Задание 4. Расчет колонны на устойчивость

Для заданной расчетной схемы колонны (рис. 18), изготовленной из стали Ст. 3 () и имеющей составное сечение (рис.19), определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости. Профили составного сечения расположены вплотную друг к другу.

При расчетах принять значения гибкости для материала колонны: .

Если критическое напряжение определяется по формуле Эйлера:

.

Если критическое напряжение вычисляется по формуле Ясинского:

,

где коэффициенты а =310 МПа и b =1,14 МПа.

При критическое напряжение равно пределу текучести.

Расчетная схема колонны (рис. 18) и строка в таблице 4 с исходными данными соответствуют первой цифре варианта, а вид составного сечения (рис. 19) – последней цифре варианта.

Таблица 4

Исходные данные для расчета колонны

Первая цифра варианта	l, м		Уголок равно– бокий	Уголок неравно– бокий	№ швеллера	№ двутавра
1	6	2,5			14	12
2	8	4,0			16	14
3	7	3,0			20	18
4	9	3,5			18	14
5	12	4,5			14	12
6	5	2,5			12	16
7	10	3,0			20	10
8	14	5,0			22	20а
9	11	4,0			18	18
0	13	2,5			16	14

Рис. 18. Расчетная схема колонны

Рис. 19. Вид составного сечения

Пример выполнения задания. Дано: две схемы нагружения колонны высотой 5 метров (рис.20), изготовленной из стали Ст. 3 и имеющей составное сечение из швеллера №16 и двух равнобоких уголков (рис. 21). Определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости= 4.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных сжимающих сил.

Нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости, называются критическими. Если нагрузки не превышают этого значения, то стержень остается прямолинейным, испытывая только деформации сжатия. Искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба, которые могут угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние считается недопустимым.

Опасность потери устойчивости особенно актуальна в настоящее время в связи с широким использованием тонкостенных элементов конструкций типа стержней, балок, пластин и оболочек, изготовленных из высокопрочных материалов.

Расчет на устойчивость необходим, например, при проектировании ферм различного назначения, всевозможных вышек, башен и мачт, несущих конструкций зданий и сооружений.

а) б)

Рис. 20.Расчетные схемы нагружения колонныРис. 21. Форма составного сечения

1. Основные геометрические характеристики составных частей сечения.

Геометрические характеристики составных частей сечения определяются по таблице сортамента прокатной стали ГОСТ 8240 – 86 (швеллеры) и ГОСТ 8509 – 87 (равнобокий уголок):

h= 16 см;

b₁= 6,4 см;

x₀₁= 1,79 см;

I_x1= 747 см⁴;

I_y1= 63,3 см⁴;

F₁= 18,0 см².

b₂= 8,0 см;

x₀₂=y₀₂= 2,19 см;

I_x2=I_y2= 57 см⁴;

F₂= 9,38 см².

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Определим положение центра тяжести всего сечения относительно произвольной системы координат xОy(рис. 22).

Так как сечение имеет ось симметрии, то его центр тяжести расположен на этой оси, т. е. y_C= 0. Координатуx_Cопределим по формуле

,

где и– площадь и координата центра тяжести каждой составной части сечения.

см.

Через полученную точку проведем главные центральные оси инерции сеченияXиY.

Рис. 22. Расчетная схема сечения

3. Определение минимального осевого момента инерции сечения.

Для нахождения моментов инерции составного сечения воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей, согласно которой

где – моменты инерции составных частей сечения относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям инерции всего сечения;

–расстояния между соответствующими осями отдельных составных частей и осями всего сечения в целом.

В рассматриваемом примере:

см;

см;

см;

см.

Тогда

см⁴;

см⁴.

Из двух осевых моментов инерции выбираем минимальный, так как именно вокруг этой оси будет поворачиваться сечение при продольном изгибе:

I_min = I_Y = 368,7 см⁴.

4. Определение минимального радиуса инерции сечения.

i_min см.

5. Определение гибкости колонны.

Гибкость колонны (λ) определяется только ее конструкцией и зависит от высоты (l), формы и размеров поперечного сечения (i_min), а также от условий закрепления и отношения продольных размеров колонны (μ):

где μ – коэффициент приведения длины. Для схемы колонны, приведенной на рис. 20, а – μ = 0,5, а для схемы на рис. 20, б – μ = 1,35. Тогда:

а) ;

б)

6. Определение критических напряжений.

Так как в случае а) гибкость колонны находится в интервале , то критическое напряжение определяется по эмпирической формуле Ясинского:

В случае б) гибкость колонны больше критической (), поэтому критическое напряжение вычисляем по формуле Эйлера, приняв модуль продольной упругости материала:

43,5 МПа.

7. Определение критической силы.

Критическая сила определяется, исходя из деформации сжатия:

Р_кр= σ_крF,

где F– площадь поперечного сечения колонны.

а) Р_кр=Н = 808,72 кН;

б) Р_кр=Н = 159,91 кН.

8. Определение допускаемой нагрузки.

Любая конструкция не должна работать при нагрузках, близких к критическим. Поэтому допускаемая ее величина должна быть меньше критической в несколько раз, что определяется коэффициентом запаса устойчивости :

а) Р_кр/=808,72/4 = 202,18 кН;

б) Р_кр/=159,91/4 = 39,98 кН.

Таким образом, изменяя только способ закрепления колонны при прочих равных условиях, можно добиться повышения ее несущей способности практически в пять раз для схемы а) по сравнению со схемойб).

При проектировании следует иметь ввиду, что наиболее экономичными с точки зрения расхода материала являются колонны, стержни и мачты с кольцевым или коробчатым поперечным сечением.