3.

Решение. Покажем, что равенство возможно только при λ1 = λ2 = λ3

=0:

16

или

Решив систему, получим λ1=0, λ2=0, λ3=0. Так как все λi=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.

Очевидно, любой новый набор из векторов может тоже быть взятым в качестве базиса в R3. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.

13.Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов или равен нулевому вектору, то .

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2°

. Обозначается

и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°

7°

Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

17

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Длина вектора

Длина вектора , заданного своими координатами, находится по формуле:

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

18

14. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1°	, тогда и только тогда, когда

2°

3° Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

4°

5°

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение находится по формуле:

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

19

15. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:

. В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно

объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

20