Теоретические сведения и методические указания к решению задачи

1.4. Расчет с применением метода свертывания цепи

Условие задачи

Источник напряжения с э. д. с. Е = 120 В и внутренним сопротивлением r₀ = 2 Ом (рис.10) включен в цепь, где r₁ = 18 Ом, r₂ = 100 Ом, r₃ = 150 Ом.

Вычислить токи во всех участках цепи, напряжения на зажимах потребителей и источника, а также мощности источника и всех потребителей.

Решение задачи

1. Источник напряжения. В этой задаче, как и во всех предыдущих, используется источник энергии, характеризующийся величиной э. д. с. и внутренним сопротивлением. Такой источник энергии называется источником напряжения.

Как было показано э. д. с. источника обеспечивает ток в цепи и энергию в потребителях, а внутреннее сопротивление характеризует потери энергии в самом источнике.

Рис. 1.6 Разветвленная цепь с источником напряжения.

Чтобы обеспечить малые потери энергии в источнике, его внутреннее сопротивление выбирают обычно много меньшим, чем сопротивление внешнего участка цепи. Напомним, что этому условию удовлетворяли все источники энергии (аккумуляторы, генераторы и др.), использованные в предыдущих задачах.

Внутреннее сопротивление может быть указано рядом с кружочком, обозначающим источник (рис. 1.6, участок ГВ), или же изображено отдельно вне кружка (рис. 1.6).

В практических условиях часто представляется возможным пренебречь сравнительно малым внутренним сопротивлением источника. Такие источники (без внутреннего сопротивления) являются источниками заданного напряжения. Иногда их называют источниками э. д. с.

Итак, источник напряжения практически можно считать источником заданного напряжения.

2. Токи цепи. Во всех участках неразветвленной части цепи, образуемой источником э. д. с. и двумя последовательно соединенными сопротивлениями r₁ и r₀ , ток имеет одно значение I₁ (рис. 1.6). Этот ток разветвляется в узловой точке А на два тока: I₂ и I₃. Последние суммируются в узловой точке Б и образуют вновь ток I₁. При этом по первому закону Кирхгофа I₁ = I₂ + I₃ что справедливо как для узла А, так и для узла Б.

3. Вычисление общего сопротивления цепи – упрощение схемы. Заменяя отдельные участки схемы с последовательными и параллельными соединениями сопротивлений их общими сопротивлениями, удается упростить или, как говорят, «свернуть» схему.

К чему мы должны стремиться, упрощая схему? Наша цель получить простую неразветвленную цепь, расчет которой уже известен.

Для этого заменим сопротивления r₂ и r₃ их общим со­противлением:

После такой замены (рис. 1.7) получается простая неразветвленная цепь.

4. Вычисление токов и напряжений. В какой последовательности ведется вычисление токов.

Прежде всего, определяем ток в упрощенной схеме (рис. 1.7), а затем переходим к исходной схеме (рис.1.6), для которой, как было показано

Рис.11 .Упрощенная схема цепи.

или .

Рис. 1.7

С другой стороны, в параллельных ветвях токи обратно пропорциональны сопротивлениям ветвей или

(так как U_АБ = r₂I₂ = r₃I₃), откуда

Заменив в уравнении ток I₂ его значением, получим:

1,5I₃ + I₃=1,5, или I₃=1,5/2,5=0,6 А.

Определим падения напряжения на всех сопротивлениях (рис. 1.7):

Напряжение на зажимах ВГ источника

Итак, расчет токов и напряжений проводим путем постепенного перехода от упрощенной схемы к заданной.

Как проверить, правильно ли сделаны вычисления токов и напряжений?

Для этого можно воспользоваться законами Кирхгофа.

Полученные значения токов удовлетворяют требованиям первого закона Кирхгофа, так как I₂ + I₃ = 0,9 + 0,6 = 1,5 А = I₁. Сделаем проверку по второму закону Кирхгофа, согласно которому в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма э. д. с. () равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях ().

В нашем случае сумма э. д. с. равна Е = 120 В, поскольку в цепи действует только один источник. Сумма падений напряжений U₀ + U₁ + U_АБ = 3 + 27 + 90 = 120 В. Итак, действительно .

5. Вычисление мощности. Мощность, развиваемая источником

Вт.

Потеря мощности во внутреннем сопротивлении

Вт.

Следовательно, источник отдает во внешнюю цепь мощность

Вт.

Можно иначе вычислить эту мощность:

Вт.

С другой стороны,

P=r₁I₁² + r_2,3I₁² = (r₁ + r_2,3)I₁²=(18 + 60) l,5²=175.

Как проверить, правильно ли сделан расчет цепи?

Для этого следует составить баланс мощностей. Мощность, отдаваемая источником, Р_И – Р_О = 175,5 Вт и мощность потребителей Р = 175,5 Вт, т. е. баланс сходится.