- •Неопределенные интегралы
- •Введение
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменной ( метод подстановки )
- •3.3. Интегралы вида
- •Интегрирование по частям
- •Основные классы интегрируемых функций
- •1.Дробно-рациональные функции
- •Утверждение 1.4
- •Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
- •2. Тригонометрические функции
- •3. Некоторые иррациональные функции
- •3.1. Интегрирование рациональной функции вида
- •3.2.1. Подстановки Эйлера.
- •Оглавление введение 3 основные свойства неопределенного интеграла 3
- •3.2.1. Подстановки Эйлера 24
Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
Замечание. Иногда для определения коэффициентов разложения вышеуказанные способы комбинируют..
После разложения правильной дробно-рациональной функции её интегрирование сводится к интегрированию простейших рациональных дробей:
подстановкой
сводится к линейной комбинации интегралов
подстановкой сводится к линейной комбинации интегралов
и .
Первый из этих интегралов ( см. пример 6).
Второй интеграл можно вычислить с помощью следующей рекуррентной формулы:
.
Пример 29..
Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому она представима в виде суммы простейших рациональных дробей:
. Умножим обе части последнего равенства на и получим равенство
.
Принимая и сравнивая коэффициенты прии свободном члене, имеем:
Пример 30. .
Подинтегральная функция – правильная рациональная дробь – представима в виде суммы простейших рациональных дробей:
Умножая обе части на , имеем:
=
Пример 31.
Разложение на простейшие дроби часто требует громоздких выкладок, поэтому не следует пренебрегать возможностью упростить вычисления с помощью алгебраических преобразований, замены переменной и других известных методов.
Пример 32.
Пример 33.
2. Тригонометрические функции
2.1. Интегралы вида гдеи-целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или применением формул понижения степени. Если хотя бы одно из чиселилинечетное, то данный интеграл заменойилиприводится к интегралу от рациональной функции (см. 3.4). Еслиичетные числа, то возможно применение следующих формул:
Пример 34.
Пример 35.
2.2. Интегралы вида находятся с помощью следующих формул:
Пример 36.
2.3. Интегралы вида где- рациональная функция, в общем случае приводятся к интегралам от рациональных функций с помощьюуниверсальной подстановки
Замечание. Если выполнено равенство или,
то целесообразно применить подстановку или
Замечание. Если выполнено равенство
,то целесообразно применить подстановку
.
Пример 37.
Пример 38.
Пример 39.
Замечание.Иногда удобно разделить числитель и знаменатель на .
Пример 40 ( см. пример 39 ):
Замечание. Не следует догматически применять приведенные выше правила. Рекомендуемая замена приводит интеграл к довольно сложному интегралу, тогда как универсальная подстановкапозволяет вычислить его легко и просто:
Этот же интеграл можно найти и другим способом:
3. Некоторые иррациональные функции
3.1. Интегрирование рациональной функции вида
Замена
приводит к интегралу от рациональной функции переменной
Пример 41.
.
.
Замечание. Интеграл вида является частным случаем интеграла
Замена приводит
к интегралу от рациональной функции переменной
Пример 42.
3.2. Интегрирование рациональной функции вида .