1.1. Аксонометрические проекции

Аксонометрия является параллельной проекцией. Рассмотрим сначала ортографические проекции в плоскостях х = 0, у = 0, г = 0. Матрицы преобразований проектирования для этих случаев легко выводятся из определений

Для ортографических проекций на плоскости х = р, у = р, z=р необходимо применить еще преобразование переноса

Изометрия, диметрия и триметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость z = 0, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол b относительно оси У, затем на угол а относительно оси X. Матрица, описывающая эти два преобразования, имеет вид

Вместе с преобразованием проектирования на плоскость z = 0 окончательная матрица имеет вид

Таким образом, выбрав угол a, можно вычислить угол a и определить матрицу диметрической проекции.

Для получения изометрии необходимо взять одинаковые факторы искажения по всем трем осям

1.2. Косоугольные проекции

В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол, отличный от 90°. Рассмотрим проекцию на плоскость ХОY (рис. 1.5) и предположим, что Р_х и Р_у являются составляющими косоугольной проекции единичного вектора Z на эту плоскость, т.е. вектор [0 0 1 1] преобразуется в вектор [Р_х Р_у 0 1]. Матрица такого преобразования имеет вид

1.6.3. Перспективные проекции

Перспективную проекцию будем представлять в виде цепочки пер­спективного преобразования и преобразования проектирования на плос­кость, предполагая, что проектирование осуществляется на плоскость Z = 0 (рис. 1.6). В качестве точки проектирования выберем лежащую на оси Z. точку V(0, 0, v_z) и определим точки пересечения Р' (х', у', z') лучей, исходящих из точки проектирования и проходящих через все точки объекта Р(х, у,z) с плоскостью проекции Z = 0. Легко показать, что

Матрица преобразования перспективного проектирования имеет вид:

Заметим, что точка (0, 0, 1,0), расположенная на бесконечности на оси Z, преобразуется в точку (0, 0, 1, — 1/v_z), если к ней применить перспективное преобразование (без проектирования):

или [0 0 — v_z 1]. Отсюда следует, что любая прямая, параллельная оси Z, в результате такого преобразования будет проходить через точку [0 0 —v_z 1]. Эта точка называется точкой схода.

По аналогии можно рассмотреть еще две матрицы перспективного преобразования

для которых точки схода расположены соответственно на осях X с абсциссой — 1/v_x, и У с ординатой — 1/v_y.

Рассмотренные перспективные преобразования являются преобразо­ваниями с одной точкой схода. Можно рассматривать также перспективное преобразование с двумя точками схода, матрица которого содержит два ненулевых члена (кроме 1) в четвертом столбце:

и с тремя точками схода, матрица которого имеет вид

Литература.

Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1./ Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др.-М.: Мир, 1988.-204 с.