otvety_PolishuK

направлении - раз (где число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

При	сложной	форме характеристик	может возникнуть затруднение при
определении числа оборотов вокруг критической точки с координатами				.
Для	анализа	поведения таких характеристик применяют «правило		переходов»

Ципкина. Назовем переход АФЧХ через действительную ось слева от точки при возрастании положительным (если характеристика пересекает вещественную ось

сверху-вниз), а справа от точки отрицательным. Также отрицательным считается переход слева от точки , но совершённым при пересечении вещественной оси

снизу-вверх. В этом случае, если АФЧХ начинается на отрезке при или заканчивается на нем при , считается, что АФЧХ совершила пол перехода.

Критерий Найквиста для рассматриваемого варианта: если разомкнутая САУ неустойчива, то для того чтобы замкнутая система стала устойчива необходимо и достаточно, чтобы разность между положительным и отрицательным переходами АФЧХ

разомкнутой системы через отрезок вещественной оси при изменении от до была равна - раз.

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система устойчива имеет следующую формулировку: если САУ разомкнутая устойчива, то замкнутая система будет

устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами

.

Достоинство критерия Найквиста заключается в том, что его можно использовать даже если неизвестны структуры отдельных звеньев системы, достаточно получить АФЧХ. Кроме того, рассматриваемый критерий позволяет анализировать устойчивость систем обладающих запаздыванием.

Частотный критерий устойчивости – логарифмический частотный критерий

Критерий Найквиста позволяет судить от устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам, т.е. можно заметить, что критерий Найквиста можно анализировать используя простые с точки зрения построения логарифмические частотные характеристики. Поэтому рассматриваемый критерий часто называют критерием Найквиста в логарифмической форме.

Передаточная функция разомкнутой системы обычно представляет собой произведение элементарных динамических звеньев, асимптотические характеристики которых представляют собой ломаные прямые линии.

Устойчивость с использованием логарифмического критерия позволяет построив совмещено ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если при соответствующая ЛФЧХ проходит таким образом, что фаза не превосходит значения

.

1) система устойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчивой и в замкнутом, если точка А ЛФЧХ определяемая фазой соответствует области отрицательных

значений логарифмической амплитуды ; 2) САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии будет устойчива в замкнутой, если

при изменении от 0 до разность чисел положительных и отрицательных переходов

ЛФЧХ через значение лежащих в области положительных равна половине числа корней , где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

2п – 1о = 1

Следствие к первому случаю: САУ будет устойчивая в замкнутом состоянии, если ЛФЧХ

неустойчивой разомкнутой системы при будет проходить через ординату -180º одинаковое число раз как в положительном, так и отрицательном направлениях.

Запасы устойчивости

При проектировании систем автоматики стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, чтобы изменение параметров системы в процессе ее работы не могли привести к неустойчивости системы. Для реализации такого тезиса необходимо, чтобы система обладала определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости определяет удаленность параметров системы от границы устойчивости.

Положение системы на границе устойчивости можно определить, используя критерий устойчивости. Качественную характеристику удаления системы от границы устойчивости дают критерии Гурвица и Михайлова. Четкую количественную характеристику запаса устойчивости как по амплитуде, так и по фазе дает критерий Найквиста и логарифмический критерий.

В соответствии с критерием Найквиста система находится на границе устойчивости,

если годограф Найквиста проходит через точку с координатами . Такая граница носит название колебательной границы устойчивости. В логарифмических координатах такое действие может произойти, если частота среза совпадает с точкой пересечения ЛФЧХ значения - 180º.

Покажем использование критерия Найквиста для нахождения запаса устойчивости по фазе и амплитуде:

- запас по фазе.

Запас устойчивости по модулю может быть в данном случае рассчитан как:

Значение модуля АФЧХ разомкнутой системы при зависит от значения коэффициента усиления (передачи). Поэтому часто запас устойчивости по модулю называют запасом по усилению и определяют как отношение предельного коэффициента передачи к текущему:

,

где - значение коэффициента, при котором модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы равен единице и система находится на границе

устойчивости. В том случае если , то система уходит за пределы устойчивости.

Запас устойчивости по фазе измеряется по дуге окружности единичного радиуса

между отрицательной частью и ближайшей точкой пересечения окружности с годографом Найквиста.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам может быть осуществлено достаточно простым способом. Необходимо на совмещенных логарифмических частотных характеристиках построить вертикальные проекции между

осью абсцисс и значением -180º которые проведены через точки и А. В результате чего получим:

- запас по амплитуде.

Запасы устойчивости влияют не только на работоспособность (устойчивость) системы, но также характеризуют качество работы системы. В реальных системах обычно =

15…20 дБ, = 30…50º.

18. МЕТОД D-РАЗБИЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ОБЛАДАЮЩИХ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Значительное число объектов сельскохозяйственного назначения описываются математической моделью, в состав которой входит звено транспортного запаздывания, при этом общая передаточная функция такой системы состоит из произведения передаточной функции линейной части системы и передаточной функции звена транспортного запаздывания

Частотная передаточная функция в данном случае может быть записана в виде:

,

где - АЧХ линейной части;

- ФЧХ системы с учетом звена транспортного запаздывания.

Звено чистого запаздывания не изменяет амплитуду АФЧХ, но создает дополнительный отрицательный сдвиг по фазе, зависящий от частоты . Устойчивость САУ с запаздыванием наиболее просто определить по критерию Найквиста, при этом

АФЧХ такой системы строится следующим образом: сначала строят годограф , а

затем каждую i-тую точку годографа доворачивают на угол по часовой стрелке.

Оценку устойчивости систем с запаздыванием можно также выполнить используя логарифмический частотный критерий.

Очень часто анализируя устойчивость рассмотренных систем необходимо бывает установить значение запаздывания при котором система находится на границе устойчивости. Такое время носит название критического времени запаздывания и оно определяется из следующего выражения:

МЕТОД D-РАЗБИЕНИЯ

На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого - либо критерия устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D - разбиения, позволяющий построить такую

область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

	A(p) = N(p) + D M(p) = 0.		(4.38)
	В (4.38) заменим p на j и получим уравнение
			(4.39)

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D

(4.40)

Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в

виде вектора на плоскости Конкретное численное значение D(j) зависит от частоты, и при изменении в диапазоне от - до + конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D - разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать также как отображение мнимой оси плоскости корней).

Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую часть получить отображением относительно вещественной оси.

Риc.4.24. Иллюстрация построения кривой D - разбиения

Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент передачи, постоянная времени, момент инерции и так далее), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(j

) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D - разбиения применим и в случае построения области устойчивости для двух параметров и , которые входят линейно в характеристическое уравнение

	A(p,	) = 0.		(4.41)
	В этом случае уравнение границы устойчивости
	A(j ,	) = 0		(4.42)

распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (4.42)

(4.43)

Эти два уравнения параметрически задают кривую D - разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случая одного параметра D.

Пример 4.8.

Определить область устойчивости системы по коэффициенту усиления.

Рис.4.25. Структурная схема системы

Определим передаточную функцию замкнутой системы

и запишем ее характеристическое уравнение

Здесь k - параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его

через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и сделаем замену В результате получим уравнение для кривой D - разбиения:

Вычислим значения вещественной и мнимой части D( ) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Для построения кривой D - разбиения при отрицательных значениях частоты полученную половину D(j ) отобразим относительно оси абсцисс.

Риc.4.26. Кривая D - разбиения для исследуемой системы

Как видим, кривая D - разбиения разделила плоскость параметра на две области. Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость системы второго порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости которой является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область - есть область устойчивости (-1 < k <).

Теоретическое обоснование метода D-разбиений

Изменение параметров САУ, например, с целью оптимизации, приведет к изменению коэффициентов уравнения динамики. Останется ли при этом САУ устойчивой - неизвестно. Критерии устойчивости об этом ничего не говорят. Рассмотрим метод определения границ допустимых изменений параметров, при которых САУ не теряет устойчивости.

Приведем характеристическое уравнение замкнутой САУ к виду:

D(p) = pn + c1 pn -1 + c2 pn-2 + ... + cn = 0,

где c0 = a0 /a0 = 1, c1 = a1 /a0 и т.д. При некоторых конкретных значениях c1 ,c2 ,...,cn уравнение имеет единственное решение, то есть единственный набор корней (p1 , p2 ,...,pn ). По их расположению на комплексной плоскости можно судить об устойчивости САУ при заданных параметрах. Если изменить какой-либо параметр САУ, например коэффициента передачи, то изменятся и коэффициенты характеристического уравнения D(p) = 0 и станут равными cн1 ,cн2 ,...,cнn . Уравнение примет вид:

Dн(p) = pn + cн1 pn -1 + cн2 pn -2 + ... + cнn = 0.

Это уже другое уравнение и оно	также имеет единственное решение
(pн1 ,pн2 ,...,pнn ), отличающееся от	(p1 ,p2 ,...,pn ). Если плавно менять
	значение параметра САУ, то
	коэффициенты уравнения тоже будут
	плавно изменяться, а его корни будут
	перемещаться по комплексной
	плоскости (рис.81).
	Каждый уникальный набору коэффициентов c1 ,c2 ,...,cn
	можно изобразить точкой в пространстве
	коэффициентов, по осям которого откладываются
	значения коэффициентов c1 ,c2 ,...,cn . Так уравнению
	третьей степени соответствует трехмерное
	пространство коэффициентов (рис.82). Пусть точка N с

координатами (cN1,cN2,cN3) соответствует уравнению, имеющему решение (pN1,pN2,pN3), точка M с координатами (cM1 ,cM2 ,cM3)соответствует уравнению, имеющему решение (pM1 ,pM2 ,pM3). При изменении какого-либо параметра САУ коэффициенты характеристического уравнения будут изменяться, при этом точка в пространстве коэффициентов, соответствующая данному уравнению будет перемещаться по некоторой траектории, например из положения N в положение M. Этому перемещению будет соответствовать и перемещение корней (pN1,pN2,pN3) на комплексной плоскости в положение (pM1 ,pM2 ,pM3)(аналогично рис.81).

При этом движении некоторые корни будут переходить через мнимую ось комплексной плоскости из левой полуплоскости в правую и наоборот. В момент перехода такой k-й корень примет значение pK = jK, а коэффициенты уравнения будут иметь определенные значения cK1,cK2,cK3, определяющие в пространстве коэффициентов точку K. Подставим корень pK в характеристическое уравнение, получим тождество:

D(pK ) = (jK)3 + cK1(j K)2 + cK2 (jK ) + cK3 = 0

Меняя w от - до + , и находя при каждой частоте все возможные сочетания коэффициентов c1 ,c2 ,...,cn , удовлетворяющих уравнению

D(j) = (j)n + c1 (j )n-1 + c2 (j)n-2 + ... + cn = 0,

можно построить в n-мерном пространстве коэффициентов сложную поверхность S, разделяющую его на области, называемое D-областями. Полученное уравнение называется

уравнением границы D-разбиения.

Переход из одной D-области в другую через поверхность S соответствует переходу одного или нескольких корней через мнимую ось в плоскости корней. То есть каждая точка внутри определенной D-области соответствует уравнению с определенным количеством левых и правых корней. Поэтому области обозначают D(m) по числу m правых корней.

Достаточно взять любую точку в пространстве коэффициентов и найти для нее число правых корней. Затем, двигаясь по пространству коэффициентов через границу S, можно выявить обозначения всех других областей. Особый интерес представляет область D(0), которой соответствуют уравнения с полным отсутствием правых корней, называемая областью устойчивости. Описанный метод определения областей устойчивости называется методом D-разбиений.

Не обязательно строить сложную n-мерную картину D-разбиения, можно изменять значения, например, только двух коэффициентов, оставляя другие коэффициенты постоянными. Границу D-разбиения S можно строить не только также и в пространстве конкретных параметров системы, от которых зависят данные коэффициенты.

19. ПОНЯТИЕ КАЧЕСТВА САУ, ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА САУ (UP_OAU, 86; tau-0255b52c, 160 стр)

Факт устойчивости или неустойчивости САУ говорит лишь о том, что переходная или свободная составляющая процесса регулирования с течением времени расходится или затухает, но такой анализ не дает ответа на такие важные вопросы как: быстрота затухания

переходного процесса, форма кривой процесса регулирования и т.д. Поэтому следует отметить, что теория устойчивости является необходимым, но не достаточным условием практической пригодности САУ. Любая такая система кроме устойчивости должна еще обладать и требуемым качеством работы. Качество работы систем автоматики характеризует точность ее работы как в установившемся так и переходном режимах. Иными словами можно отметить, что качество работы системы автоматики характеризует точность воспроизведения системой задающего воздействия.

Проблема качества систем автоматики может быть поставлена как задача анализа, т.е. оценка уже спроектированной САУ или как задача синтеза, т.е. проектирование САУ заранее оговоренными показателями качества. При рассмотрении таких задач будем полагать, что САУ описывается системой дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами. При изменении воздействия на входе системы выходную величину

можно записать:

,

где - решение дифференциального уравнения, описывающего движение САУ; - общее решение, соответствующее однородному дифференциальному

уравнению. В случае отсутствия кратных корней	зависит от вида корней
характеристического уравнения;
- вынужденная или установившаяся составляющая	переходного процесса,

обуславливаемая законом изменения .

Качество работы системы автоматики можно оценить по виду переходного процесса и

по его составляющим и . В связи с чем различают две группы показателей качества:

1)показатели качества переходного процесса ;

2)показатели качества, характеризующие вынужденную составляющую и

определяющие точность воспроизведения предписанной величины.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса называют прямыми оценками качества, косвенные оценки качества не требуют нахождение кривой переходного процесса. Косвенные методы разделяют на: корневые, интегральные и частотные.

Показатели качества систем управления. Требование устойчивости для системы относится к числу необходимых, но не может считаться достаточным. Система может быть устойчивой, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько большая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но иметь определенный переходный процесс, а ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых.

Характер переходного процесса линейной системы в отличие от устойчивости зависит не только от параметров системы, но и от вида возмущающего (задающего) воздействия и начальных условий. Чтобы сравнивать системы по характеру переходного процесса, из возможных воздействий выбирают типовые или наиболее неблагоприятные и определяют кривую переходного процесса при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий обычно принимают единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс, линейно нарастающее и синусоидальное воздействие. Для большинства систем