- •Методические указания
- •Введение
- •1. Общая характеристика методов решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •(1) Запишем систему (1) в матричном виде:
- •3. Метод простых итераций (мпи) решения слау
- •4. Метод зейделя
- •5. Задание на лабораторную работу
- •6. Содержание отчета по лабораторной работе
- •Список литературы
4. Метод зейделя
Метод Зейделя представляет собой модификацию МПИ (5) решения СЛАУ, при котором для подсчета i-й компоненты (k+1)-го приближения используются уже найденные на этом, т.е. (k+1)-м шаге, новые значения первых (i-1) компонент. Т.е., если система (1) тем или иным способом сведена к системе (3) с матрицей коэффициентов и вектором свободных членов , то приближения к ее решению по методу Зейделя определяются системой равенств:
(8)
где k = 0, 1, 2, …;
xi(0) – компоненты выбранного начального вектора.
Сформулированная выше Теорема 1 о сходимости МПИ остается верной и для метода Зейделя. Выбор начального приближения осуществляется по тому же принципу, что и в МПИ.
Пример 3.
Решим систему примера 2 методом Зейделя.
Итерационный процесс метода Зейделя запишется следующим образом:
х1(k+1) = -0,36х2(k) - 0,197х3(k) + 2,71
х2(k+1) = -0,4х1(k+1) + 0,27х3(k) + 1,92
х3(k+1) = -0,167х1(k+1) + 0,208х2(k+1) + 2,333,
Начиная процесс вычислений с того же начального приближения x(0) = 0, последовательно получаем:
х1(1) = 2,71
х2(1) = -0,42,71 + 1,92 = 0,84
х3(1) = -0,1672,71 + 0,2080,84 + 2,333 = 2,06
х1(2) = -0,360,84 - 0,192,06 + 2,71 = 2,02
х2(2) = -0,42,02 + 0,272,06 + 1,92 = 1,67
х3(2) = -0,1672,02 + 0,2081,67 + 2,333 = 2,34
х1(3) = -0,361,67 - 0,1972,34 + 2,71 = 1,65
х2(3) = -0,41,65 + 0,272,34 + 1,92 = 1,89
х3(3) = -0,1671,65 + 0,2081,89 + 2,333 = 2,45
х1(4) = -0,361,89 - 0,1972,45 + 2,71 = 1,54
х2(4) = -0,41,54 + 0,272,45 + 1,92 = 1,96
х3(4) = -0,1671,54 + 0,2081,96 + 2,333 = 2,48
Истинная ошибка приближения x(4) метода Зейделя
.
Она меньше в 3 раза истинной ошибки метода простых итераций.
Заметим, что обычно метод Зейделя сходится к решению быстрее МПИ.
5. Задание на лабораторную работу
Написать программу, реализующую алгоритмы:
метода простых итераций;
метода Зейделя.
с точностью = 10-12.
В программе требуется:
предусмотреть приведение СЛАУ к виду, пригодному для итераций;
организовать проверку условия сходимости методов;
выбрать начальное приближение;
сделать априорную оценку количества шагов и подсчитать реальное количество шагов для достижения заданной точности указанных методов;
подсчитать апостериорные оценки методов.
Провести сравнительный анализ метода простых итераций и метода Зейделя.
Варианты заданий на лабораторную работу
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
; .
6. Содержание отчета по лабораторной работе
В отчете по лабораторной работе должны быть представлены следующие разделы:
Постановка задачи.
Математическая модель.
Текст программы.
Результаты работы.
Выводы.
Лабораторная работа выполняется на любом языке высокого уровня.
Список литературы
Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.