книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Любая величина, характеризующая нестационарный процесс, может быть выражена или в координатах Эйлера или в координат тах Лагранжа. Для точного перехода от одних координат к дру­ гим необходимо иметь решение уравнений. Для исследования колебательных процессов часто используются приближенные пере­ ходы. Для одномерного случая, если задана некоторая функция L (x0, 0* а смещение равно £,

где Е (х, t) — значение этой же функции в координатах Эйлера. Уравнение для обратного преобразования имеет вид

Е (х, t) = £ ( * - £ , t) = L(xо, / ) - £ - Ц - + 4~ £2 щ -------

•

Приведенная выше система одномерных стационарных урав­ нений движения жидкости или газа является нелинейной и ее решение в общем случае получить не удается. Однако существуют приближенные методы решения; некоторые из этих методов и будут рассмотрены в дальнейшем.

2. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ И30ЭНТР0ПИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ В КАНАЛЕ ПОСТОЯННОГО

СЕЧЕНИЯ

Для анализа малых колебаний в канале постоянного сечения уравнение движения (85) и неразрывности (86) удобно представить в виде

Э(ри)	д(ри*) .	др	ф __ п .
dt	“Г дх '	дх	~	и’ I
Параметры потока	жидкости	или	газа	будем представлять

в виде суммы осредненных по времени составляющих и пульса-

ционных составляющих соответствующих			величин:
и =	и 0 +	Ды;
(Р«) =	(ры)0 +	А(ры);
Р -	Ро +	Ар;	(106)

Р= Ро + Ар;

ф= ф0-J- Дф.

41

Подставляя выражение (106) в систему уравнений (105), получим для малых колебаний уравнения в следующем виде:

— д г ~ + i (2и« д <р“) - ul д р) + -дх - Лф = °;

(107)

При выводе уравнения движения при малых колебаниях предполагается, что величинами второго порядка малости можно пренебречь, поэтому

Д (ры2) = [(ры)0 + Д (ры)] (ы0 + Ды„) — Ро«о

ы0Д (ры) + Аы (ры)0 = 2ы„Д (ры) — ы§Др,

поскольку Ды = А (рц) — и„Ар

Ро

При изоэнтропических колебаниях предполагается, что в окрест­ ности каждого сечения канала колебания являются адиабатными. В этом случае согласно уравнению состояния для колебаний малой амплитуды возмущения давления Др линейно зависит от возмущения плотности Др:

(108)

При течении газа или жидкости с трением и теплообменом условие изоэнтропийности процесса колебаний нарушается. Однако при сравнительно высоких частотах вблизи поверхности канала образуется колеблющийся пограничный слой; если толщина колеблющегося пограничного слоя 6К много меньше, чем экви­ валентный радиус канала гэ (6К <С гэ), то в основном ядре потока колебания практическия вляются изоэнтропическими. В этом случае можно предположить, что условие (108) выполняется для каждого сечения канала, однако скорость звука в условиях тепло­ обмена является величиной переменной по длине канала и зави­ сит от характера изменения средней температуры или плотности. Таким образом, при наличии теплообмена в канале модель изоэнтро­ пических колебаний может быть использована для расчета коле­ баний потока жидкости или газа при сравнительно высоких частотах; влияние теплообмена в этом случае определяется харак­ тером изменения скорости звука по длине канала. При такой постановке задачи достаточно рассмотреть уравнение движения и непрерывности (107) и уравнение процесса малых колебаний (108).

Полагая, что возмущение силы трения иа стейке канала A<t>w = = —тА (ри) (т — коэффициент потерь), согласно уравнению (88) запишем величину возмущения объемной силы трения

АФ = АФи + А Ф ,~ - т А (p„) +				^ [ v ^ ^ M ] .		(109)
Используя соотношения		(108) и (109),			уравнения движения
и неразрывности преобразуем к виду
	[2ы„Д(ри) —			ЫоАр]	+
+ тА (ри) —			[У эф ф -^г! ] = 0 ;			(i 10)
1	дАр	.	ЗА (рм)	_ ~
a?	dt	'	дх.

Исключив из уравнений (110) поочередно Ар и Д (ри) посред­ ством дифференцирования по х и t, получим волновые уравнения относительно А (ри) и Ар:

д2А (ри)

	+ ж	( 2“*	^	)	+	”	^ - -
		д2	Л .	9А (ри) \			Q.
		dtdx	\ Э4’Ф		дх	)	’
	д_ ^ J _ d A p '\ ___ 3_						а п )
	dt \	а§ dt	)	дх	[ ( >		- 4 )
		дАр / 2и0 дАр \			,	т	дАр __
	Х	йх \	а§	dt )	'	Hl'di
		___( ^эфф дАр\ _				^
		дх2 \		а§	dt	) -	и ’
Решение системы уравнений (111) будем искать в виде суммы
ряда	по отдельным	гармоникам:
			П
	А (ри) = Y iF k (*) exp (mkt)\
			—ft				(112)
			ft
	А р= S Ф*(х)ехр(ОД),
		—П
где	(х) и Фк (х) — соответственно комплексные амплитуды ко­

лебаний А (ри) и Ар для k-u гармоники.

43

Подставляя выражения (112) в уравнения (111) и (ПО), полу­ чим относительно неизвестных комплексных амплитуд F (х) и Ф (х):

-^[a b ~ u l-\- mvэфф] ~	— 2ши0~	F (со2— icom — 2tc o ^ ) = 0;
	ф = Ч1&L'		(113)
			(114)
	о)	ах	'
Здесь и в дальнейшем под F, Ф и й понимают соответственно
амплитуды и частоту &-й гармоники.
Уравнение (113) посредством введения переменных
C - J	■ F = Z a r [ j l m , d l j		(115)

преобразуется к обычному волновому уравнению второго по­

рядка
		-щр- +		ю®ао<7(£) z (£) — 0,						(116)
где
• » - [ ' +	!Т	(	т	+	т £	)	]	- '	[ < > - м «>х
'	«	( т	+	т	Й	-	Т	)	'	(||7 )

Считая, что в общем случае коэффициент потерь является ком­

плексной величиной т = т\ + ш 2, и обозначив ^Rea= ^ |f —^ , можно записать выражение (117) в виде

И ' + т Ш		+ ^ + о - 1^ ] -
- 1 [ <	. - « ) ( ^	+ Х	^ ) - ^ ( 1 + 5	) ] .	(118)
Безразмерный	комплекс	Rea =	является	акустическим

числом Рейнольдса, который аналогичен числу Рейнольдса для стационарного потока, где в качестве характерной скорости при­ нята скорость звука (а0), а в качестве характерного размера длина

волны акустических колебаний Л =	2я — , т. е. Rea = J - ——
J	СО	Л?эфф

Эта величина характеризует потери в волне в результате дефор­ мации скорости вдоль оси канала, а величина — потери на

трение в результате деформации скорости в поперечном сечении канала.

44

Длябольших значений частот (со)'можно воспользоваться асим­ птотическим методом, который для практических расчетов дает достаточно хорошую точность. Для этой цели воспользуемся ме­ тодом ВКБ * [35].

Метод В КБ применяется к уравнению вида

ф' + h2q (г, h) <р = О,

где h — большой параметр; q (z, К) — переменная функция г и h. Идея метода ВКБ состоит в том, чтобй сравнить данное урав­ нение с некоторым стандартным уравнением, решение которого

известно.

Выберем в качестве уравнения сравнения уравнение

			§ - / < £ ) *	= о,
где /	= 1, если q (z, h) не имеет нулей в рассматриваемой области,
и / =	£, если q (г, к) обращается в нуль в некоторой точке.
Сделаем замену переменной z = z (£); тогда
	d<p	_	ф' d4ф	ф*	ф'г*
	Ч	х ~	~гг ;	(г7)4 ~	(г')*‘

Исходное уравнение относительно переменной £ примет вид

ф" — р- ф' -f h2q (г')2Ф = 0.

Полагая, что <р = УТ'х, получим

+ h2q ( z 'fx =

^ £ ) x-

Приравняем левую часть этого уравнения к левой части урав­ нения сравнения. Если q (х, К) Ф 0 в рассматриваемой области, то

Положим / = 1 = —h?q (г')а, откуда £ = ± t/ij V~qdx.

. Если отбросить правую часть последнего уравнения, то полу­ чим уравнение х"_= х, решение которого х = ехр (£); следова­ тельно,

Ф = У ? х = Ci>2<7_1/4exp ( ± ih | V~qdx).

Условие существования этого решения определяется величиной правой части последнего уравнения:

	| h2q (z)21»	3	(2*)4	1	2"	5	fo')8	1	?
		4	(г')8	. 2	г'	16ft4	<?4	4ft4	</4

откуда следует, что h должно быть достаточно большим.

* Метод ВКБ назван в честь его создателей — Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна, Джеффриса.

46

Очевидно, что полученное решение перестает быть верным, если функция q (г, К) имеет нули, поскольку решение будет иметь особенность, так как содержит множитель q-V*. Нули функ­ ции q (z, h) называются точками поворота, и приведенное выше приближенное решение может быть пригодным лишь в некоторых

областях,		вне точек поворота.						—h2q (z')2;
С	другой		стороны,		можно	положить	£ = / =
: t	-	(	±	x	в этом	случае	уравнение	сравнения

представляет уравнение Эйри х" = £х, которое имеет два стан­ дартных решения At (£) и В{ (£). Следовательно, в этом случае решение исходного уравнения имеет вид

(X	\ 1/6
Ф = V"z'x = C 1i8^ - 1/4| jV q d x )		At [ (	^ |	V q d z y 3j ,
где At — два стандартных	решения	уравнения		Эйри (At и Bt),
называемые функциями Эйри.			q (z, К) (в точках по­
Это решение пригодно в нулях функции

ворота). Более подробно метод ВКБ изложен в работе [35]. Таким образом, в методе ВКБ по существу используется метод

теории подобия, т. е. посредством подобного преобразования ис­ ходное уравнение приводится к стандартному, решение которого является приближенным асимптотическим решением исходного уравнения.

Применяя метод ВКБ к уравнению (116), получим асимптоти­

ческое его решение для больших частот:
г =	С	1	) 2	( а &	7 ) -	1a0V~qd^\/ 4 е х [р l	f +	±	0 м > J
Возвращаясь			к	исходным		переменным,	согласно		уравне­
нию (115) решение уравнения						(113) запишем в виде
						С M0± K i		dx
F (х) =		Сиг (cfiq) - 1/4exp jtto J 1-м»+^						a0	(120)
Комплексную амплитуду колебания давления определим из
уравнения	неразрывности				(114):
				Ф (х) = a0F (х) ф (х),					(121)
где ф(*) =	/ £	*	1^ М . --------мо ±У.ч
			дх

Знаки минус и плюс соответствуют прямой и обратной волнам.

46

Отделив действительную и мнимую части в выражении (118), определим qW. Для этой цели представим функцию в тригономе­ трической форме:

q = | ^ | (cos <р— i sin ф) = | <71exp (— t<p),

(122)

где модуль | <7| и аргумент <р функции q соответственно равны:

| , | = ( [ | + ( 1 _ М » 5 . + ^ ( ^ + -1 . ^ ) ] 5+
+ [ а - ^ ( т + т 1 ? ) - 1 ^ 0 + £ ) ] ? ' -				<Ш >
ф a r c g |	. + < . - « # » - + £ ( а ч 4 5 ? )		]	(124)
Извлекая корень из комплексного числа, получим
(<7)1/2 = ± М 1/2 ^cos ~Y — i sin		.

Используя полученные соотношения и отделив действительную и мнимую части в выражении (120), получим

F (х) = Ci,a | c&q|“ 1/4exp	dx	. (125)

Мнимая часть в выражении (125) характеризует локальную фазовую скорость Wltt (х) (скорость распространения волны), а действительная часть Р (х) — локальный коэффициент ослабле­ ния волны, которые соответственно равны:

l	Л		1		1		1| а0(д с )				(126)
*Ъ%						R)2
									(	l - M	g
	\							e J J
	l	° 5'-		c o4-s	i )
P ,2i —	i		-	M							(127)
	-M g)^			Qi	1H	<N		a0(x)		\
					1

Значение комплексной амплитуды колебания давления опре­ деляется согласно уравнению неразрывности (121), где значение

47

функции ф (х) можно выразить через локальную фазовую скорость

и коэффициент ослабления	(*)) волны:
	1 w^aintgjfoi\ i				(128)
	4 ш	дх )	J '
Отделив действительную и мнимую части функции				ф (х) в вы­
ражении (128), получим
ф(х) = <*|>ll2Fi,2=	С1>2 v~a\ty\\q|- ^ 4 X
X exp					(129)

В некоторых случаях для расчета комплексную функцию удоб­ но представить в алгебраическом виде. Для этой цели введем обозначения:

q — А — iB,

где величины Л и В соответственно характеризуют действитель­ ную и'мнимую части функции q (х) и равны

в = . | ? 1^ » = о - а д ) ( й . + ± ^ ) - ^ ( 1 + а ) ;

<р= a rc tg -^ .

Извлекая квадратный корень из комплексной функции q (х), Получим

( < 7 ( х ) ) ° - 5 = С — й ) ,

(130)

где С и D характеризуют действительную и мнимую части функ­ ции (q (х))1/2:

С =	| ? |М cos-!- =	[ ± ( j/ Ж + В Ч - л ) ] ° ’5;
D	| q р s l n - f =	[4 " (]/Л 4+ В4- A) J*1' ;	(131)

	ф/2 =	VАг+В* —А ]°л5
		V# +B* + B J

Из приведенных выражений следует, что величины С и D свя­ заны следующим соотношением:

с ^ л + я 4.

(132>

48

Используя полученные соотношения, фазовую скорость и коэффициент ослабления р1>2 можно представить в следующем виде:

w" ± ( c + W i - и В ) .

(,Т " » ( , +ЙГСЬ*Ь'

6 _________ R e q ( l - M § ) ~

( l- M °2)(l + ReJ(l-M a)2) ao

Рассмотрим несколько частных случаев. Пренебрегая силами трения как на стенке канала, так и в волне при умеренных гра­ диентах скорости звука и средней скорости потока, получим, что р12 ^ 0, а фазовая скорость Wlti <==* ± а 0 (1 ± УИ0). В этом случае решение исходной системы уравнений представляет собой сумму двух плоских волн, распространяющихся в противоположные на­ правления со скоростями Wltt «=> ± a 0 (1 ± М0);

F М = с “ п “ Р [ т ы 1 5 o w ] :

ф <*> = ± C ^ V b - ^ a p [ 5=

При малых числах М0 1 и постоянной скорости звука а0 можно получить решения для акустических волн в изэнтропическом потоке газа:

F(x) = Citiex.Р ( + ^ х )>

Ф(х) = ± a0Ci<%exp ( =F ^ х )-

При малых значениях коэффициента ослабления волны (Р,,а —»

—>0) ~ — >0 и Rea —» 00. В этом случае для умеренных градиен­

тов средней скорости потока и звука

1 и

^ < 1)

модуль функции | <7| —* 1, а его аргумент <р -♦ 0. Следовательно,

4 б . М. Галицейский

49

для малых коэффициентов ослабления имеем | q\ =					1; cos ср ^ 1;
sin ф	ф; tg ф	ф ,	поэтому
		^ 1,2— ± (1 ± М0) а0;
			м 0 ± i	_<р_
		о	_ .R e a ( l- M § ) ± 2 .		(133)
		P w - (l-M^)aoW		’

т

где при — О и Rea -» оо аргумент

(134)

Подставив уравнение (134) в соотношение (133), получим

rl.J “	— { ( "h-. л.	1 диЛ	I (М0± 1)а	1 1	(135)
	2а0 1\ со ""**	со дх ) '	(\ — М§)2	Rea / *

При малых значениях коэффициента потерь на стенке канала

по сравнению с потерями в волне ) и малых градиентах

средней скорости потока, потери в основном обусловлены только продольной деформацией скорости в волне и определяются членом

			-	1	(М0± 1)2 !
		Pi,а —		2a0	(1 - М § ) 2 Rea '
При			потери	в	основном обусловлены попереч­
ной деформацией скорости потока и зависят от трения на									стенке
канала:			= _L /В. .
							со дх )
	Pw'i.a			2a0	\ (о	‘
В рассматриваемом случае решение исходной системы уравне
ния можно представить в виде двух затухающих волн:
f<*>= С . ^ е х р							dx
							а0(1 ± М0)
					X		ехр	dx
Ф (х)= ± С1Л V а 0 ■ *м~ ехр					\ h d x
								а0 (1 ±	М0)
0	1	±	Мд		О
где									(136)
						,	(Мд ± I)2
				<ЧЛ				1 1	(137)
* - *	[	(	? +		д х ) ~ Г (1 _ М § )2			Rea J *

50