3-Gidrodinamika
.pdf
Связь скорости и расхода
1. Для элементарной струйки - во всех точках данного поперечного сечения скорость можно считать одинаковой
dQ v d ;
dQm dQ v d ; dQG g dQ g v d
2. Для расхода через сечение потока - во всех точках данного поперечного сечения скорость различна
11
Связь скорости и расхода
Q v d Vcp V
Q
Vcp V
-расход через сечение потока .
Здесь Vcp (или просто V ) - средняя скорость потока жидкости
Средней скоростью потока в данном сечении называется такая фиктивная скорость V , постоянная по всему сечению, при которой расход через данное сечение равен истинному расходу
12
Уравнение сплошности (неразрывности)
|
|
Для элементарной |
|
|
струйки расход |
|
|
dQ = const |
|
|
(стенки струйки непроницаемы) |
dQ v1 d 1 |
v2 d 2 |
const - уравнение объемного |
расхода для |
|
элементарной |
|
струйки (уравнение |
|
сплошности) |
|
При соблюдении этого условия сплошность потока |
|
жидкости сохраняется, в ней нет разрывов |
13 |
|
|
Уравнение сплошности (неразрывности)
Для потока конечных размеров расход
Q = Q1=Q2 = const,
если нет утечек и разбора жидкости по течению
Тогда
Q V1 1 V2 2
или
V1 2
V2 1
- уравнение сплошности (неразрывности) для потока конечных размеров - уравнение закона сохранения вещества для
потока несжимаемой жидкости
14
Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
На выделенный объем жидкости действуют внешние силы:
силы давления Рх, Ру, Рz=Р перпендикулярные к соответствующим площадкам;
массовые силы, пропорциональные массе элемента, с составляющими (единичными массовыми силами) Х, Y, Z;
силы инерции, вызванные |
|
v |
x |
, |
vy |
, |
v |
z |
|
|
ускорениями с |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|||
составляющими |
|
t |
t |
|
t |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проецируя на ось х все внешние силы, получаем уравнение равновесия вдоль оси х:
p dy dz (p |
|
p |
dx) dy dz X dx dy dz dx dy dz |
vx |
0; |
|
|
|
|||||
x |
x |
|
x |
t |
||
или |
после |
сокращения |
|
|
||
p X vx 0.x t
После преобразования
|
dv x |
|
X |
|
1 |
ЃЭp |
|
||||
|
dt |
ЃЭx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
dv y |
|
Y |
|
1 ЃЭp |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
ЃЭy |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
dvz |
|
Z |
|
|
1 ЃЭp |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
ЃЭz |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
- дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
16
Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики.
Оно дает связь между давлением P, средней скоростью V и геометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.
С помощью этого уравнения решается большинство задач гидродинамики.
17
Вывод уравнения Бернулли для идеальной жидкости
Приведем уравнения Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножив соответственно на dx, dy, dz и сложив:
|
dv x |
|
X |
|
1 |
|
|
|
ЃЭp |
|
|
|||||
|
dt |
ЃЭx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dv y |
|
Y |
|
1 ЃЭp |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
ЃЭy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dvz |
|
Z |
1 ЃЭp |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
ЃЭz |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
18
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p |
p |
p |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
Xdx Ydy Zdz |
|
|
|
dx |
|
dy |
|
dz |
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
x |
y |
|
|
||||
vx dx vy dy vz dz
С учетом, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
- полный дифференциал |
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
dy |
|
|
|
dz |
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
z |
|
давления, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
vy2 |
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
v |
x |
dx |
d |
|
x |
|
|
; |
|
v |
y |
dy d |
|
; |
v |
dz d |
z |
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
vx2 vy2 vz2 |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Окончательное |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
v |
2 |
|||||||||||||||
выражение: |
|
|
|
|
|
|
Xdx Ydy Zdz |
|
dp d |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
||||||||||||
Если жидкость находится только под действием силы тяжести и ее плотность неизменна, то
X Y 0;
Zg;
const
|
dp |
v2 |
|
|
dp |
v2 |
|
|
|||
gdz |
|
d |
|
или |
gdz |
|
d |
|
|
0; |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p |
v |
2 |
|
0; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
d z |
|
|
|
|
||
Окончательно |
|
g |
2g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение Бернулли |
|
z |
p |
|
v |
2 |
H0 |
const |
||
|
для струйки идеальной |
|||||||
g |
2g |
|||||||
|
|
|
|
жидкости |
||||
20