книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

ных решений. Статистическая регуляризация систем линейных ал­ гебраических уравнений на базе последовательных байесовских решений изучена в работе Е.Л. Жуковского и автора [17]. См. также [81, 105].

Важное место р общей теории метода регуляризации занимает проблема оценки приближенных решений. Некоторые результаты в этом отношении были получены в работах В.В. Иванова [18, 19] и автора [52, 53]. При этом изучалось влияние ошибок в задании как / , так и А, Общие приемы оценки точности методов решения некорректных задач были предложены Р. Денчевым [11] и в рабо­ тах В.К. Иванова [28, 31] при рассмотрении (1) на специальном компакте. Для несколько более общей задачи эта методика была обоснована в [61]. Там же приведены многочисленные приме­ ры применения метода оценок В.К. Иванова к различным слу­ чаям ( 1).

В связи с проблемой регуляризации В.К. Иванов сформулировал задачу нахождения максимальных множеств корректности зада­ чи (1). При этом он обратил внимание на принципиально различное поведение приближенных алгоритмов регуляризации в ’’точке” и ’’равномерных” . Как оказалось, точечная регуляризация имеет место в широком классе банаховых пространств типа гильберто­ вых, обладающих свойством равномерной выпуклости и свойст­

вом Ефимова-Стечкина	[30]. Примерами таких пространств яв­
ляются пространства L p	(р > 1) и ряд других. Важной проблемой
теории регуляризации,	поставленной В.К. Ивановым, является

выяснение зависимости а= а ( 6), необходимой и достаточной для сходимости регуляризованных решений в различных пространствах

[25, 26].	Автором этот вопрос решен для специфической некор­
ректной	задачи - задачи вычисления значений неограниченного
оператора [67]. Сформулируем эту задачу.
Пусть на множестве DL С U задано отображение L , действующее
из U в метрическое пространство (7. Задача вычисления значений
оператора L		заключается в определении элемента
g = LU		(2)
по заданному		элементу UEU.
Задача (2)		называется корректной, если:

а) отображение L является (однозначным) оператором; б) DL = U;

в) оператор L непрерывен на U.

В противном случае задача вычисления (2) называется некор­ ректной (в работе [30] В.К. Иванов рассматривал задачу вычисле­ ния с многозначным оператором L ) . Нетрудно видеть, что задача вычисления неограниченного L является некорректной. Различные

И

случаи этой задачи были рассмотрены в работах [54, 55, 61]. В [76, 62] алгоритмы устойчивого вычисления значений неограниченно­ го оператора, построенные на основе развитого автором аппарата сглаживания, были использованы для обоснования численных методов определения параметров, входящих в операторное урав­ нение, по приближенно заданному его решению (так называемая обратная коэффициентная задача). В.Н. Страхов в связи с (2) поставил в [85] задачу определения наилучшей достижимой точ­ ности при вычислении g и отыскания соответствующего оптималь­ ного алгоритма. Эта задача им решена для упрощенного метода регуляризации. При этом требовалась максимальная априорная информация как о точности задания 6, так и о принадлежности и к классу корректности М. При более слабых априорных предпо­ ложениях автор указал оптимальный по порядку алгоритм вычис­ ления [67]. Там же даны неулучшаемые оценки точности этого алгоритма и сформулирована общая задача построения оптималь­ ных по порядку алгоритмов при минимальных априорных предпо­ ложениях. Этот подход автора нашел развитие в дальнейших рабо­ тах В.Н. Страхова, в частности [86]. Отметим, что общая задача оптимизации алгоритмов рассматривалась Н.С. Бахваловым [5] и С.Б. Стечкиным [84].

Важным классом некорректных задач ( 1) являются так назы­ ваемые задачи на спектре (например, задача Неймана для уравне­ ния Лапласа). В связи с решением этого класса задач автором была специально развита теория псевдорешений [56, 57]. При этом общие схемы регуляризации существенно уточняются и получают законченные формулировки. В развитую теорию вкладываются методы решения неустойчивых (плохо обусловленных, выровденных) систем линейных алгебраических уравнений. В общей теории псевдорешений не требуется классическая разрешимость ( 1). Аналогичные вопросы для систем линейных алгебраических уравне­ ний изучены В.В. Воеводиным [9].

В настоящей книге рассматривается обобщенная схема решения как уравнения ( 1), так и задачи вычисления (2) на основе подхода, впервые предложенного в [76]. Соответствующую задачу назовем

задачей вычисления значений оператора (2) на решениях оператор­ ного уравнения (1) . Общая формулировка ее следующая.

Пусть

0 ={йеОА:Ай =/)ПГ>ьФф.

Допускается, что множество U состоит более чем из одного элемен­ та. Требуется вычислить значение g = Lu на некотором элементе

и G U. Обычно задается некоторый фиксированный элемент g * и

12

вычисляется тот элемент g = Lu> для которого
PG (LU, g*)= min_ pG (Lu, g*).	(3)
uE:U

Задача (3) называется корректно поставленной {корректной),

если обе задачи ( 1) и (2) корректно поставлены.

Можно привести много доводов о целесообразности именно такой постановки математической задачи (некоторые из них при­ водятся в основном тексте) даже в случае корректности обеих за­ дач ( 1) и (2). Ряд задач оптимального управления [41 ], как легко видеть, сводится к решению (3). Мы только заметим, что при L,

равном единичному оператору Е , задача (3)	совпадает с (1), а при
А = Е —с задачей (2). Рассмотрение задачи	(3) устраняет извест­

ный параллелизм, наметившийся в научной литературе по некор­ ректным задачам и связанный с раздельным рассмотрением за­ дач ( 1) и (2) .

Далее в основном требуется разрешимость задачи (1) лишь в смысле метода наименьших квадратов. Это вносит определенную специфику в формулировки численных методов. Выделены доста­ точно общие условия (по мнению автора, близкие к необходимым), при которых возможно построение регулярных приближенных ре­ шений основной задачи (3). Изучен широкий круг регулярных методов, в том числе и таких, которые еще не рассматривались в литературе. Изучено влияние погрешностей в задании как опера­ тора А , так и оператора L. Особое внимание уделено оценкам точ­ ности рассматриваемых регулярных методов решения основной задачи. Корректность задач (1) и (2) в общем случае не предпола­ гается. При наличии этого свойства полученные результаты сущест­ венно уточняются. Рассмотрение несовместных уравнений (1) позволяет поставить и решить ряд задач, связанных с предваритель­ ной оценкой адекватности математической модели ( 1) на основе произведенных наблюдений [67, 74]. Решение этого вопроса весьма важно на практике, особенно при оценке адекватности новых мате­ матических моделей.

Важным с точки зрения приложений моментом решения задачи (2), а также задачи ( 1) является случай задания входной информа­ ции в виде значений функционалов или, в более общем случае, в виде значений некоторой системы операторов (например, ’’следов” некоторой функции на многообразиях различных размерностей). В этом случае требуется развитие нового аппарата, приспособлен­ ного к специфике задачи. Таким аппаратом оказался метод сплай­ нов [98]. Автором с единых позиций изложена функциональная трактовка метода сплайнов, существенно отличающаяся от извест­ ных работ [99, 101] в том отношении, что наряду с вопросами су­ ществования и единственности сплайнов рассмотрены и вопросы

13

их сходимости. Построен эффективный аппарат сглаживания на основе различных методов построения сплайнов и показана опти­ мальность в широком смысле предложенных алгоритмов. Дано

применение	метода сплайнов к	решению корректных уравнений,
а также для	решения основной	задачи (без предположения о ее

корректности). Установлена роль метода сплайнов как одного из эффективных алгоритмов решения задачи (2), что позволяет глуб­ же понять значение этого метода в такой классической области математики, как теория приближений. Рассмотрены способы чис­ ленного дифференцирования дискретной информации, в частности с применением алгоритмов БПФ (быстрого преобразования Фурье) [99], а также метода сплайнов [112] и ряда других ме­ тодов.

В книге рассмотрены также алгоритмы решения нелинейных уравнений (1). В частности, приводится обоснование разработан­ ного ранее автором алгоритма выбора параметра регуляризации на основе метода стабилизирующего функционала (линейный слу­ чай был рассмотрен в работе автора [50]).

Автором разработан новый подход к оцениванию точности реше­ ния основной задачи. Он основан на введении оценочной функции, вычисление которой осуществляется более просто по сравнению с общепринятыми. Этот подход позволил сформулировать не только достаточные условия сходимости регулярных методов, но и необ­ ходимые. Кстати, само понятие регулярного приближенного метода отличается конструктивностью, что позволяет доказать эквивалент­ ность понятий регулярности и сходимости метода. Это открывает дополнительные возможности для построения других регулярных методов. Таким является, в частности, рассмотренный автором де­ терминированный байесовский метод, весьма близкий по форму­ лировке к статистическому байесовскому методу [17].

В целом изложение основано на исследованиях, выполненных автором. Не приводятся результаты, связанные с регулярными методами, основанными на идее метода итераций [4, 50], так как в настоящей книге этот вопрос решается достаточно эффективно на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова, в том числе и для специальных случаев (1), когда оператор А симметричен и не­ отрицательно определен (пространство U - гильбертово). В книге не затрагивается также вопрос о регулярных методах минимиза­ ции функционалов. Автор исходит здесь из того, что изложенные идеи достаточны для формирования соответствующих алгоритмов. Для читателей, интересующихся указанным вопросом, рекоменду­ ем работы А.Н. Тихонова, а также [74, 75]. В книге не рассматри­ ваются вопросы регуляризации некоторых специальных классов задач, таких, как интегральные уравнения с ядром типа 6-функции,

14

для численного решения которых в [12] предложен достаточно эффективный метод саморегуляризации, решение эволюционных задач на основе метода квазиобращения [40, 41 ] и т.п.

Взаключение отметим, что почти все результаты, приведенные

вкниге, ради простоты сформулированы для гильбертовых прост­ ранств, однако они без труда могут быть перенесены и на более общие пространства, например рефлексивные и удовлетворяющие условиям Ефимова - Стечкина.

Более полный обзор методов решения некорректны* задач при­

веден в [73].
Автор выражает глубокую	признательность А.Н. Тихонову,
Г.И. Марчуку, М.М. Лаврентьеву,	В.К. Иванову, контакты с кото­

рыми оказали решающее влияние на формирование его научных интересов. Автор признателен В.Я. Арсенину, В.В. Воеводину, В.И. Лебедеву, А.Д. Горбунову за многочисленные дискуссии и плодотворные замечания, нашедшие отражение в книге. Многие факты и положения работы обсуждались на семинаре ’’Современ­ ные проблемы численного анализа” НИВЦ МГУ, участникам кото­ рого автор также весьма признателен.

ГЛАВА 1

ОСНОВЫ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

§ 1. Основная задача
1.	Пусть Я, F, G			-	гильбертовы	пространства	и A: H-+F,
L: H-+G -		линейные операторы с областями определения Я^ и DL
соответственно. Предполагаем, что априорно задано множество
(непустое) Я Q DA n / ) L е D A L .
Будем	говорить,		что операторы А и L совокупно замкнуты
на Я, если из одновременного выполнения соотношений
д „ £ Я,		un -+u	в	Я,	Aun -+f в	F,
Lun -*g		в 6\	п-+°°,
следует, что		иЕЯ,	A u = f		Lu=g.
Л е м м а		1. Если операторы А и L замкнуты на Я ,					то они и

совокупно замкнуты.

Доказательство следует из определения замкнутости операторов. З а м е ч а н и е . Условия леммы выполнены, если один из опера­

торов замкнут, а второй ограничен (непрерьюен) на Я.

Будем говорить, что операторы А и L взаимно дополнительны на Я, если для любых м ,и 6 Я имеет место соотношение

I и - и I2 S II А (и - и) I I + II L(u -		и) ||у >	7 2|| и - и ||^, 7 = const.
	2. Пусть для любых / €		(2)
Л е м м а		F, g € G система уравнений
Аи0 =/;	1м0 =g		(3)
имеет решение и0 € D и операторы А и L взаимно дополнительны
на Я. Тогда они и совокупно замкнуты на Я.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (2)		следует	единственность реше­
ния м0 системы (3). Пусть теперь {м„} -			произвольная последо­

вательность, удовлетворяющая условию ( 1). Согласно (2) имеем

у г II и„ - и0 II/, < II А(и„ -	и0) II/,- + II L(un - И0)||<; -*0, п -*•«>,
т.е. ип -+и0. Следовательно,	и0 =и. Лемма доказана.

Отметим, что определения совокупно замкнутых и взаимно дополнительных операторов распространяются очевидным образом и на случай, когда число операторов более двух.

16

П р и м е р 1. Пусть 12 — некоторая достаточно регулярная двумерная область, Я = Я2(12) ,Я - множество функций, имеющих

в 12 производные до второго порядка,	суммируемые		с квадра­
том [88]. Положим Ли = м | г , Ям = Aw	\fuG D ,	где Г	- грани­
ца 12, А = Э2/Эх2 + Э2/Эу2 - оператор	Лапласа.	Считаем F -
= Ы П ,
Очевидно, уравнения

Дм = & м|г = /

определяют задачу Дирихле для уравнения Пуассона и разрешимы (однозначно) при / G F, g GG. Кроме того, известна оценка

IIАи lll2(fi) + II wlr Иь2(Г) ^ 72Нw1112(п)>	“У= const-
Следовательно, операторы А и Я со свойствами >1м = w | г , Lu =

= Aw совокупно замкнуты на Я.	или L = £’, где Я —тождественный
П р и м е р 2. Пусть Л

оператор в соответствующем пространстве. Тогда условие взаим­ ной дополнительности (2) заведомо выполнено, а система (3) необязательно разрешима при / G F, g G G. Таким образом, выполнения условий совокупной замкнутости и взаимной допол­ нительности операторов в общем случае следует требовать не­

зависимо.
2.	Переходим к формулировке основной задачи. Положим
AU=i nf \\A u - f\ \ F9						(4)
		uEiD		из F такой, что множество		Uf =
где	/	— некоторый элемент
= { и Е Я:			\\Ли - f || = рА } непусто. Всякий элемент u G U f будем
называть псевдорешением [56]				уравнения Аи = /,	и Е Я, а величи-
ну Мл		- мерой несовместности этого уравнения. Очевидно, р 4 =
Рассмотрим вариационную задачу: найти элемент i/G						для
которого
^	=	inf	|| Ям - g \\G = II Lu -	g ||G,		(5)
		ue иf
где g G G - заданный элемент. Очевидно,					Я /).
Задачу отыскания элементов				и G Uf9 удовлетворяющих		(5),

будем называть основной задачей, а соответствующие элементы w -

решениями основной задачи (Я-псевдорешениями уравнения

Аи = / , м Е Я ) . Очевидно, что понятие Я-псевдорешения является обобщением понятия нормального решения [93], а также нормаль­ ного псевдорешения [9]. В общем случае Я-псевдорешение будет изучаться как функция параметров /, A, g, Я и Я. Оно также существенно зависит от выбора пространств Н, F H G.

2. В.А. Морозов

17

Т е о р е м а		1. Пусть выполнены следующие о^йовные пред­
положения :		'
а)	D выпукло;
б)	операторы А	и L совокупно замкнуты и взаимно дополни­

тельны.

Тогда, если Uf Ф ф, то решение основной задачи (5) существует

иопределено однозначно.

До к а з а т е л ь с т в о . Заметим, что для любых w, v Е D «спра­ ведливы соотношения

/ W —и \ II 2			1	\ A w - f \ \ F2 +
\	2	) \ \ F	~ 2
I		,	II	/ w + i>\		||2		(6)
г м . - / & - | л ( —					) - ф
		с	2
+ ~ \ \ L v - f \ \ l			ц					(7)
		G lUl
проверяемые непосредственно.
Пусть	{w„}E Uf -			минимизирующая последовательность та­
кая, что
				1		и = 1, 2, . . .		(8)
v) < || Lun - g \\ n2 < v 2r +
Полагая в соотношениях (6),					(7)	w = uni v = м„+р, где р —любое
натуральное число, получаем
			„ 2		II	/ un + WM+P \		| 2
/	U n -	U n + p	>	о
4 2			U		IK 2		H F
			, IIF	= <X A ~
^ ^ u n		WM + p ^	и 2
					1	a	1
			H e	< v l +	-		_ ^ 0	n
		от р.		L	w		n
независимо			Используя		условие		дополнительности (3), по­
лучаем
\ип -	Un +p Пя­ ►О,			и-+°°,

также независимо от р.

Таким образом, последовательности {и„}, {Аип},{Ьип ) фунда­ ментальны в Н, F H G соответственно. Пусть

lim ип и0, lim Aun =f0, lim Lun =g0.

18

Так как операторы А и L совокупно замкнуты, то м0 Е Я, Аи0 = = /о , Lu0 = g 0. При этом в силу выбора последовательности {ип } имеем

цА = || A UQ - / H f ,

т.е. uQЕ [/у.

Переходя к пределу в (8), получаем

vL =|| Luo - g \ \ G.

Отсюда видно, что элемент и0 является решением основной задачи (5).

Докажем его единственность. Пусть и х, и\ — решения основной задачи. Из (6) в силу выпуклости D следует

Нетрудно видеть, что множество Uf выпукло. Аналогично из (7) получаем

К - г " ) И

Полагая	м = и х -	м2 в	(3) и используя полученные соотношения,
имеем Mi = м2. Единственность решения основной задачи доказана.
Теорема доказана.
3.	Условие	дополнительности (3) не требует, чтобы каждая из
квадратичных форм \\Au\\2Fy \\Lu\\2G была положительно определе­
на. Если	ул , yf -	неотрицательные константы и
II Аи ||F > у л || м \\Нч			|| Lu ||G > y L\\ и \\н , м Е Я ,

то (2) выполнено, например, при У2 =Ул + у1 > 0. Отметим, что возможен случай, когда обе формы || Аи ||^ и || Lu \\G лишь неотри­ цательны, и тем не менее суммарная форма положительно опреде­ лена. Так, пусть Я = F = G = R 2 и и = (мь м2) тЕ R 2, где Т - знак транспонирования. Положим Аи = (м,, 0) г , Lu = (0, и2) т. Тогда

||Л м ||2 = м2, ||/.м ||2 - и \ и обе квадратичные формы лишь неотри­ цательны. Однако суммарная форма

II Ли IIJ. + II Lu ||£ =и] +uj

очевидно, положительно определена.

Нетрудно видеть, что в примере 1 оба оператора также опреде­ ляют лишь неотрицательные квадратичные формы.

Пр и м е р 3. Пусть область значений QA оператора Л совпадает

сF и выполнены основные условия. Тогда uA = fiA ( f ) = 0,

2*

19

V / 6 F и система (2) принимает вид

Lu = g, и Е Uf.

(9)

Условие и £ Uf можно интерпретировать как выполнение дополни­ тельных (граничных или начальных) условий на искомую функ­ цию и. Если vL = v^ig) = 0 \/g Е G, т.е. образ множества Uf при отображении L совпадает со всем пространством G, то уравне­ ние (9) однозначно разрешимо (в обычном смысле) Vg Е G, а элемент и является решением уравнений Аи - / , L u - g, м Е Я в обычном смысле. Требование взаимной дополнительности (2) обеспечивает в данном случае устойчивость решения основной задачи. Именно, если и{ = w(/b gi), иг =u(f2,g2),™

II м2 - м, ||2	< 4 - ( Ц/2	III- + II g2 - gi II с )•
	7
Условие QA	= F можно ослабить, заменив его на условие QA =

= QA нормальной разрешимости [56] оператора А; черта означает операцию замыкания. В приведенной оценке тогда следует заме­ нить f i , / 2 на их ортогональные проекции на множество QA.

Если QA = QAi vL(g) =£0, то уравнение (9) псевдоразрешимо на Uf, а исходное уравнение A u - f , и Е D является L -псевдоразре-

шимым	V /E F (теорема 1).
4.	Если [iA = 0, Uf^-ф, то задачу A u - f , и Е D будем называть

совместной. В общем случае совместность этой задачи мы не пред­ полагаем. Однако мы далее везде предполагаем выполненными основные условия а) и б ), сформулированные в теореме 1.

Пусть Н = G и оператор L равен Е —тождественному оператору в Я. Тогда условие дополнительности (2), как отмечалось выше, выполняется заведомо при любом А. Условие совокупной замкну­ тости выполнено, если оператор А замкнут. В этом случае основная задача сводится к задаче решения операторного уравнения

A u - f y u€LD.	(10)
Если H - F и А - Е, то условие дополнительности	(2) выполне­

но при любом операторе L. Условие совокупной замкнутости, оче­ видно, имеет место, если оператор L замкнут. В этом случае основ­ ная задача сводится к вычислению элемента g - Lu, w Е Я, и называется задачей вычисления.

Нетрудно видеть, что рассматриваемая нами основная задача является обобщением обеих этих задач. Ее можно интерпретиро­ вать как задачу вычисления некоторого (возможно, неограничен­ ного) оператора на решениях исходного операторного уравнения. Корректность основной задачи в общем случае не предполагается.

20