2. Метод Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

(2)

где - - матрица;

- вектор – столбец неизвестных;

- вектор – столбец правых частей.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных системы путем ее равносильного преобразования. При этом в численных методах с целью хорошей алгоритмизации задачи преобразованию подвергаются не сами уравнения, а исходные данные – матрица A и вектор правых частей b, соединенных в одну расширенную матрицу. Метод имеет прямой и обратный ход.

Прямой ход состоит в исключении элементов, расположенных ниже элементов главной диагонали матрицы A, т.е приведение матрицы А к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали. Преобразование включает в себя следующие действия:

1. каждый элемент строки, в которой находится ведущий элемент (a₁₁ – в первой строке на первом шаге, a₂₂ – во второй строке на втором шаге…) делится на ведущий элемент. При этом предполагается, что ведущие элементы отличны от нуля.

2. исключаются элементы столбцов, лежащие ниже ведущих строк. Для исключения элементов первого столбца используется первая ведущая строка, для элементов второго столбца – вторая…

Формулы пересчета прямого хода:

(3)

где k=1,2,…,n-1, k – номер шага,

i=k+1,…,n;

j=k+1,…,n.

По определению полагаем

, .

Обратный ход позволяет последовательно одно за другим вычислять значения неизвестных, начиная с последнего. Для этого переходим к системе, включающей х₁, х₂,…,х_n.

(4)

3. Метод Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента

Реальные математические расчеты производятся с приближенными числами, т.е. неизбежны ошибки округлений. Знаменатель дроби в формуле (3) может оказаться равным нулю или очень маленьким числом. В результате выполнение алгоритма может прекратиться или будет получен результат, далекий от реального. Чтобы избежать этой ситуации, на каждом шаге прямого хода строки рассматриваемой матрицы переставляют так, чтобы деление производилось на наибольший по модулю в обрабатываемом подстолбце элемент. Числа, на которые производится деление, называются ведущими или главными элементами. Соответственно, метод Гаусса, исключающий деление на ноль и уменьшающий влияние ошибок округлений, - это метод Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента.

4. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ ГАУССА

Пусть для системы найдено приближенное решениех₀.

Полагая

для уточнения корня будем иметь уравнение:

(5)

где - (6)

невязка для приближенного решения х₀.

Таким образом, чтобы найти , нужно решить СЛАУ с прежней матрицейА и новым свободным членом . Для этого к основной схеме вычислений нужно присоединить столбецсвободных членов, преобразовать его по прежним правилам, получая поправкинеизвестных. Далее находят уточненные значения неизвестных, прибавляя к приближенному значениюх₀ соответствующие поправки :.

Пример 1. Найти решение СЛАУ методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента. Произвести уточнение решения.

; .

Решение произведем в табличном виде:

ai1	ai2	ai3	bi
2,6 3,0	-4,5 3,0 3,5	-2,0 4,3 3,0	19,07 3,21 -18,25	-0,007 -0,011 0,016
3,0 2,6	3,5 3,0 -4,5	3,0 4,3 -2,0	-18,25 3,21 19,07	0,016 -0,011 -0,007
1 0 0	-0,583 -2,983	-0,5 5,8 -0,7	3,042 -5,915 11,162	-0,0027 -0,003 -0,0001
1 0 0	-0,583 1 0	-0,5 1,221	3,042 1,245 7,447	-0,0027 0,0006 -0,002
1 0 0	-0,583 1 0	-0,5 1,221 1	3,042 -1,245 2,531	-0,0027 -0,0006 -0,0007

Для обратного хода перейдем к системе, включающей неизвестные х_i , и последовательно одно за другим вычисляем их значения, начиная с х₃.

Итак, вектор решения:

Уточним решение. Для этого полученный вектор решения х будем считать начальным приближение х₀. Подставим его в исходную схему и найдем невязку по формуле (6).

Полученный вектор невязок используем как новый свободный член системы Аδ= ε, приписывая его как столбец к основной схеме вычислений. Решая СЛАУ с прежней матрицей А и новым свободным членом, получаем вектор поправокнеизвестных:

Уточняем решение по формуле

:

Уточненный вектор решения:

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАУССА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Метод Гаусса может быть использован при вычислении определителей. Преобразования прямого хода, приводящие матрицу А к верхнетреугольному виду, не изменяют определителя матрицы А. Учитывая, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, имеем:

.

Таким образом, detA равен произведению всех ведущих элементов.

При использовании модификации метода Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента производится перестановка строк матрицы, что может изменить знак detА. Поэтому в результате нужно учесть четность количества перестановок:

где - количество перестановок строк.

Найдем определитель для матрицы А из Примера 1 главы 4:

det A = (-1)¹*(-6,0)*4,75*2,942= 83,847

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАУССА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть дана матрица Для нахождения обратной матрицыбудем использовать основное соотношение, гдеЕ – единичная матрица n-го порядка. Т.е. будем исходить из того, что обратная матрица является решением матричного уравнения:

(7)

Представляя искомую матрицу , как набор векторов-столбцов:

а единичную матрицу Е как набор единичных векторов:

…,

матричное уравнение (7) в соответствии с правилами умножения матриц заменяем эквивалентной системой векторно-матричных уравнений:

…, . (8)

Каждое из последних уравнений имеет вид (1) и может быть решено методом Гаусса. Все СЛАУ (8) имеют одну и ту же матрицу коэффициентов, но разные правые части, составляющие единичную матрицу. В результате завершения работы алгоритма будут получаться столбец за столбцом элементы обратной матрицы . Заметим, что элементы строк обратной матрицы получаются в обратном порядке.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Уточнить решение. Найти определитель и обратную матрицу , включив процесс в общий алгоритм метода Гаусса.

НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ ГАУССА.

ai1	ai2	ai3	bi	Ei	e1	e2	e3
1,15 1,00	0,42 0,55 0,35	100,71 0,32 3,00	-198,70 2,29 -0,65	0,00035 0,00014 -0,00000	1 0 0	0 1 0	0 0 1
1 0 0	0,46218 -0,11151	0,26891 100,40076 2,73109	1,92437 -200,91303 -2,57437	0,00012 0,00021 -0,00012	0 1 0	0,84034 -0,96639 -0,84034	0 0 1
1 0 0	0,46218 1 0	0,26891 -24,34141	1,92437 22,94486 -198,35474	0,00012 0,00107 0,00033	0 0 1	0,84034 7,49100 -0,13107	0 -8,91424 -0,99403
1 0 0	0,46218 1 0	0,26891 -24,34561 1	1,92437 22,94856 -2,03053	0,00012 0,00107 0,00000	0 0 0,01024	0,84034 7,49100 -0,00134	0 -8,91424 -0,01018

*Используя постолбцовый выбор главного элемента:

• на первом шаге меняем строки 1 и 2;

• на втором шаге меняем строки 2 и 3.

Решение:

Определитель:

Вектор поправок:

Уточненное решение:

Находим обратную матрицу :

Обратная матрица :