книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Если {II s~ || в }	ограничена равномерно по п, 5 и а, то
lim	II	- й II//= О,	(28)
5 -*0, а, п - + ° °

и из (27), (28) следует утверждение теоремы. Справедливость сде­ ланного допущения доказывается, по существу, так же, как и ана­ логичное утверждение в теореме 76, и поэтому здесь не приводится. Теорема доказана.

7. Пусть / (и) —линейный функционал, значение которого необ­ ходимо вычислить на элементе и £ D. Предположим, что вместо и известно его 5-приближение в Я, т.е. элемент и. Так как выражение / (м) может_даже не иметь смысла, то естественно в качестве приб­ лижения к I (и) взять / ($2) при соответствующем выборе парамет­ ра а (см. теоремы 76 и 77). Это дает устойчивый способ вычисле­ ния любого линейного функционала в HL . Учитывая результаты, полученные в п. 5, можно ожидать, что указанный способ вычисле­ ния функционалов близок к оптимальному.

Так как

1 (sff) = (sff>v)f + (Ls ff’ L v )G,

где v £ D —известный элемент, то для вычисления / (s~) достаточ­ но знать только значения функционалов /,♦($£) (/= 1, . . . , п) и

оператора LsZ. Способы их определения (без непосредственного нахождения элемента sZ) будут рассмотрены далее. Аналогичное замечание справедливо, очевидно, и в случае, когда надо вычис­ лить только значение оператора L на сплайне sZ. Вычисление // ($2) и LsZ без непосредственного построения сплайна sZ существенно

уменьшает вычислительную работу при поиске подходящих значе­ ний параметра а (например, удовлетворяющих критерию невяз­ ки р(а) = р).

8. Условие выбора уровня невязки р, 52 +г2 \\й - и 11^ < р 2,

несколько обременительно на практике, так как оно зависит от уклонения Ий —й II5 , которое не всегда легко оценить. Естествен­ но указать условия, когда можно полагать р = 5. Это упрощает проблему выбора арБудем считать, что система функционалов

li (и) (/	= 1 , . . . , п) полна	в Я (т.е. полна система kt) и, кроме
тогб, выполнено условие
IIи Рн	= Б (/,(м))2,	и е н .

11. В.А. Морозов

161

Пусть а = а5			определено из условия р(а) =5. Обозначим sns =
= s ~ . Тогда, очевидно,
II		—и II/ < II		- и II/ + II й - и II/ <	25.	(29)
Полагая и = м, ос =а 6				в неравенстве (24), получаем
б2	+а6		llaG < l l i i - 2 l z2 + a6 WLu PG <
<	Им - и \\ 2н		+ а 6	111м 11^ ,
и, следовательно,
		IIG < I I S IIg .				(30)
Из (29)		следует, что при 6 -*0, м->°°
sn5^ u ( B H ) .						(31)
Из	(30) и		(31)	по обычной схеме	получаем	доказательство
того факта, что
lim		ИsnS - и \\L =0.
6-»0,п-*">

Утверждение доказано.

Наложенные на систему функционалов {//(м)} (/ =1 , 2 , . . . ) условия заведомо выполняются, если система {kf} ортонормирована и полна в Н .

9.		Рассмотрим введенный ранее обобщенный метод интерполи­
рования применительно к общему случаю. Пусть снова система
функционалов { 1 ^ (м)}					полна в том		смысле, что	замыкание
системы		определяющих			их элементов		(/ = 1 , . . . , л)		совпа­
дает с пространствомН. Пусть элемент мЕ ^ и
I lt(u) - /,(2)				I < s ,	i = 1 , . . . ,п ,		/,• = //">.		(32)
Определим щ как решение экстремальной задачи
m =		inf	\\Lu llG = IIIM6			llG,			(33)
	ue.us
где	множество			U$ ={мЕ D\		| //(м) —/,-(м) | < б } ^		ф в	силу
(32). Существование решения (по крайней мере одного) вариа­
ционной задачи (33) можно доказать следующим образом.
Пусть {м5} -				такая последовательность из {/$, что
m< IILus llG				<т + 1/s,		s = 1, 2, . . .
Очевидно,			что	| l( (us)	\ <5	+ | /,(м) |	<5 + max | /,(2 ) | , т.е.
							i
II Цу	И/<°°		равномерно		по s. Но тогда		II щ ll„<°°	равномерно
по s . Отсюда следует слабая						компактность {t/у} в # ,2, а также в
H L . Предполагая, что последовательность {м*} слабо								сходится в
162

HL (ПРИ необходимости выбираем такую подпоследовательность)

к некоторому элементу щ Е HL , получаем в силу замкнутости L ,

А

что щ G Щ, т.е. является допустимым элементом, и, кроме того,

IIJLM6 iG< lim llLMi llc =w. s-* 00

Отсюда следует, что множество решений задачи (33) непусто. Утверждение доказано.

Единственность элементов щ можно гарантировать, если ядро NL оператора L сосгоит только из нулевого элемента. Доказатель­ ство сходимости метода следует схеме, изложенной в п. 7.

Построив для элемента щ интерполяционный сплайн s ^ , убеж­

даемся, что s а Е Ub и	11/,$* IIG < \\Lub 11^, т.е. решение (33)
US	li5

можно искать на множестве интерполяционных сплайнов, удов­

летворяющих условию допустимости | //(и) -1 ((й )	| <5	(/ =
= 1 , . . . , гг) . Аналогичное замечание имеет место и	для	случая
регуляризованных сплайнов (2).

Заметим, что все изложенные выше результаты остаются спра­ ведливыми, если множество D считать выпуклым. Это замечание позволяет учесть наличие априорно известных граничных условий, накладываемых на элемент и. Основные результаты сохраняются также, если заменить форму IILu \\2G на \ \ L u - g 11^, где# - фикси­ рованный элемент из G,

Нетрудно видеть, что метод (33) определяет некоторый алго­

ритм	сглаживания	. Можно показать, что этот алгоритм	опти­
мален	в смысле,	близком по форме к рассмотренному в	§ 19.

Именно, надо определить оценочную функцию

^ B (5>^) = suP IIВы IIу,

и

u&D\ max | /,(и) | < 5 , iLu IIG <Д .

i

Если алгоритм Т=Т (1Х(м ) , . .. ,/„(м)) есть некоторое отображе­ ние «-мерного евклидова пространства в Д то легко доказывается соотношение (2) § 19, т.е.

сов ( 5 , R.‘ Т) ^ сов (5, R. ),

где
с2в (б, Я ;Г ) =
sup	II B u - T ( h ( U ) , . . . , l „ { u ) ) h .
I / / mi <б,*=м-тг,
uCE UR

11*

163

Доказательство	этого	факта аналогично	доказательству теоре­
мы 65.
Заметим, что элемент щ из (33) обладает свойствами
I li(u6) - //(£)	I < 28,	IIL(u6 - й) IIG <	2Л.
Следовательно, справедлива оценка точности

IIВ и - В и ь II]/ <2<од (5, R) .

Во всех приведенных здесь рассуждениях число функционалов п считалось фиксированным.

§22. Приближенное решение операторных уравнений методом сплайнов

1. Пусть Л - линейный (ограниченный) оператор, действующий из Я в F (Я и F, как обычно, гильбертовы пространства), с об­ ластью определения DA СЯ . Предполагается, что оператор А имеет ограниченный обратный, определенный на всем Я, так что урав­ нение

A u = f

(1)

имеет единственное решение и при любом / Е F, т.е. задача (1) кор­ ректно поставлена.

Определим другой линейный замкнутый оператор L : Н -+G с

областью	определения Di QDA , D I		= Я , причем выполнены ус­
ловия
1) u = A - if G D L-,
2) \\Аи | * < т 2( IIи 1*,+ И.и PG ),				U GDl ,
где 7 > 0 -	постоянная.
Зададим в Di		п линейных и линейно независимых в HL функ­
ционалов	If (и) =	/ / ”* (и) (/ = 1 , . . . ,	п)	и предположим, как и в

§21, что

3)ядро NL ={U£ D l : L U -О) оператора L имеет конечную

размерность q				= 1,. . . , п) , то элемент и - 0;
4) если и Е NL и If (и)			= 0 (г
5) выполнено условие аппроксимации: для всякого мЕ £)L
| 1м I* - II м		И*, |</?,	Ии1* .					(2)
Здесь г„ ->■0 при и			и не зависят от мб		;	/ (и)	= (/,	(и), . . .
	1,Ли)) т:		П	(и) I/ (и);		к ,7	, ч
. . . ,		Ии\\)=	2		числа		= к	обра-
зуют		/.'=1			к (в частном			случае
	положительно определенную матрицу

164

Kij = 0, * =£/, т.е. матрица к диагональна; тогда по существу рассматривается схема предыдущего параграфа);

6)	если g = (gi , . . . ,gn) T - произвольный вектор размернос­
ти п, то существует по крайней мере один элемент g ^ D L такой,
что 1(g)	=£, т.е. интерполирующий элемент (интерполянт).

Пусть Ug ={g Е DL : 1(g) =g }, s* —сплайн, интерполирующий

А

значения g . Если существует g Е DL такой,что 1(g) равно заданному вектору g, то полагаем $л = sg . Обозначим

S n=*Sg: - 00<8i<00< i = 1, . . . ,п} .

Основная задача, рассматриваемая здесь, формулируется так:

определить	сплайн	snE S n,	удовлетворяющий	условию
inf \ \ A s - f \ \ F =\\Asn - f \ \ Ft				(3)
S E:S n

и изучить его аппроксимативные свойства по отношению к ре­ шению уравнения (1).

2.	Пусть е* = (0, . . . »1 . . . , 0)Г- орт					г-й координатной оси.
Обозначим Si			=se .. Сплайн se( назовем базисным.
Т е о р е м а			78. Всякий сплайн s* однозначно представим в
виде линейной комбинации базисных сплайнов:
	п	gksk .
*£=	2							(4)
«	Аг=1			Представимость sа в
Д о к а з а т е л ь с т в о .							виде (4)	следует
из того,		что lt (	п		=/,*(хл), и	g	уравнения	Эйлера
			2 g k sk) =gi			из
			*= 1		*
(Ls,L u ) c = 0 V u 6 i ) L :				l(v)	= 0, верного	для любого интерпо­

лирующего сплайна s. Докажем единственность представления

(4). Для этого, достаточно показать линейную независимость базисных сплайнов S( в HL или Нп.

		п	£*$£=0 и gj	ФО принекотором /0.Имеем
	Пусть	2
		*=i		0
	О = II	£	gk sk II* =
	k= 1
	п		п	п
Полученное			противоречие	доказывает линейную независимость
{	в Нп и, следовательно, в HL . Теорема доказана.

165

С л е д с т в и е . Множество Sn является линейным пространст­ вом размерности п, базисом в котором являются базисные сплай­

ны si(i

= 1, . . . , п) .

В связи со

сказанным

выше для определения коэффициентов

£

А

разложения sn имеем следующую систему линейных

алгебраических уравнений:

п

2

gj(A siy

A S/)F = (A st, f ) F,

i =

,п.

( 5 )

/=1

Т е о р е м а

79. Задача (5) однозначно разрешима; при этом

\ \ u - s n \\H + \ \ A u - A s n

Л- оо

(6)

т.е. метод сплайнов сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

однозначной

разрешимости

(5),

очевидно,

достаточно доказать, что система базисных сплайнов

Л-линейно

независима,

т.е. элементы

Asf линейно независимы

в F. Предполагая противное, в силу обратимости А

получим

линейную

зависимость

базисных

сплайнов в Я 7 , чего не может

быть в силу доказанного выше.

Далее

имеем,

используя

экстремальное

свойство

элемен­

та?,,:

Им-?„

WH <\\A~l II

\\Asn -f\\F <\\A-1 II

IL4SA - / llF,

где SA -

сплайн, определяемый значениями функционалов 1Х(и),...

. . . , /,,(м)

на точном решении

( 1), т.е. сплайн-интерполянт для эле­

мента и. Используя условие 2), из предыдущей оценки получаем

II и -

?„

\\н <у

IIЛ _1 II

II 5а -

и IIi

0,

п

°°,

(7)

(в силу теоремы сходимости интерполяционных сплайнов (§ 21)) .

Теорема доказана.

3.

Выясним скорость сходимости метода сплайнов при решении

операторного уравнения (1). Ясно, что

она существенно опреде­

ляется

скоростью

сходимости

сплайна

интерполирующего

ре­

шением задачи (1). Очевидно, имеем:

\\Ls«\\G <\\LZ\\c .

(8)

С другой

стороны, полагая

в

условии аппроксимации

(2)

и -

= м -

5а, получаем

и и -

s*

11^

( II и -

s« II)' + IIЦ й

-

st* )

;>■

т.е. при достаточно больших п

1м -

sи

Н

1 - r l

\ L $ - s s )l*G =q},.

(?)

166

Это дает представление о скорости сходимости				сплайна s* к эле­
менту и в пространстве Я.
Предположим, что иЕ DJ *7 , т.е. элемент				и имеет большую
гладкость. Тогда, используя уравнение Эйлера, получаем
II L(u - s«) IIС2 = (L * L и, и - SQ)H <
< II L*L и II „Им		- s*	Н„ .
	Н	И	Н
Учитывая (9), имеем оценки
2
Q n < ~ r L T l L * L u l Ht				(JO)
1 - Г ,
Н и - Ls*	i * <	WL'Lu \\/ fqn.		(П )
Отметим также, что из равенства Пифагора следует оценка
U u - L s *	|| , < Р 1 и		I .\/u<=D, .	(12)
и	О		G	v

Пусть теперь 1 \ (О <Х0< X < °°) - спектральное разложение еди­ ницы, порожденное самосопряженным оператором L*L. Тогда

для любого

UEDL

квадратичная форма II L и \\2а

имеет вид

II Lu II?,

= /

MdK\ и, и).

К

Обозначим через L ^

произвольный линейный оператор, для кото­

рого квадратичная форма

II Lf и II2 -

/

<р(\) (<//;'*. м, м).

и €

Z)^ = D,

,

К

*

где ^(Х) -

некоторая непрерывная положительная функция, удов­

летворяющая следующим условиям:

а) </>(Х) строго возрастает:

б) кр~1(X) выпукла вниз:

в) функция X2v?(1/Х2) возрастает.

Т е о р е м а

80.

При указанных

условиях на функцию

$ (X)

справедливы оценки

/Л

ч н2

2

/ Щ

" -*Г<)11Ь

2

/ 1 / . мИ?; \

V i—

)■'

’

где ql опреде/1яется по формуле (9), earn известно только,

что

элемент и Е DL. и по формуле

( 10) в случае мЕ

*7 . В частности,

если у (\) =Х° (0< а < 1) , 7о условия

а)

- в) выполнены и

имеет

место оценка

I <

q)t

° II Ь(й

s~)\

° II Lu IIо

(14)

| М “ -*г>

'Яп

и'

F '

167

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Для любого	u £ D L , применяя интег­
ральное неравенство Йенсена, получаем
* _1( 7 v(k)(dEx u,u)/		Г (с!Ех и,и))<	/ X(dEx u,u)l f ( d E Ku,u)
Л0		\ 0	\ 0
и, следовательно, в силу а) - в) имеем
IIL^M II2 < /	(dE\u,u)y( IILu IIс/ /		(dExu,u))<
К		A.r,
< II и \\2Н <р( \\Lu 11^/11 и		11^ ).		(15)
Полагая здесь u = u - s *		и используя оценки		( 10) - ( 1 2 ) , полу­
чаем (13) , (14) . Теорема доказана.
З а м е ч а н и е .	Неравенство (15) можно применить для оцен­
ки точности вычисления		значений оператора		если положить
и - и ь -w , где щ	- сглаженное значение		элемента и: II и - м IIИ<

<5 . Тогда при рассмотренных выше алгоритмах сглаживания имеем

II - и 1;/ <	25,	II Ьиь - Lu lie < 2	II Lu ll^ < 2R ,
следовательно, справедлива оценка
IIL^(u6 - u )	II2 < 4 5 ^ ( Д 2/52).		(16)

При ^ (X) = \° эта оценка принимает вид

IIL ^ ( u - u b) \\<2bxaR°.

Заметим, что случай <р(X) = Xff соответствует оператору дифферен­ цирования.

Следствием проведенного анализа является следующее утверж­ дение: если решение и задачи ( 1) принадлежит L)h*{%то справедли­ ва оценка

\A*n - f \ H = 0 {rlY

Если же выполнено условие
IIА и II2, < у 2 ( II и \\2Н +	IIL^ и II2), иЕ О ^,	= const,
то. используя оценки (13),	(14), можно получить оценки скорости

сходимости к нулю уклонения II и —sn IIИ .

Пусть далее квадратичная форма \\Au\\2F эквивалентна квад­ ратичной форме II и II2, т.е.

7о II и IIL < IIА и IIF < у II и IIL ,

где 7о и у -	положительные	константы. Используя условие ап­
проксимации	(2), легко показать, что при достаточно больших п
нормы пространств Нп и H i		эквивалентны, т.е. существуют поло-

168

жительные т и Л/, не зависящие от и и п и такие, что

т II и ll„ <		II и II/,	II и ll„ V M€ Дг .
Но тогда	форма IIА и \\р эквивалентна форме			\\и II£ в силу нера­
венств
туо II	и II „	< WAu IIF <Му II и \\п .
_	А	А		А

Пусть z = и —s„.Тогда в силу экстремальности элемента sn \ \ A u - A s n lF < i A u - A s « WF <

<My II и - s* \\п =Му II Lu ~ Ls* 11^.

С другой стороны, используя теорему 74, имеем IIАи - Asn \\F > m y0 IIи - sn ll„ >

> т у 0 \\й - SA ||„ = ту0 \\Lu - Ls* \\Q , где s а —сплайн, определяемый элементом и.

Из полученных соотношений следует важное двустороннее соотношение

ту0 IILu - Ls * I < WAu - A s n \\„<Му II Lu - Ls* IL , MO- r M O

которое показывает, что невязка на решении, полученном мето­ дом сплайнов, полностью определяется точностью аппроксимации значения оператора L на решении и уравнения (1) значением L на интерполяционном сплайне s*.

4. Остановимся на некоторых условиях реализации изложен­ ного подхода. Пусть, например, в квадратичной форме

WAu \\2F ^\\A 0 и \\2р + \\AiU \\2р

квадратичная форма II А 0и 11^, определяет ’’главную” часть в сле­ дующем смысле:

I\Аги IIF2 < k 2( \\и |^ + \\А0и IIF2 ) = k2 \\и I* Тогда, очевидно,

WAu HjL <(1 + &2) Им II ^ ,

и неравенство 2) выполнено, если определить L =А0.

Рассмотрим пример, для которого проверка выполнения усло­ вий 3) —6) не вызывает особых затруднений. Пусть

d ku

Lu = — — ,	х € [ я , Ь],	к > 2,
d x k

где дифференцирование понимается в смысле С.Л. Соболева. Тогда легко видеть, что размерность q ядра оператора L равна к.

169

Определим на [а, Ь] равномерную сетку узлов

xf =а + (/-!)/*„, h„=(b-a)ln (/ = 1, . . . ,и + 1)

и положим // (w) = u ( x i + l f 2 ) , где л^+I /2 + 0* - 1/2) hn. Функ­ ционалы // (ц) определены для любой достаточно гладкой функ­ ции. Выполнение 6) следует из существования интерполяцион­ ного полинома, проходящего через заданные точки (*/+i /2>wi)-

Так	как	множество NL - полиномы степени	не выше,	чем
к -	1, то	4) выполнено, очевидно, при п > к .	Выполнение	5)

легко проверяется непосредственно: применяя формулу Тей­ лора до 2-го порядка включительно с остаточным членом в интегральной форме, получаем оценку

| 2	h„ и2(х1+1/2) - / u2(x)dx | <ск hj, II и Р ,
/=1	а
где Ck -	постоянная, не зависящая от п.

Таким образом, рассматриваемые условия выполнены.

Далее остановимся на выборе аппроксимирующих функ­ ционалов 1( = /" (г = 1 , . . . , п) . Как показано выше, точность приближенного решения существенно определяется величиной rw характеризующей точность аппроксимации в условии (2). Представляется естественным выбирать систему функционалов

//(«)(/	= 1, . . . , и )			так,	чтобы порядок аппроксимации был
возможно		выше. Этого			можно добиться, минимизируя по / и
к выражение			(см. (2))
sup		\ и	II/ —Им \\2н		|
					(17)
u < = D L
Если	Я = 1 2 (Ф)>			где	12 - область конечномерного прост­
ранства	с	достаточно регулярной границей, и функционалы
1( являются значениями					и(Р,•) достаточно гладких функций и
в узловых		точках Pt G 12 (z = 1, . . ., ri) , то минимизация (17)
приводит,		как это легко видеть, к выбору оптимальной квад­

ратурной формулы. Если узлы {Pf} фиксированы, то сформу­ лированная задача сводится к определению только наилучших коэффициентов квадратурной формулы.

§23. Восстановление решения основной задачи по приближенным значениям функционалов

1.Постановка задачи. Рассмотрим снова основную задачу

(линейный случай). Предполагаем, что мера несовместности Ма = 0 и уравнение

A u = f	(1)
разрешимо	в обычном смысле. Кроме того, полагаем, что D =

170