книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§ 8]	УПРАЖНЕНИЯ Й ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	fit
рыпсн, то	Хаусдорф называет оператор U непрерывно обратимым (см. (23),

стр. 277). Доказанное им утверждение гласит, что, как в рассматриваемом

случаи, полнота пространств Blt В2	обеспечивает эквивалентность			четырех
свойств: нормальная разрешимость	операторов	U, U* н	их непрерывная
обратимость (там же, стр. 290).	аддитивпый	оператор,	область	опреде­
8.4. Пусть U — однородный и

ления которого Dv линейна п лежит в банаховом пространстве Вг, а область

значений Л у — D	бапаховом пространстве Вг. Согласно известному опреде­
лению, оператор	U напивается аамкпутим, если из того, что хп -» х, е
£ Du и Uxn -> у, всегда следует, что х е Оц н Ux = у. Число аи ло-пре-

жнему определяется как размерность многообразия N (U) пулей оператора U; в случае, когда N (U) не является конечномерным, размерность aim N (U\

определяется как минимальная из мощпостей множеств,			плотных в N (U)
Чтобы	определить' число Ру, рассматривают множество		Ry функционалов
/ е= B*lf	равных нулю па каждом у е	Л у, и полагают Ру = dim R-fo. Одно­
родный	и аддитивный замкнутый	нормально разрешимый оператор U,

у которого числа аг/, Ру конечны, пазван в статье [5] Ф-оператором. Для

такого класса операторов приведены обобщения теорем 5.3, 5.4 и 5.5 в почти дословной формулировке, причем это обобщение по потребовало привлечения каких-либо существенно попых средств. При помощи, изящного приема, принадлежащего Б. Соккефальви-Надю, теоремы 5.4, 5.6 обобщены и на тот случай, когда исходный оператор возмущается неограниченными опе­

раторами определенного класса.

8.5. Областью Нетера Ny линейного ограниченного оператора U назы­

вается множество всех таких значений Я комплексной плоскости, для ко­ торых оператор I — ЯС/ является обобщенным оператором Нётера. Та часть Фу с Nv па которой индекс оператора I — ЯU равен нулю, называется

областью Фредгольма оператора U. Область Фредгольма Ф у введена и изу­ чена в [17]; множество N y названо в статье [1] обобщенной областью Фред­ гольма. Для замкпутых нормально разрешимых линейных операторов с конечными <Xj_Xy , Рг_ху аналогичное множество названо в статье [5] Ф-мно-

. жеством оператора V. Пользуясь теоремами типа 5.5, покажите, что все эти множества открыты на Я-плоскости и, следовательно, представляют объединение копечпого или счетного множества связпых компонент, в каж­ дой из которых индекс оператора I — XU постоянен.

Любопытпо отмстить поведение функции aj_Xy, когда Я принадлежит

какой-либо из компопепт G указанного выше множества. Существует неко­ торое множество Р cz G, возмояшо пустое, но не более чем счетное, без пре­ дельных точек внутри в, такое, что aj_ Xy принимает одно и то же значение п

для всех Я е б \ Л » в точках Я е Р имеем а г_хи > п (см. {17], теорема 2;

[5], теорема 3.3).

8.6. Теорема 5.1, особенно первое ее утверждение, представляет весьма естественное обобщение теории Радона (см. [18, а)]), рассматривавшего

класс	операторов вида	U =	W +	Т, где Т — вполне непрерывный опера­
тор,	а W — некоторый	оператор,		для которого ряд
		/ +	Ш + ?.2ТУ3+ . . .

имеет положительный радиус (равномерной) сходимости г. Еслп W — огра­ ниченный оператор, то г не меньше | И7)-1 . Каждый ограниченный оператор U допускает рассматриваемое разложение, еслп положить W = U,T = 0. Точная верхняя грань Гу (при фиксированном V) множества радиусов г

при всевозможных разложениях U — W + Т рассматриваемого вида названа

62

ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

(ГЛ. II

Радоном радиусом Фредгольма оператора U. Очевидно, что каждый ограни­ ченный оператор пмеет положительный радиус Фредгольма. Радопом было показано, что гу есть радиус папболыпого круга с центром в точке Я = О,

внутри которого оператор I — ЯС/ в принятой памп терминологии является обобщенным оператором Фредгольма (имеют место три классические теоремы Фредгольма). Покажите, что гц есть радиус наибольшего круга с центром

в точке Я = 0 , содержащегося в Фу (см. [17], § 3). Покажите также, что

гцп = гу, и выведите отсюда, что Гу = °о, если Vn вполпе пепрерывеп при некотором п 1 , и что Гу > 1 , если существует вполне непрерывный оператор 7 , для которого | Vn — 7 |< 1 (там же, § 4; см. также [9],

гл. XIII, § 5).

8.7. Как отмечалось выше (п. 5.4), палпчпе у ограниченного оператора U правого и левого регулярпзатора эквивалентно нётеровости оператора U, т. е. его нормальной разрешимости п конечности индекса. С. Г. Михлнну принадлежат утверждения (см. например, [13, д)], § 2): если оператор U только замкнут и допускает только левую регуляризацию, то он нормально разрешим и имеет конечномерное пространство нулей N (U). Больше того, если U допускает эквивалентную (левую) регуляризацию, то к тому же его индекс конечен и неотрицателен; обратно, если оператор нормально разре­ шим и имеет конечный неотрицательный индекс, то он допускает эквива­ лентную левую регуляризацию.

8.8. Интерполяционная теорема М. Рисса (см. п. 6.3) допускает следую­ щее обобщение. Рассмотрим норму измеримой функции z, определенную

формулой
И*лга =	sup ft [тез {f: |*(£)|>A}]P ,	(8.2)
Р	0<Л<со

и предположим, что на множестве S простых функций оператор Т удовлет­ воряет следующим условиям Марцинкевича:

		И Г / Ц ^ О / Ь , ^ .				i =	1* 2 -		(8.3)
Если 0		^ а , < 1, i =	1, 2,	и	Рх Ф Р2»		то	пРи любом t е	(0,	1)
оператор Т продолжается как ограниченный оператор, действующий										из
1*1ja 9 -^1/0* г<>е ® — (1 — t)ai +			taa,	Р =	(1	— <)рг +		<Р2, причем его	норма
lire превосходит	2	|рх —	р2|* (1 — t)			(см. [12];		см. также [10],	гл. I,
§ 2, или [7, б)],	гл. X II, § 4). Условия (8.3)					слабее условий (6.9), ибо если
норма (8.2) конечна для каждой функции z е								то обратное пе	имеет
меети (например,		для функции	z =	Г 3, 0 < t <			1).	Как показали	Стейн
и Уэйсс (см. [21],[а также [10], гл. 2,				§ 8), условия (8.3) можно еще ослабить,
заменив их следующим:
		Вг Х р С р_ < ^ ( т е з П ) “ 1,					£ = 1 , 2 ,		(8.4)

где xD (£) — характеристическая функция множества D. Тогда справедливо то же утверждение, если дополнительно предположить, что агф с^; норма Т

как	оператора из Ь1/х в		оценивается сверху числом
		m (си, а 2, P i, Рг, £) М х{ 1М г1 <		+ оо.
	Любопытно отметить, что если в условиях теоремы М. Рисса оператор Т
вполне непрерывен, как оператор из Zi^aj в				то он будет вполне непре­
рывным		и как оператор	ив Llla в Ь.,1 при любом t е (0, 1 ) (см. [10],
гл.	I, §	3).

ЛИТЕРАТУРА	63

Рассмотрим теперь иётеров оператор U, действующий в пространстве I'x/т и ПУСТЬ У — ограниченный оператор в L^ai, осуществляющий левую

и правую регуляризацию оператора U (теорема 5.2, а)). Предположим те­ перь, что и оператор U, и оператор V действуют и ограничены в L ^ . Поль­

зуясь теоремой об интерполяции полиой непрерывности и вторым утвержде­ нием теоремы 5.2, докажите, что U будет нётеровым и как оператор, дейст­ вующий в пространство. L^ а = (1 — t)at + <а2, t Е (0, 1). Можно ли

опустить

условия

на

У?

непрерывной функции ф (о)

сипгулярпый интеграл

8.9.

Для

каждой,

(7.2") существует почти всюду. Однако можно построить такие функции,

даже непрерывные,

что

в каждой

точке

s Е [а, Ь] (см.,

например,

[7, б)], гл. IV,

§ 3).

Иное

дело

иптеграл

(7.7),

в котором

a (s) — монотонная (в широком

смысле,

вообще

говоря)

функция. Учитывая,

что <p (s) =

ф+ (s) — <р_ ($),

гдо <р+ (s) =

sup {ф (s), 0},

ф_ (s) =• — inf {ф (s), 0), и что ядро К0 (s, о) зна­

копостоянно,

достаточно

ограничиться случаем

неотрицательных функций

Ф (s). Используя абсолютную аддитивность интеграла Лебега (см., например,

[15J, гл. VI, § 1), покажите, что оператор (7.7) есть интегральный оператор

вида (7.1),

в котором иптеграл на множестве точек s Е [в, 5] полной меры

существует в обычном смысле Лебега. Иными словами, каждый а-регуляр-

пый интегральный оператор есть регулярный оператор. Мы остановились

на этом

классе

регулярных

операторов столь

подробно

главным образом

из-за того, что

он,

как

указывалось выше, охватывает

операторы Радова

в пространствах Lp. .

Попятпе a-регулярного оператора незначительно можно обобщить, если

вместо неравенства

(7.6)

потребовать, чтобы выполнялось

условие

1* ( « , « ) 1<*

1 «(«)-сф )|

k = const,

(8.5)

|s—о|

где а (s) — произвольная функция ограниченной вариации (именно такая оценка имеет место для ядра потенциала двойного слоя, распространенного вдоль кривой ограниченного вращения, причем a (s) в атом случае есть угол наклона касательной к оси х). Представляя a (s) в виде разности двух монотонных функций <%! (s), сса (s) (см. § 1, п. 1.2), представим предыдущуюоценку в впдо]

Убедитесь в том, что теорема 7.1 имеет место н в этом случае. Наконец, пред­ лагается самостоятельно рассмотреть тот случай, когда оценка вида (8.5)

имеет место		только	в некоторой		окрестности диагонали s =	а.
	ЛИТЕРАТУРА
1.	А т к и н с о н Ф. В.,			Нормальная разрешимость линейных уравнений
2.	в нормированных пространствах, Матем. сб. 28 (70) (1951), 3—14.
	В е к у а	И. Н.,;	К	теории	сингулярных интегральных	уравнений.
3.	Сообщения АН Груз. ССР III, № 9 (1942), 869-876.
	Г а * о в	Ф. Д .,	Краевые задачи, Фцвматгиз, 195§,

ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ		[ГЛ. II
4. Г о х б с р г И. Ц.,	а) О линейных уравнениях в пространство Гильбер­
та, ДАН 76, № 1	(1951), 9 -1 2 .

б)	О линейных уравнениях в нормированных пространствах, ДАН 76,
№ 4 (1951), 477-480.
в)	Об устойчивости индекса неограниченного оператора, Матем. сб. 33

(75)(1953), 193—198.

5.Г о х б в р г И. Ц. и К р е й н М. Г., Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН 12, вып. 2 (1957), 43 -118.

6.	Д а н и л ю к	И. И.		и Ш е л е п о в В. Ю., Об ограниченности сингу­
	лярного оператора		с	ядром		Коши вдоль кривых ограниченного враще­
7.	ния, ДАН 174, № 3			(1967), 514-517.
	З и г м у н д	A. (Zygmund A.), a) On a theorem of Marcinkiewicz concer­
	ning interpolation theorem, J. Pure and Appl. Math. 9 (1956).
8.	б) Тригонометрические ряды, 2-е изд, т. I, II,								«Мир», 1965.
	К а л ь д е р о н А. П. и 3 и г м у н д							A. (Calderon		А. Р., Zygmund А.),
	а) A note on the interpolation of linear operators, Studia Math. 12. (1951).
	б) A note on the interpolation of supliner operators, Amer. J. Math. 78
9.	(1956).		Л .В .		и А к и л о в			Г. II.,	Функциональный анализ
	К а н т о р о в и ч
10.	в нормированных		пространствах,				Фнзматгиэ,		1959.
	К р а с н о с е л ь с к и й					М. А.,	З а б р е й		к о	П. П., П у с т и д ь -
	н и к Е. И., С о б о л е в с к л й П. Е., Интегральные операторы в про­
	странствах суммируемых				фупкций,		«Наука», 1966.

И. К у п р а д з е В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интеграль­ ные уравнения, Гостехнздат, 1950.

12. М а р ц и н к е в и ч Я.	(Marcinkiewicz J.), Sur l ’interpolation d’opera-
teurs, C. R. Acad. Sc.,	Paris, 208, (1939).

13.M и x л и п С. Г., а) Об одном классе сингулярных интегральных урав­ нений, ДАН 24, № 4 (1939), 315-317.

б) О разрешимости линейных уравнений в гильбертовом пространстве,

ДАН 57, № 1 (1947),		11 -1 2 .		3	(25) (1948),
в) Сингулярные интегральные уравнения, УМН 3, вып.
29—112.				коэффициен­
г) Сингулярные интегральные уравнения с непрерывными
тами, ДАН 59, № 3 (1948), 435-438.					уравнения,
д) Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
Физматгпз, 1962.		Н. И.,	Сингулярные интегральные		уравнения,
14. М у с х е л и ш в и л и
«Наука», 1962.
15. Н а т а н с о н	И. П.,	Теория	функций вещественной	переменной,
Гостехнздат,	1957.

16.Н ё т е р Ф. (Noether F.), Ober eine Klasse singulaler Integralglcichungen, Math. Ann. 82 (1921), 4 2 -6 3 .

17.Н и к о л ь с к и й С. M., Линейные уравнения в линейных нормиро­ ванных пространствах, Изв. АН СССР, сер. матем, 7, № 3 (1943), 147—

18. Р а д о н И. (Radon J.), a) Ober lincare Funktionaltransfonnationen		und
Funktionalgleichungen, Silz. d. Akad. Wiss. Wien, Matli.-Naturw.		K l.,
128,	(1919), 1083— 1121; есть русск. перевод: О линейных функциональ­
ных	преобразованиях в функциональных уравнениях, УМН 1 (1936),

б) Ober die Randwcrtanfgaben beim logarithmischen Potential, Sitr. d. Akad. Wiss. Wien 128 (1919), 1123— 1167; есть русск. перевод: О краевых

задачах для логарифмического потенциала, УМН 1, вып. 3—4 (13— 14) (194G), 96-124 .

19.Р и с е М., (Riesz М.), Sur les maxima des formes hilineaires et sur les fonctionnelles lineaires, Acta Math. 49 (1926).

ЛИТЕРАТУРА

65

20.С т е й п Э. (Stein Б. М .), Interpolation of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc. 83 (1956), 482-492.

21.	С т е й п		Э. и У э й с с Г. (Stein Б. М., Weiss G.), An extension of a the­
	orem of Marcinkiewicz and some				of its applications, J. of Math, and Mech.
22.	8, №	2	(1959).		An extension of a convexity theorem due
	T о p и н		Г. (Thorin G. 0 .), a)
	to M. Riesz. Kungl. Fysiografiska Sacllskapet i Lund Forhaend linger 8
	(1939),	14.
	6) Convexity theorems, Diss. Lund, 1948, 1—57; есть русск. перевод:
23.	Математика (период, сб. переводов) 1: 3 (1957).
	Х а у с д о р ф			Ф ., Теория множеств, ОНТИ, 1937.
24.	X и р ш м а п			И. (Hirschman I. I.), A convexity theorem for certain groups

of transformations, J. il’Analyse Math. 2 (1952), 209—218.

Г л а в а III

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Основным предметом этой книги являются краевые задачи, однако в принятых ниже предположениях на исходные данные в классических множествах функций, например непрерывных в замкнутой области, эти задачи, в общей ситуации, могут не иметь ни одного решения. С целью сохранения важнейших черт класси­ ческих разделов теории граничных задач необходимо расширить класс допустимых функций. Такими естественными в сделанных допущениях классами являются классы Харди Нр при р > 1 и их обобщения на случай областей со спрямляемыми границами — классы Смирнова. В этой главе изложены также основные свой­ ства гармонических функций из родственных классов hp и класси­ ческая теорема Фату о граничных значениях интеграла Пуас­ сона — Стилтьеса. Хотя в литературе имеется несколько обстоя­ тельных изложений этого круга вопросов (укажем, например, монографии И. И. Привалова, Г. М. ГоЛузина, К. Гофмана, А. Зигмунда), мы излагаем необходимые ниже свойства функций этих классов, чтобы облегчить чтение следующих глав книги и сделать его независимым. Затем устанавливается обобщение одного неравенства М. Рисса, оценивающего Lp-норму мнимой части аналитической функции через Lp-норму ее действительной части. Это обобщение позволит нам установить ограниченность сингу­ лярного интегрального оператора в двух важных случах: когда рассматриваются взвешенные пространства Lp с весами доста­ точно общей природы либо когда интеграл распространен вдоль кривой весьма общего вида.

§ 9. Гармонические функции внутри единичного круга

9.1. Будем обозначать одной и той же буквой р, (s) произволь­ ную (комплекснозначную, вообще говоря) функцию ограничен­ ной вариации и порожденную ею меру Лебега — Стилтьеса.

§ в]	ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	67
Вводя для краткости для ядра Пуассона обозначение
	ре*	(9.1)
рассмотрим интеграл Пуассона — Стилтьеса
	« (р. « > = t р <*»•s — °) ф <*)•	(9.2)

Гармоничность функции и (р, а) внутри единичного круга р < 1 есть непосредственное следствие второго равенства в (9.1), а ее граничные свойства выявляются в следующем важном утверж­ дении.

Т е о р е м а 9.1 (П. Фату, см. [24]). Пусть ст0 G [0, 2л] —

любая точка, в которой функция р (а) имеет конечную производ­

ную р' (а0). Тогда и (р,				а) -+■ р'		(а0), если точка z стремится к
е,Яа по любому некасательному пути изнутри круга \z\<										1.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Без	ограничения		общности		можно
считать, что р' (ст0) = 0.				Кроме того, учитывая,				что в силу (9.1)
имеет место тождество
вследствие чего			о
	М(Р>		=	j	Р (р»		+	А,
				о
где	рх (s) = р (s) — ,4s,			А = [р (2я) — р (0)]/2я, всегда						можно
предполагать,		что р (0) = р (2л). Соединяя точку z =							pei0 с точ­
кой	е1в° дугой,	заданной		параметрически: р =				р (а),	о =	<т (а),
0 <	а < 1, причем 0 <			р (а) < 1, р (1) =			1, а (1) = а0, рассмот­
рим функцию
КЛ(5, б0) = sin (s -			о0) Р' [р (a), s -			б (а)],	Р’ (р, со) =		Р (р, ©).
Интегрируя правую часть формулы (9.2) по частям, получим
		И(р, с ) =		_ ^ _ ^ ' ( p , S_o)p(s)d5,
откуда					о
							I* (*) ds			(9 .3 )
	“ ||’	(“ ) - <!(0 ) 1		=	- ^ 5	х » ( * ' ‘!» ) шsin^(s—бо) ’

68	ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ				[ГЛ. III
Из сделанных выше предположений вытекает, что
					(9.4)
В подробной записи ядро Ка (s, о0) имеет вид
к (	ч	2р (а) [1 — р2 (а) ] sin (s — g0) sin (ж — a (а))		0 ^	^ ^ 2я,
\s, О0) -		[ i - 2 p (а) cos (s - о (а)) -f р* (а)]»
откуда легко вывести формулу
		lim	sup I Ка(s, б0) |— 0,		(9.5)
		а-*1 |s—o0|>5
каково	бы	ни было фиксированное число б > 0.		Кроме	того,
		lim	Ка(s, a0)d s= — 1.		(9.6)
		«-*	i

В самом деле, интегрирование по частям и использование (9.1) дает

"2л \	°0^	=
о
		2 .г
=	~1л	^ cos(s _ бо)^(Р. s — <з0) ds =		— р (ос) cos (б (а) — о0),
		о
что немедленно приводит к (9.6). Наконец, докажем, что
			2я
		Й т	5 I Ка (з, во) I ds< +	сх>.	(9.7)
		“"*■!	о
Для этого заметим, что
2я		2п
5 |ЛГ.(в,во)|& = $ |sin(s + 6 - o 0)/>'(p,e)|£fo <

оо

< | sm (6 -o „)|		\ | ^ (р ,в)| * +	\ |sin sP' (р, s) |ds.		(9.8)
тт		0	0
Поскольку
sin sP' (р, s) = — - 2р(1~~р2) 3in2g				ft
TO		(1 + P4 — 2p cos s)* ^
2"	2n		B«	(p, s) ds =
\ |sin sF (p, s)\ds =	- \	sin sF (p, 3) ds =	$ cos
				= 2rtp	2rt,

§ 0]	ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

и остается только доказать ограниченность первого слагаемого справа в формуле (9.8). Именно здесь будет использовано то, что точка z стремится к ei0° по некасательному пути. Так как

2г.			я
|sin (о — с0) |$ |F (р, s) |ds = 2 1sin (с — o0) |jj |F (p, s) |ds =
о			о
	= - 2 1sin (с - б0) I $ F (p, s) ds =
		0
= — 2 1sin (a — <30) |[P (p, n) — P (p, 0)] =			— 2 1sin (a — a0) |X
w Г1 — P	1 H- P1	8p |sin (a — Go) |	о	I sin (a — Go) |	/Q m
x L i T F _ T ^ f J = ------		-----------------------------		~ P— ’ ( y )
то -достаточно	установить	ограниченность		sin[a (a) — a0]/[l —

— p (a) I при a -> 1. Некасательность пути стремления z (a) к eia*

означает, что точка z (а) при a, близких к 1, постоянно находится внутри фиксированного угла А"АА' (рис. 1). Из теоремы синусов, примененной к треугольнику ВАС, и равенств ВС = 1 — р (а),

ВА2 =	1 +	р2 (а) — 2р (a)cos[ff (а) — ст0] следует,					что 1 + р2 (а) —
— 2р (a)cos[or (а) — а0] <					[1 — р (a)]2/sin 6 < [1 — р (a)Wsin			б0
если	учесть		также,	что	б !> б0 ,> 0 ПРИ		Обозначая
1 — р = е		и	учитывая,		что cos	(a — a0) =	1—2 sin2 - 2	,
легко	получаем далее,			что
			1 + 4е-а (1 - е) sin2			< М.

70	ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ								[ГЛ. III
Это доказывает ограниченность последнего отношения в (9.9),
правой части (9.8), а вместе с тем и неравенство (9.7).									v (s) =
Теперь		совсем		легко	доказать		теорему.	Пусть
= |х {s)f sin (s — tr0) — |x' (o0)-						Тогда	из (9.3) получим
		+		K'(s,a,)ds =
				0
						■------1C. («,«,)& .			(9.10)
							0
Принимая во внимание оценку
	в«4-Ч						2*
I	\	\{s) Ka(s, do) ds|<				sup	|v(s)| \ \Ka{s, o0)\ds,
	o,—l)					I*—Ool<1)	0
неравенство (9.7) и формулу (9.4), убедимся, что часть второго
интеграла в (9.10), приходящаяся на сегмент								|s — о0|^	ц, мо­
жет быть		сделана		сколь угодно малой при				достаточно	малом
т | > 0 н	при a - v 1. Фиксируя затем т) и используя ограничен­
ность v (s) при			|а — а„| > ц и формулу (9.5), убедимся, что и ос
тавшаяся часть интеграла справа в (9.10) при а								1 сколь угодно
мала. Предельное соотношение (9.6) в применении к левой части
(9.10)	приводит к формуле
				2я
			lim "St \ Р			5 - d)	(«) = Р'(во).		(9-11)
в левой	части		которой z =		ре*° стремится к е1о° вдоль любого не­
касательного пути. Теорема Фату полностью доказана.
9.2.		Воспользуемся-теперь двумя теоремами из теории функ­

ций вещественной переменной. Первая из них утверждает, что каждая функция ограниченной вариации имеет почти всюду ко­ нечную производную, интегрируемую в смысле Лебега. Вторая утверждает, что неопределенный интеграл Лебега любой сумми­ руемой функции имеет почти всюду конечную производную, ко­ торая почти всюду совпадает с подынтегральной функцией. В частности, это имеет место в каждой точке непрерывности интег­ рируемой функции и вместе с теоремой 9.1 позволяет сформули­ ровать следующие утверждения:

С л е д с т в и е 9.1. (i) Интеграл (9.2) почта для всех точек на окружности \z\ = 1 имеет предельные значения и (1, о) вдоль произвольного некасательного пути, совпадающие со значениями производной |х' (а); зти значения образуют почти всюду конечную и даже суммируемую функцию.