Отображения
Отображение называется дифференцируемым в точке своей области определения , если существует такое линейное отображение , зависящее от точки , что для любой точки верно
то есть, раскрывая символ «o» малое, если
.
Линейное отображение является дифференциалом отображения в точке .
Если отображение задано набором функций
то его дифференцируемость в точке равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке .
.
47.остновные правила дифференцированния
1) Производная от суммы равна сумме производных:
Доказательство:
2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .
3) Производная произведения: .
Доказательство:
4) Производная дроби: .
Доказательство:
Вывод формул для производных.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
48.производные от элементарных функций
Функция y = f(x) |
Производные элементарных функций простого аргумента |
y=xn |
y=nxn−1 |
y = x |
y=1 |
y=x |
y=12x |
y=x1 |
y=−1x2 |
y = cos x |
y=−sinx |
y = sin x |
y=cosx |
y = tg x |
y=1cos2x |
y = ctg x |
y=−1sin2x |
y = arcsin x |
y=11−x2 |
y = arccos x |
y=−11−x2 |
y = arctg x |
y=11+x2 |
y = arcctg x |
y=−11+x2 |
y=axa0a=1 |
y=axlnaa0a=1 |
y=ex |
y=ex |
y=logaxa0a=1 |
y=1xlna |
y = lnx |
y=x1x0 |
Функция y = f(kx +b) |
Функция y = f(kx +b) |
y=(kx+b)n |
y=(kx+b)n |
y=(kx+b) |
y=(kx+b) |
y=kx+b |
y=kx+b |
y=1kx+b |
y=1kx+b |
y = cos (kx +b) |
y = cos (kx +b) |
y = sin (kx +b) |
y = sin (kx +b) |
y = tg (kx +b) |
y = tg (kx +b) |
y = ctg (kx +b) |
y = ctg (kx +b) |
y = arcsin (kx +b) |
y = arcsin (kx +b) |
y = arccos (kx +b) |
y = arccos (kx +b) |
y = arctg (kx +b) |
y = arctg (kx +b) |
y = arcctg (kx +b) |
y = arcctg (kx +b) |
y=akx+ba0a=1 |
y=akx+ba0a=1 |
y=ekx+b |
y=ekx+b |
y=loga(kx+b)a0a=1 |
y=loga(kx+b)a0a=1 |
y = ln(kx +b) |
y = ln(kx +b) |
49.производные сложной функции. Логарифмическая производная.
Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции:
Используя формулу производной сложной функции, найдем, что (*)
50. производная заданная в неявнои и параметрическом виде
Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:
где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:
Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:
Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:
Рассмотрим функцию
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .