II. Элементы линейной алгебры

1. Выбрать правильный ответ. Обратная матрица существует:

а) для любой матрицы;

б) для любой квадратной матрицы;

в) для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю;

г) для квадратной матрицы, определитель которой неотрицателен.

2. Какое из нижеперечисленных свойств не является свойством определителя:

а) если две строки (два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный;

б) чтобы умножить определитель на число, нужно умножить на это число каждый элемент определителя;

в) определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) и их алгебраических дополнений;

г) если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то определитель не изменится?

3. Выбрать все правильные ответы.

Элементарным преобразованием матрицы является:

а) перемена местами двух строк или столбцов;

б) умножение элементов строки (столбца) на число;

в) транспонирование;

г) прибавление к элементам строки (столбца) линейной комбинации параллельных строк (столбцов).

4. Какой из определителей равен 7?

а) ; б); в); г).

5. Выбрать правильное.

(A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij определителя Δ).

а) Δ = а₂₁А₁₁ + а₂₂А₁₂ + а₂₃А₁₃;

б) Δ = а₁₁А₂₁ + а₁₂А₂₂ + а₁₃А₂₃;

в) Δ = а₁₁А₁₁ + а₂₁А₁₂ + а₃₁А₁₃;

г) Δ = а₂₁А₂₁ + а₂₂А₂₂ + а₂₃А₂₃.

6. Вычислить определитель:.

7. Установить правильное соответствие:

а) матрицу преобразовали так, что столбцы стали строками;		1) симметричная матрица;
б) в матрице все элементы равны нулю;		2) невырожденная матрица;
в) определитель матрицы не равен нулю;		3) нулевая матрица;
г) матрица составлена из алгебраических дополнений её элементов и транспонирована;		4) кососимметричная матрица;
д) в матрице элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, остальные - нули;		5) присоединенная матрица;
е) матрица равна транспонированной;		6) транспонированная матрица;
ж) все элементы матрицы равны единице;		7) обратная матрица;
з) матрица равна транспонированной со знаком «минус»;		8) единичная матрица.
и) при умножении на эту матрицу получается единичная.

8. Установить правильное соответствие:

а) система линейных уравнений имеет единственное решение, если	1) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и меньше числа неизвестных;
б) система линейных уравнений не имеет решений, если	2) ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы системы;
в) система линейных уравнений имеет множество решений, если	3) ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и равен числу неизвестных.

9. Исследовать систему на совместность

10. Укажите все пары матриц, которые можно перемножить между собой:

A =.

11. Найти произведение матриц А и В:

А =; В =.

12. Найти обратную матрицу для А, если А =.

13. Найти ранг матрицы В =.

14. Решить матричное уравнение AXB=C, если

A =,B =,C =.

15. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

16. Выбрать правильный ответ.

Собственные числа и собственные векторы матрицы А = :

а) λ = 1, r = ; б)λ = −2, r =

в) λ = 2, r =

3. Аналитическая геометрия

1. Установить правильное соответствие:

а) y^2 = 8x;	1) гипербола;
б) x^2+ y^2 +8x − 4y + 29 = 0;	2) прямая;
в) x – y + 3 = 0;	3) парабола;
г) x^2 – y^2 =8.	4) эллипс.

2. Установить взаимное расположение прямых:

а) 3x + 5y – 9 = 0 и 10x − 6y + 4 = 0;

б) 2x + 5y – 2 = 0 и x + y + 4 = 0;

в) 2x + 3y = 8 и x+ y − 3 = 0;

г) 2/3 x – 3/4 y −1 = 0 и 3/4 x + 2/3y + 2 = 0;

д) x + 8 = 0 и 2x – 3 = 0.

3. Найти направляющий вектор прямой

4. Указать вид уравнений прямой:

а)

б) ;

в)

г) y = 3x +2;

д) = 0;

е) = 1.

5. Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых

5x – 12y – 65 = 0 и 5x – 12y + 26 = 0.

6. Найти нормальный вектор плоскости 4x + 2y – 11z + 18 = 0.

7. Плоскость задана тремя точками А (1; 0; −1), В (2; 2; 3), С (0; −3; 1). Записать ее уравнение.

8. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М (0; −2; 0) перпендикулярно плоскости 2х − 3у + z + 6 = 0.

9. Найти расстояние от прямой 2x + y – 5 = 0 до начала координат.

10. На каком расстоянии от плоскости x + 2y – 2z − 9 = 0 находится точка М(3; 5; −2)?

11. Какая поверхность задана уравнением:

а) =z;

б) + =1;

в) + =1;

г) + =1;

д) =z;

е) _y2= 2px;

ж) + = 1.

12. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

а) x = ;

б) y = 3;

в) y = 2;

г) x =

13. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат. Парабола симметрична относительно оси ОХ и проходит через точку А (9; 6).

14. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет:

а) гиперболы 16=144;

б) эллипса 925= 225.

15. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

а) ρ = ;

б) ρ =;

в) ρ = ;

г) ρ = .

3. Введение в анализ

1. Установить правильное соответствие:

а)	1) ограниченная последовательность;
б)	2) неограниченная последовательность;
в) 1,2,3,4,…;	3) бесконечно малая;
г) 2, 4,8, 16, … .	4) бесконечно большая.

2. Найти область определения функции:

а) y = + 1;

б) y = arccos ;

в) y = ;

г) y = lg ₍3x−1) + 2lg (x+1).

3. Вычислить пределы:

a)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)	з)

4. Выбрать все верные утверждения. Для функции y = arctg :

а) точка x = 4 является точкой разрыва I рода;

б) точка x = 4 является точкой разрыва II рода;

в) скачок функции в точке х = 4 равен π;

г) в точке х = 4 функция непрерывна.

5. Найти точки разрыва функций:

а) у = ;

б) y = ;

в) y =

6. Выбрать правильный ответ.

Функция y = непрерывна на промежутке:

а) (2;5);

б) (4;10);

в) (0;7);

г) (−.

7. Установить правильное соответствие.

Бесконечно малые эквивалентны (при α→ 0, β→∞):

а) sin α;	1) α ;
б) tg α;	2) ;
в) − 1;	3) ;
г) ;	4) ;
д) 1− cos α;	5) ;
е)	6) α.
ж) ;
з) arcsin α;
и) −1;
к) arctg α.
л) .

8. Вычислить:

a)

б)

в)

г)

5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Найти производную функции у:

а) у = (1 + 4x²)³;

б) у = sin²x;

в) у = x arcsin(ln x) ;

г) у = x² e^−2x;

д) у = ;

е) у = ln (x + ;

ж) у = x^sinx;

з) у = x^lnx;

и) y = ;

к)

л)

м) _{x3 + y3 =} sin(x−2y);

н) =1.

2. Установить правильное соответствие:

a)	1)
б)	2) ;
в)	3) – sin x;
г)	4) e^x;
д)	5) ;
е)	6) m x^m-1;
ж)	7) cos x;
з)	8)
и)	9) −
к)	10)

3. Выбрать правильный ответ.

Уравнение касательной к параболе y² = 4x в точке M(1;2)имеет вид:

а) y = − x + 3;

б) y = x + 1;

в) y = 2x + 1;

г) y = x +1.

4. Выбрать правильный ответ.

Уравнение нормали к кривой x² + 2x y² + 3y⁴ = 6 в точке В(1; −1) имеет вид:

а) 4x + y – 3 = 0;

б) x – 4y – 5 = 0;

в) 4x – y – 3 = 0;

г) –x – 4y – 5 = 0.

5. Найти дифференциал функции:

а) y = arctg x;

б) y = .

6. Вычислить приближенно, используя дифференциал:

a) ;

б) ln 1,02.

7. Найти дифференциал второго порядка для функций:

а) y =

б) y = .

8. Найти точки, в которых касательная к гиперболе y = параллельна прямойy = − x + 3.

9. Вычислить с применением правила Лопиталя:

a)

б)

в)

г)

10. Найти производную n-го порядка функции y:

а) y = sin x;

б)

1. Исследование функций и построение графиков

1.Установить правильное соответствие:

а) четная функция;	1)y = cos 8x;
б) периодическая функция;	2) y = x^2+ 5x;
в) нечетная функция;	3) y = x^2 + 2sinx;
г) функция не является ни четной, ни нечетной.	4) y = − 5.

2. Найти обратную функцию для y = .

3. Какие из следующих функций являются монотонными:

а) y = c;

б) y = arctg x;

в) y = sin² x;

г) y =

д) y = ;

ж) y = –x² + 2x.

4. Выбрать правильный ответ.

Вертикальная асимптота графика функции у = :

а) x = 2;

б) y = 2;

в) x = −;

г) x = – 2.

5. Выбрать правильный ответ.

Наклонная асимптота графика функции у = :

а) y = x + 2;

б) x = – 2;

в) y = x + 4;

г) y = x – 4.

6. В каких из перечисленных точек функция у = возрастает:

а) x = 3;

б) x = 1;

в) x = – 1;

г) x = 0,5.

7. Найти точки перегиба функции y = (x + 1)²(x − 2).

8. Исследовать на экстремум функцию y = (x – 5)e^x.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3x – x² на отрезке [−2;3].

10. Функция f(x) = представлена в виде многочлена пятой степени относительно двучленаx – 1:

= 1+ (x – 1) − ² + (x – 1)³ − (x – 1)⁴ +(x – 1)⁵+ R₅,

где R₅ = (x – 1)⁶, 1 < ξ < x. Найти А.

1. Комплексные числа

1.Установить правильное соответствие:

а) z = x + iy;	1) тригонометрическая форма;
б) z = r^iφ;	2) алгебраическая форма;
в) z =(cos φ+isin φ).	3) показательная форма.

2. На комплексной плоскости число z = −1 + i расположено:

а) в I четверти;

б) во II четверти;

в) в III четверти;

г) в IV четверти.

3. Для чисел z₁ = − 1+2i и z₂ = 2− i вычислить:

а) сумму;

б) произведение;

в) частное.

4. Вычислить по формуле Муавра ()¹⁵.

2. Интегральное исчисление функций одной переменной

1.Установить правильное соответствие:

а) ;	1) arcsin + C;
б) ;	2) − cos x + C;
в) ;	3) sin x+ C;
г) ;	4) e^x+ C;
д) ;	5) + С;
е) ;	6) ln + C;
ж) ;	7) – ln +C;
з) ;	8) ln +C;
и);	9) arctg+ C;
к) ;	10) +C;
л) ;	11) +C;
м) ;	12) − ctg x+ C;
н) .	13) ln + C.

2. Вычислить:

а) ;	и) ;
б) x dx;	к) ;
в) dx;	л)
г) ;	м) dx;
д) ;	н) ;
е) ;	о) ;
ж) dx;	п) ;
з) dx;	р) .

3. Почему, не вычисляя интеграла dx, можно сказать, что он равен нулю?

4. Выбрать все правильные ответы.

Определенный интеграл применяется для нахождения:

а) объeма тела вращения;

б) площади плоской фигуры;

в) ускорения тела;

г) длины дуги кривой;

д) площади поверхности вращения;

е) работы переменной силы.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =sin x, у =cos x, x = 0.

6. Исследовать сходимость интегралов, сходящиеся вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

7. Вычислить среднее значение y = +на отрезке [1;4].

8. Вычислить длину дуги кривой отt = 0 до t = .

9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y² = x и x² = y.

10. Оценить интеграл .

9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Найти область определения функций:

а) u = ;

б) u = arcsin (x + y);

в) u = y + .

2. Найти частные производные для функций:

а) u = x² + 2y² – 3xy;

б) u = ;

в) z = ;

г) u = + ;

д) z = arctg .

3. Найти полный дифференциал функции z = arctg .

4. Найти ,если z = , x = a cos t, y = a sin t.

5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z = x² – 2xy+ y²− x + 2y в точке М (1; 1; 1).

6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

7. Выбрать правильный ответ.

Градиент функции z =x² + 3y² в точке А(1;1) равен:

а) {1;6};

б) 9;

в) {1;8};

г) {−1;8}.

8. Найти экстремум функции z = x²+ xy+ y²3x 6y.

9. Выбрать правильный ответ.

Наибольшее и наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3:

а) z_наим = 5; z_наиб = 11;

б) z_наим = 3; z_наиб = 5;

в) z_наим =5; z_наиб = 13;

г) z_наим = −3; z_наиб = 4.

Ответы

1. Элементы векторной алгебры

1. −42.

2. {

3. в).

4. б); в); г).

5. а); б).

6. а).

7. .

8.

9. .

10..

11. 4.

12. в).

13. в).

14. в).

15. с = − 6а + 4b.

16. а).

2. Элементы линейной алгебры

1. в).

2. б).

3. а), б), в), г).

4. б).

5. г).

6. 12.

7. а6; б3; в2; г5; д8; е1; з4.

8. а3; б2; в1.

9. Cистема совместна.

10. АС; ВС; СД; ДВ; СВ.

11. .

12. .

13. 2.

14. .

15.

16. г).

3. Аналитическая геометрия

1. а3; б4; в2; г1.

2. а) перпендикулярны; б) пересекаются; в) пересекаются; г) пер-пендикулярны; д) параллельны.

3. {− 4;

4. а) общее; б) канонические; в) параметрические; г) с угловым коэффициентом; д) нормальное; е) в отрезках.

5. 49.

6. {4; 2; −11}.

7. 16x – 6y – z = 0.

8. .

9. .

10. .

11. а) параболоид эллиптический; б) гиперболоид однополостный;

в) эллипсоид; г) цилиндр эллиптический; д) параболоид гиперболи-ческий; е) цилиндр параболический; ж) гиперболоид двуполостный.

12. а) правая ветвь параболы; б) нижняя ветвь гиперболы;

в) нижняя ветвь параболы; г) левая половина эллипса.

13. y² = 4x.

14. а) 3; 4; F₁(− 5; 0); F₂(5; 0); ε = ; б) 5; 3; F₁(− 4; 0); F₂(4; 0); ε = .

15. а) эллипс; б) парабола; в) гипербола; г) прямая.

4. Введение в анализ

1. а1; б3; в4; г2.

2. а) [2;0)(0;2];б) [0;4];в)(−∞;0)г)(;).

3. а) 2; б); г); в) 0; д); е) 8; ж) 2; з)e⁸.

4. а); в).

5. а) функция непрерывна; б) х = –2; х = –3 − точки разрываII рода;

в) x = 4 – точка разрыва II рода.

6. а); г).

7. а1; б1; в1; г4; д2; е1; ж5; з1; и6; к1; л3.

8. а) ; б) 3; в) ; г).

5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. а) 24x; б) sin 2x; в) arcsin (ln x) + ;

г) 2x e^−2x(1x); д) ln3 2^x ln2 ;

е) ; ж) x^{sin x}; з) 2x^lnx−1lnx;

и) ; к) 1,5ctg t; л) ;

м) ; н) ;

2. а7; б5; в9; г8; д10; е1; ж3; з6; и2; к4.

3. б).

4. а).

5. а) ; б)dx.

6. а) 4,9; б) 0,02.

7. а) y = 4e^2x dx²; б ) dy² = − dx².

8. ;.

9. а) 1; б) 9; в) ; г) 2.

10. а) sin ; б) .

5. Исследование функций и построение графиков

1. а4; б1; в3; г2.

2. y = .

3. а); б); д).

4. а).

5. г).

6. а); в).

7. (0; 2).

8. в точке х = 4, y_min = − e⁴.

9. Наименьшее y = −18, наибольшее y = 2.

10. .

5. Комплексные числа

1. а2; б3; в1.

2. б).

3. а) 3+ i; б) 4 + 3i; в) i.

4. 2¹⁵.

8. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. а6; б5; в9; г7; д3; е1; ж10; з2; и12; к8; л4; м11; н13.

2.

а) arctg + C;	и) C;
б) +C;	к) + C;
в) +C;	л) x -sin 4x + C;
г) − + C;	м) 2 ln ++C;
д) – 3cos +C;	н) ;
е) – x cos x +sin x + C;	о) ;
ж) +C;	п) 0;
з) − 3+ 13 arcsin (x3) + C;	р) −1.

3. Подынтегральная функция – нечетная.

4. а); б); г); д); е).

5. .

6. а) сходится, 1; б) сходится, ; в) расходится ; г) сходится ,.

7. .

8. (2

9. 0,3 (куб.ед.)

10. 0 ≤ .

8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. а) x² + y² ≥ 1 – часть плоскости вне единичного круга:

б) полоса между параллельными прямыми x + y ≤ 1 и x + y≥ − 1;

в) полуплоскость x ≥ 0.

2. а) = 2x – 3y − 4; = 4y − 3x + 2.

б) = −=.

в) =3x²y + y³; = (x³+ 3xy²).

г) = ;= − + ; =− .

д) = ; =.

3. dz = .

4. 0.

5. Касательная плоскость x − 2y + z = 0; нормаль .

6. 3,02.

7. в).

8. z_min = − 9.

9. а).