алгем теория
.pdf
Если векторы 
, 
и 
заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах 
, 
,
Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов 
, 
и 
:
16. Общее уравнение плоскости.
17. Уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости проходящей через 3 точки.
21
18. Общее уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.
19. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве.
22
20. Угол между прямой и плоскостью.
23
24
21. Пересечение прямой и плоскости.
22.Уравнение прямой проходящей через 2 точки на плоскости. Каноническое и параметрическое уравнение прямой на плоскости.
25
23. Уравнение прямой с угловым коэф. Взаимное расположение прямой на плоскости.
Теорема. Пусть
и
– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда
1)если 
, то прямые 
и 
совпадают;
2)если 
, то прямые 
и 
параллельные;
3)если 
, то прямые пересекаются.
Доказательство. Условие 
равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:
26
. Поэтому, если 
, то 
и прямые пересекаются.
Если же 
, то 
, 
, 
и уравнение прямой 
принимает вид:
или 
, т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности 
, иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.
Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай 
, т.е. прямые параллельны.
Теорема доказана.
Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координат их точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:
. (4)
Следствие. Пусть 
– определитель системы (4). Если 
, то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, |
(5) |
где 
, 
.
Если 
, то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают
итогда система (4) имеет бесконечно много решений.
Доказательство. По определению определителя второго порядка
.
Если 
, то 
и 
, т.е. прямые пересекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).
Если же 
, то 
и 
, т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямые совпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.
следствие доказано.
27
Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых
и 
и если они пересекаются, найти их точку пересечения.
Решение. Решим систему
.
Определитель системы
,
следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:
, 
,
, 
.
Ответ. Прямые пересекаются в точке 
.
24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от прямой до плоскости.
В векторной форме уравнение плоскости имеет вид
, 
.
Если нормальный вектор плоскости – единичный,
, 
,
тогда уравнение плоскости можно записать в виде
(нормальное уравнение плоскости).
– расстояние от начала координат до плоскости, 
, 
, 
– направляющие косинусы нормали
, 
, 
,
28
где 
– углы между нормалью плоскости и осями координат 
соответственно.
Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель 
, знак перед дробью противоположен знаку
свободного члена 
в (8).
Расстояние от точки 
до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение
|
|
|
. |
Пример 16. Даны точки |
, |
, |
. Составить уравнение плоскости, |
проходящей через |
перпендикулярно вектору |
|
. Привести его к нормальному виду. |
Решение. Вектор 
имеет вид 
. По формуле (6) составим общее уравнение искомой плоскости
.
Найдем нормирующий множитель
.
Умножая уравнение плоскости почленно на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости
,
где коэффициенты при 
– соответствующие направляющие косинусы нормали, расстояние от начала координат до плоскости 
.
Ответ: общее уравнение плоскости: 
; нормальное уравнение:
.
Пример 17. Даны точки 
, 
, 
. Найти расстояние от точки 
до плоскости 
.
Решение. Составим уравнение плоскости
,
29
.
Расстояние от 
до плоскости 
.
Ответ: расстояние от 
до плоскости 
ед. длины.
25. Кривые второго порядка. Окружность.
30