otvety_PolishuK

Теоретические основы метода разработаны Пуанкаре и Ляпуновым, однако метод систематически не использовался до 1930х годов.

Обычно метод применяется для исследования нелинейных систем, в случаях, когда линеаризация приводит к неудовлетворительным ошибкам, либо когда линеаризация значительно ограничена в применимости по времени.

С помощью метода находят характеристики особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис, что в свою очередь позволяет оценить динамику разрабатываемой или исследуемой нелинейной динамической системы в широком диапазоне возможных начальных условий.

На рис.Фазовый портрет системы, устойчивой в большом, и неустойчивой в малом. Эллипс выделенный жирным — устойчивый предельный цикл, характеризующий автоколебания, и в данном случае являющейся сепаратрисой.

Особые точки и их типы.

22.МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ Метод припасовывания

Часто нелинейные системы представляются как кусочно-линейные, т. е. их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями, разными для разных участков процесса управления.

Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом. Это делается следующим образом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т. д.

Вообще говоря, описанная схема метода припасовывания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейным дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение.

Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дана система, схема которой изображена на рис. 3.1, а, нелинейная характеристика Р(х) регулятора представлена на рис. 3.1б. Уравнение

объекта:

уравнение регулятора:

Общее уравнение замкнутой системы имеет вид:

Определение переходного процесса. Представим себе примерно возможный качественный вид процесса:

(рис. 3.2). Он разбивается на участки АВ, ВD и т. д., внутри которых в соответствии с нелинейной характеристикой функция Р(х) принимает постоянные значения +с или —с. Изобразим отдельно участки АВ и ВD (рис. 3.3), отсчитывая время t на каждом из них от нуля.

На участке АВ:

,имеет интеграл в виде

,второй

	начальные условия:
	,по ним находим
На участке BD:	,интеграл первый
,второй

Начальные условия для BD: ,получаем

На след.за точкой D снова будет решаться уравнение

23. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Пусть входной сигнал нелинейного звена изменяется по гармоническому закону

х(t) = А sinωt(10.8).Выходной сигнал

у(t) = Ф(А sinωt) будет периодической функцией времени, которую можно разложить в ряд Фурье. Первая гармоника этого ряда запишется в таком виде

(10.10),где КГ КГс -коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам:

Выражения (10.11) показывают, что коэффициенты гармонической линеаризации зависят от амплитуды входного сигнала. Как известно, коэффициенты линеаризации в формуле (10.10), найденные из разложения в ряд (10.11), обеспечивают наилучшее квадратичное приближение гармонического сигнала y(t) к периодической кривой (10.9)

Выражение (10.10) можно представить и в другой форме

(10.13),где Если перейти к комплексному виду записи уравнений (10.8), (10.10), (10.13), то будем иметь:

,где комплексный коэффициент гармонической линеаризации. Этот коэффициент, равный отношению

называют также гармоническим коэффициентом передачи (амплитуднофазовой характеристикой) нелинейного звена, но, в отличие от последнего коэффициента КГ А не зависит от частоты входного сигнала.

Модуль (КГ) и фаза (δ) этого коэффициента являются функцией только амплитуды (А) входного сигнала.

24 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА

Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости систем высокого порядка, как линейных, так и нелинейных, стационарных и нестационарных могут быть получены по методу А.М. Ляпунова [3,4,15]. Первая публикация на русском языке метода относится к

1892 г. и перевод на французском языке в 1907 г. В США метод получил распространение в 1949 г., а в инженерной практике стал применяться после 1960 г.

При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова, именуемым также второй методой Ляпунова, предполагается использование непрерывной скалярной функции переменных состояния V(x) совместно с уравнениями состояния

где fi - нелинейные функции

произвольного вида, удовлетворяющие условию

так как в установившемся состоянии все отклонения и их производные равны нулю. Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V(x) и вычислить производную по времени от этой функции

W(x).

Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

Функция V называется знакопостоянной (полуопределенной), если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Любая функция

V(x) = V(x1, x2, ..., xn ), (10.3)

тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (10.1) для этой системы.

24. ДИСКРЕТНЫЕ САУ И ОСОБЕННОСТИ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ.

Дискретные САУ.

Система управления называется дискретной, если она содержит дискретный элемент. Элемент называется дискретным, если его выходной сигнал квантован по времени или по уровню. Говорят, что сигнал квантован по времени, если он представляет собой последовательность импульсов, и квантован по уровню, если он принимает дискретные значения, т. е. значения, кратные некоторой минимальной величине, называемой уровнем квантования или квантом.

Дискретные системы разделяются на импульсные, цифровые и релейные.

Система управления называется импульсной, если она содержит импульсный элемент — дискретный элемент, преобразующий непрерывный сигнал в импульсный, т. е. в

последовательность импульсов. На выходе импульсного элемента сигнал квантован по времени.

Система управления называется цифровой, если она содержит цифровое устройство. На выходе цифрового устройства сигнал квантован по уровню и по времени.

Система управления называется релейной, если она содержит релейный элемент. Релейные системы управления являются существенно нелинейными. Они не подлежат обычной линеаризации.

Импульсом длительности и называется сигнал (физическая величина), который описывается функцией, не обращающейся в нуль только на некотором конечном интервале времени длительности и. По форме различают прямоугольные, треугольные, синусоидальные (рис. 6.1) и другие импульсы. Они характеризуются шириной (длительностью) и и амплитудой (высотой) АИ. Последовательность импульсов, помимо указанных параметров, еще характеризуется периодом следования импульсов Т и

относительной длительностью

В импульсном элементе происходит модуляция, т. е. в соответствии с входным сигналом изменяется один из параметров последовательности импульсов на выходе. В зависимости от того, какой параметр изменяется, различают амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и другие. При АИМ изменяется амплитуда АИ, а при ШИМ — ширина (длительность) импульса. Импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию, называют АИМ-элементом, а импульсный элемент, осуществляющий широтно-импульсную модуляцию, называют

ШИМ-элементом.

Импульсную систему управления, содержащую АИМ-элемент, называют АИМ-системой управления, а импульсную систему управления, содержащую ШИМ-элемент, называют

ШИМ-системой управления.

Различают импульсную модуляцию 1-го и 2-го родов. При импульсной модуляции 1-го рода модулируемый параметр изменяется в соответствии со значениями входного (модулирующего) сигнала

(рис. 6.3, а) в дискретные моменты времени, называемые моментами съема сигнала (рис.

6.3,6).

При модуляции 2-го рода модулируемый параметр изменяется в соответствии со значениями модулирующего сигнала в течение всего времени существования импульса

(рис. 6.3, в).