- •Министерство образования и науки
- •Содержание
- •Введение
- •Цель и порядок выполнения работ
- •Подготовка к лабораторным работам
- •Лабораторная работа № 1 Поверка амперметра и вольтметра
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Результаты поверки амперметра
- •Результаты поверки вольтметра
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 Исследование неразветвленной электрической цепи при одном переменном сопротивлении
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Результаты измерений и вычислений
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 Проверка основных законов электрической цепи
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Результаты проверки основных законов электрических цепей
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 4 Измерение потери напряжения в проводах
- •Основные понятия
- •Значения предельно допустимых отклонений напряжения (%)
- •Проверка отходящих линий по потери напряжения
- •Значения удельных активных сопротивлений для медных и алюминиевых проводов и кабелей
- •Значения индуктивных сопротивлений трехфазных линий
- •Порядок выполнения работы
- •Результаты измерений и вычислений
- •Расчетные формулы:
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 5 Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Соединение треугольником
- •Соединение звездой
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 6 Цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением катушки и конденсатора. Резонанс напряжений
- •Основные понятия
- •Построение векторных диаграмм
- •Порядок выполнения работы
- •Расчетные формулы
- •Результаты измерений и вычислений
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 7 Параллельное соединение индуктивности и емкости. Резонанс токов
- •Основные понятия
- •Определение параметров всей электрической цепи и её элементов
- •Порядок выполнения работы
- •Результаты измерений и вычислений
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 8-9 Исследование цепи трехфазного тока при симметричной и несимметричной нагрузках фаз. Соединение звездой и треугольником
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы Соединение звездой
- •Результаты измерений и вычислений
- •Результаты измерений и вычислений
- •Соединение треугольником
- •Результаты измерений и вычислений
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 10 Измерение параметров индуктивно связанных катушек
- •Основные понятия
- •Взаимноиндуктивное сопротивление
- •Взаимоиндуктивное сопротивление
- •Порядок выполнения работы
- •Расчетные формулы
- •Контрольные вопросы
- •Разложение несинусоидальной функции в ряд Фурье
- •Основные понятия
- •Выполнение:
- •Технические данные приборов
- •Порядок выполнения работы
- •Разложени первой гармоники
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 13 Изучение применения переходных процессов на электрических фильтрах. Двухполупериодное выпрямление и мостовая схема
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 14 Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •Основные понятия
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 15 Испытание четырёхполюсника
- •Основные понятия
- •Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника
- •Порядок выполнения работы
- •Определение постоянных четырехполюсника
- •Результаты испытания четырехполюсника
- •Расчетные формулы
- •Контрольные вопросы
- •Приложения
Контрольные вопросы
1. Поясните назначение выпрямительных устройств.
2. Укажите, какие требования предъявляются к диодам, используемым в выпрямительных устройствах?
3. Назовите основные типы однофазных выпрямительных схем.
4. Объясните отличие однотактной схемы выпрямления от двухтактной схемы.
5.Поясните принцип действия одно- и двухполупериодной схем выпрямления.
6. Изобразите временные диаграммы напряжений и токов нагрузки одно- и двухполупериодной схем выпрямления без сглаживающего фильтра.
7.Назовите основные виды сглаживающих фильтров.
8.Поясните, в каких случаях целесообразно использовать индуктивные, а в каких — емкостные фильтры или их сочетания.
9. Каково значение коэффициента пульсаций напряжения или тока исследуемых выпрямительных схем?
Лабораторная работа № 14 Переходные процессы в линейных электрических цепях
Цель работы: Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях при наличии одного и двух накопителей энергии, установление влияния параметров исследуемой цепи на характер переходного процесса, приобретение навыков применения электронного осциллографа для исследования и измерения быстропротекающих периодических несинусоидальных электрических величин.
Основные понятия
Наряду с установившимися режимами работы в линейных электрических цепях имеют место электромагнитные переходные процессы, происходящие в этих цепях при переходе от одного установившегося режима к другому.
Под действием периодических или постоянных ЭДС и напряжений переходные процессы в электрических цепях возникают при включении и выключении цепи, а также при изменении одного или нескольких ее параметров.
Переходные процессы в электрических цепях не могут протекать мгновенно, так как в установившемся режиме любая электрическая цепь характеризуется определенным запасом энергии электрических или магнитных полей элементов цепи. Поэтому в реальных электрических цепях токи и напряжения на отдельных участках не могут мгновенно менять свои значения.
Однако при пренебрежении магнитным или электрическим полем на том или ином участке электрической цепи, ввиду их незначительности, можно считать, что ток или напряжение на соответствующем участке цепи изменяется практически мгновенно. В соответствии с законами коммутации электрических цепей не могут мгновенно изменяться на конечное значение токи в катушках индуктивности (первый закон коммутации), однако напряжения на зажимах подобных катушек можно принять изменяющимися мгновенно, если пренебречь их электрической емкостью.
В то же время не может мгновенно меняться на конечное значение напряжение на обкладках конденсаторов (второй закон коммутации), хотя, если пренебречь индуктивностью конденсаторов, теоретически возможны мгновенные изменения токов в их цепях.
Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями, составленными по первому и второму законам Кирхгофа, которые могут быть сведены к одному уравнению для любого переходного тока или напряжения в цепи.
Решение неоднородного дифференциального уравнения классическим методом возможно в результате суммирования частного решения данного неоднородного уравнения и его общего решения при равенстве нулю свободного члена, т. е. однородного дифференциального уравнения.
При этом решение однородного уравнения без свободного члена описывает процессы, происходящие в электрической цепи при отсутствии внешних источников питания, когда они происходят под действием энергии, накопленной в электрическом и магнитном полях элементов.
В реальных электрических цепях происходит рассеяние энергии, в результате чего запас накопленной в соответствующих элементах цепи энергии со временем будет исчерпан и, следовательно, все электромагнитные процессы в цепи через определенный промежуток времени прекратятся.
С учетом этого можно утверждать, что переходящие или свободные составляющие i" и и" тока и напряжения, определяемые общим решением дифференциального однородного уравнения, стремятся к нулю.
В результате частного решения неоднородного дифференциального уравнения представляется возможным получить установившиеся или принужденные составляющие тока и напряжения i" и и" имеющие место при установившемся режиме, т.е. при законченном переходном процессе.
При протекании переходного процесса в электрической цепи ток и напряжение можно записать как суммы: i=i’+i’’ и = и' + и". При интегрировании дифференциальных уравнений появляются постоянные интегрирования, число которых определяется порядком соответствующего уравнения. При определении постоянных интегрирования принимаются начальные условия, характеризующие состояние электрической цепи в соответствующий момент времени. При этом число начальных условий равно числу постоянных интегрирования.
Переходные процессы в неразветвленной электрической цепи с параметрами R, L и С описываются дифференциальным уравнением для мгновенных значений напряжений, составленным по второму закону Кирхгофа для соответствующей цепи:
Ri + L+
После дифференцирования
L=
Для определения принужденной (установившейся) составляющей переходного тока, когда воздействующая функция u(t) постоянна или является периодической, необходимо найти его значение в установившемся режиме.
Для определения переходящей (свободной) составляющей тока переходного процесса находят решение дифференциального уравнения без свободного члена:
L=0
При этом соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
Lp2+Rp+1/C=0
Корни этого уравнения:
p1,2= ±
Свободная составляющая тока переходного процесса:
i’’(t)=A1 + A2
где е — основание натуральных логарифмов.
Постоянные интегрирования А1 и А2, входящие в уравнение, определяют, исходя из начальных условий
Ток переходного процесса:
i(t)=i’(t)+i’’(t)
Аналогично можно определить напряжение и другие электрические и магнитные величины на любом участке линейной электрической цепи в переходном режиме.
При включении электрической цепи с R и L под постоянное напряжение (рис. 4.1)
Рис.14.1.
Схема включения электрической цепи
RL
под постоянное напряжение
переходный процесс описывается дифференциальным уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа (при переключении выключателя В из положения 1 в положение 2):
= u(i) = U
Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, имеет вид
, где р = -R/L – корень характеристического уравнения.
Так как данное дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка, то оно характеризуется единственным корнем.
С учетом этого выражение для свободной составляющей тока переходного процесса приводят к виду:
i’’(t)=A=A
Так как воздействующее на электрическую цепь напряжение u(f) постоянно, значение принужденной составляющей тока цепи в переходном режиме оказывается равным его установившемуся значению: i' = U/R.
Ток в цепи при переходном процессе:
i(t)=i’(t)+i’’(t)= U/R+ A
Постоянную интегрирования А определяют из начальных условий. Так как в цепи с индуктивностью ток не может измениться скачком, то при t= 0 ток в ней равен нулю:
i (0) = U/R + А = 0
Отсюда А = — U/R, тогда
i’’(t)=
С учетом этого выражение для тока переходного процесса приобретает вид:
i(t)=i’(t)+i’’(t)= -
Где τ=L/R — постоянная времени электрической цепи, равная промежутку времени, по истечении которого свободная составляющая тока в цепи изменяется в e раз по сравнению со своим исходным значением.
Напряжение переходного процесса на индуктивности, уравновешивающее ЭДС самоиндукции, можно определить по уравнению:
uL(t)=L
.
Рис.14.2.
Временные
зависимости тока в электрической цепи
и
напряжения
на индуктивности при переходном процессе
Во время переходного процесса ток в цепи постепенно возрастает от нуля, асимптотически приближаясь к своему установившемуся значению, равному U/R, в то время как напряжение на индуктивности, равное напряжению, U при t = 0, убывает, асимптотически приближаясь к нулю.
Постоянная времени электрической цепи может быть определена графически как длина подкасательной, проведенной в любой точке к кривой, соответствующей рассматриваемой показательной функции времени (рис. 14.2).
При коротком замыкании RL-цепи, присоединенной к источнику постоянного напряжения U
(см. рис. 14.1) выключатель В из положения 2 перебрасывается в положение 3, в цепи возникает переходный процесс, обусловленный наличием запаса энергии в магнитном поле тушки с индуктивностью L.
Происходящий в короткозамкнутом контуре R — L процесс характеризуется свободным током, так как принужденный (установившийся) ток при этом оказывает равным нулю (i' = 0).
В результате ток переходного процесса в данном случае определяется его свободной составляющей:
i(t)=i’’(t)=AA
Постоянную интегрирования определяют, исходя из условия, что до момента короткого замыкания ток в цепи:
i(0)=I=U/R=A
С учетом этого ток переходного процесса:
i(t)=i’’(t)=
Из временной зависимости тока в переходном процессе (рис. 14.3) следует, что ток в электрической цепи уменьшается по экспоненциальной зависимости от значения, равного U/R в момент короткого замыкания при t = 0, до нуля — в конце переходного процесса.
Рис.14.3.
Временные зависимости тока в электрической
цепи
и
напряжения на индуктивности при
переходном процессе
По аналогичной зависимости изменяется в данной цепи и напряжение на индуктивности:
uL(t)=)=-U
При включении RС-цепи (рис. 14.4) под постоянное напряжение u(t) = U (выключатель В устанавливается при этом из положения 1 в положение 2) принято, что к моменту включения (t = 0) конденсатор не был заряжен (uс = 0).
Рис.14.4.
Схема включения электрической цепи
RC
под постоянное напряжение
В соответствии с этим, исходя из уравнения электрического равновесия для мгновенных напряжений, записанного по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой RС-цепи при t ≥ 0, имеем Ri + ис = u(t) = U. Ток в рассматриваемой цепи можно представить через емкость конденсатора С и изменение напряжения на его обкладках:
i=C
В результате дифференциальное уравнение цепи приводят к виду:
R C
Данному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение
RCp + 1=0, где р— корень характеристического уравнения р = -1/RC.
Решение дифференциального уравнения без свободного члена относительно напряжения на конденсаторе позволяет определить свободную составляющую этого напряжения:
(t)=A
В свою очередь, напряжение и'с на обкладках конденсатора в установившемся режиме определяют в результате частного решения соответствующего дифференциального уравнения электрической цепи. В установившемся режиме ток в цепи i'(t) = 0, следовательно,
u'c(f) = u(t) = U
Напряжение на конденсаторе во время переходного процесса:
uc(t)=(t)+(t)=U+
Постоянная интегрирования А находится из начальных условий. Напряжение на конденсаторе до включения равнялось нулю ис(0) = 0, так как к моменту включения цепи конденсатор не был заряжен. Тогда ис(0) = U + А = 0, откуда
A=—U и (t)=-U
Tаким образом, временная зависимость напряжения на обкладках конденсатора во время переходного процесса определяется уравнением:
uc(t)=U-U=U(1-)=U(1-)
где τ = RC — постоянная времени, равная промежутку времени, по истечении которого напряжение в цепи изменяется в е раз по сравнению со своим исходным значением.
Ток в цепи при переходном процессе:
i(t)=i’(t)+i’’(t)= C+ C= 0+
где i’(t)=0 , i’’(t)= и i(t)=
Анализ полученных временных зависимостей напряжения на конденсаторе и тока в RС-цепи во время переходного процесса (рис. 14.5) показывает, что с течением времени напряжение на конденсаторе возрастает, стремясь к установившемуся своему значению, равному U, а ток убывает от значения, равного U/R до нуля.
При этом изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при переходном режиме происходит тем i быстрее, чем меньше постоянная времени цепи τ = RC.
Короткое замыкание неразветвленной RС-цепи, ранее находившейся под постоянным напряжением U = const, осуществляется переключением выключателя В из положения 2 (в момент времени t= 0) в положение 3 (рис. 14.4).
Рис.14.5.
Временные зависимости напряжения на
конденсаторе
и тока в RC-цепи
во время переходного процесса
Электромагнитные процессы в рассматриваемой электрической цепи с момента ее замыкания происходят за счет энергии, сосредоточенной ко времени t = 0 в электрическом поле конденсатора. Эта энергия, равная Cв течение переходного процесса преобразуется в теплоту, рассеиваемую резисторомR.
Для установившихся значений тока в RС-цепи и напряжения на обкладках конденсатора при переходном режиме i(t) = 0, u'c(t) = 0.
При этом свободные составляющие тока в цепи и напряжения на конденсаторе:
i’’(t)= =
Ток в цепи и напряжение на обкладках конденсатора в переходном режиме выражаются уравнениями:
i(t)=i’(t)+i’’(t)=
=
Постоянная интегрирования А находится из начальных условий, так как при t = 0 напряжение на обкладках конденсатора равно U, т. е. ис(0) =U = A.
Тогда для переходных значений тока и напряжения на конденсаторе справедливы уравнения:
i(t)= и =U
Временные зависимости для тока и напряжения на обкладках конденсатора во время переходного процесса представлены на рис. 14.6, из которого видно, что напряжение и ток при коротком замыкании RС-цепи убывают по экспоненциальным зависимостям в соответствии с постоянной времени τ = RC -цепи.
При расчете переходных процессов в линейных разветвленных электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях и напряжений на участках цепи записывается соответствующее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.
Рис.14.6.
Временные зависимости для тока и
напряжения на
обкладках
конденсатора во время переходного
процесса
При этом при составлении характеристического уравнения не обязательно приводить систему уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной функции.
Система однородных дифференциальных уравнений, записанных для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной цепи, записывается в виде соответствующей системы алгебраических уравнений и в отличие от исходной системы не содержит производных и интегралов. В этой системе уравнений производные свободные составляющей тока di"/dt заменяются символом рi".
Интеграл от этого тока ∫i"dt— символом i"/p (p — корень характеристического уравнения — показатель затухания, одинаковый для всех свободных составляющих токов цепи).
Действительно, если i" = Аер t то производная от свободного тока di"/dt = d(Aеpt)/dt = рАеpt = pi"
а интеграл ∫i"dt = ∫Aeptdt = Aept/p = i"/p. Постоянная интегрирования при этом оказывается равной нулю, так свободные составляющие не содержат не зависящих времени слагаемых. Подобный переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений, называемый алгебраизацией системы дифференциальных уравнений, для свободных токов значительно упрощает составление характеристического уравнения. Из полученной системы алгебраически уравнений составляют затем определитель ∆(р), который должен равняться нулю, так как данная система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю.
Выражение ∆(р)= 0 и будет характеристическим уравнением, в котором единственным неизвестным является его корень р. Для составления характеристически го уравнения системы однородных дифференциальных уравнений (уравнений без свободного члена) может быть использован и другой прием. Записывается выражение входного комплексного сопротивления Z(јϖ) для соответствующей цепи, в котором јϖ заменяют символом p. Полученное обобщенное комплексное сопротивление Z(p) приравнивают нулю. Уравнение Z(p) = 0 и будет характеристическим уравнением рассматриваемой цепи.
Число корней характеристического уравнения определяется его степенью.
Для характеристического уравнения второй степени число корней равно двум. При этом они могут быть: действительными, неравными, отрицательными, действительными, равными, отрицательными комплексными, сопряженными, с отрицательной действительной частью.
Таким образом, если характеристическое уравнение! имеет n корней, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений имеет вид:
i’’(t)=
где рк — корни характеристического уравнения; Ак постоянные интегрирования.
При двух действительных неравных корнях:
i’’(t)=A1 + A2
Для нахождения постоянных интегрирования необходимо решить систему уравнений для искомого свободного тока i"(t), соответствующих моменту времени t = 0. В качестве недостающих (п — 1) уравнений используют уравнения, полученные путем (п — 1)-кратного дифференцирования уравнения для свободного тока i"(f).
Совместное решение этих уравнений позволяет определить все входящие в выражение свободного тока постоянные интегрирования. Для характеристического уравнения второго порядка, корни которого действительные и неравные, выражение свободного тока:
i’’(t)=A1 + A2
Первая производная от свободного тока:
di’’/dt=p1A1 + p2A2
При t = 0 имеем систему уравнений, из которых определяют постоянные интегрирования А1 и А2:
i’’(0)=A1+A2 di’’/dt(0)= p1A1 + p2A2
В полученной системе уравнений i’’(0) , di’’/dt(0) и корни р1 и р2 известны, их можно определить для любой электрической цепи, используя законы Кирхгофа и законы коммутации. Совместное решение уравнений позволяет получить значения постоянных интегрирования
A1=
A2=i’’(0) - A1
Если характеристическое уравнение имеет два действительных отрицательных равных корня
р1=р2=-а, то решение уравнения приводят к виду:
i’’(t)= A1 + A2=( A1+ A2
Если корни характеристического уравнения комплексные сопряженные р1 = - а + jb и р2 = -а - jb, то i"(t) =Ae-atsin(bt-γ)
Полученное выражение для свободной составляющей тока переходного процесса рассматриваемой цепи соответствует затухающему гармоническому колебанию (рис. 14.7) с угловой частотой ϖo = b = 2π/T и начальной фазой, равной γ.
Рис.14.7
Затухающая свободная составляющая
тока.
Огибающая затухающего колебательного процесса определяется кривой вида Ae-at. Величины А и γ определяются значениями параметров рассматриваемой цепи, начальными условиями и значением напряжений источника питания.
При этом значения угловой частоты свободных колебаний ϖo = b и коэффициент затухания
а = δ зависят только от параметров цепи после коммутации. Их определяют из выражений для корней характеристического уравнения.
Соответственно А и γ находят по значениям i"(0) и di"(0)/dt, т.е. из уравнений:
i’’(0)=Asinγ di"(0)/dt=-A δsinγ+A ϖocos γ
Переходные процессы широко используются в электронной и импульсной технике для генерирования синусоидальных электрических колебаний (генераторы типа RC и LC) и получения электрических колебаний специальной формы (генераторы прямоугольных, пилообразных и других колебаний).