книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

221

зрения стохастические модели отличаются лишь тем, что такие предсказания и рекомендации даются в условиях своеобразной неопределенности, заложенной в самой постановке задачи. Поэтому в реальной ситуации утверждение «данное событие произойдет с такой-то вероятностью» вряд ли приемлемо в качестве окончатель­ ного ответа. Желательны утверждения более категоричные, на­ пример «при 10 000 независимых случайных бросаниях данной монеты число выпаданий герба будет заключено между 4850 и 5150» (это следует из «правила За»). Отвлечемся пока от того, как мы убедились в том, что данная монета достаточно симметричная (так что за вероятность выпадения герба можно взять значение 0,5), а бросания — независимые. Даже приняв это, мы должны вспом­ нить о том, что приведенное утверждение, полученное по «правилу За», гарантируется с вероятностью 0,997, т. е. при этом мы игно­ рируем возможность наступления события, вероятность которого равна 0,003. Но почему выбран именно такой критерий? Обычно никакого сколько-нибудь серьезного обоснования этому, казалось бы, весьма важному шагу не делают; по существу это рациональный скачок того же типа, который описан во Введении к этой книге, хотя и снабженный точной оценкой степени достоверности. Но эта точная оценка в данном случае вряд ли что-нибудь дает,- кроме смутного ощущения правильности прогноза. Серьезный выбор кри­ терия практической невозможности должен учитывать последствия неправильного прогноза, и желательно чаще обсуждать сообра­ жения по поводу выбора значений такого критерия, различных для различных классов задач; эти соображения относятся к так называемой теории риска (или теории полезности) (см. [340]).

Отметим, что оценка вероятности выпадания герба могла быть сделана на основании статистических испытаний; обработка ре­ зультатов испытаний также включает в себя игнорирование воз­ можности маловероятных событий с произвольно, как и выше, установленным критерием маловероятности.

В силу всего сказанного, представляется неверной та высказы­ ваемая иногда точка зрения, что стохастические модели реальных ситуаций всегда являются более совершенными и предпочтитель­ ными, чем детерминированные. Иногда в качестве довода в пользу вероятностных моделей выдвигают их большую общность — де­ терминированная модель определенного рода получается из веро­ ятностной как частный случай. Однако этот довод сам по себе не убедителен, ибо никто ведь не применяет, например, релятивист­ скую механику к изучению движений со скоростями, значительно меньшими скорости света, хотя эта механика является более общей, чем классическая.

Не менее ошибочна противоположная точка зрения специа­ листов, испытывающих разочарование от скромных результатов использования вероятностных методов в своей области и считаю­ щих, что при возможности построения как детерминированной, так

222 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

и стохастической моделей реальную пользу может дать только детерминированная. В действительности при изучении одних во­ просов детерминированная модель может оказаться более подхо­ дящей, чем стохастическая, а при изучении других — наоборот.

Укажем в заключение на направление, активно развиваемое в последние годы и как бы объединяющее детерминированный и сто­ хастический подходы: речь идет о так называемых странных ат­ тракторах и сходных понятиях [61, 243, 272, 292]. Уже ранее было известно, что если способы эволюции автономной консерватив­ ной системы при различных начальных данных изображать в виде траекторий в соответствующем фазовом пространстве, то может оказаться, что каждая из этих траекторий сама по себе неустой­ чива, но все они оказываются так равномерно перемешанными друг с другом, что к изучению отдельной траектории можно при­ менять статистические методы (осреднение по времени заменять осреднением по всему пространству). Теперь выяснилось, что для широких классов неконсервативных систем с более чем одной сте­ пенью свободы, а также для ряда эволюционных систем других ти­ пов справедливы аналогичные утверждения. Постепенно выяв­ ляются общие закономерности последовательного усложнения систем, зависящих от параметров, приводящего в конце концов к стохастическому (в указанном выше смысле удобства и естест­ венности описания) поведению траекторий; реально этому услож­ нению может отвечать, например, переход от ламинарного тече­ ния к турбулентному при постепенном увеличении скорости потока. Интересно, что многие результаты в этой области обоснованы пока только с помощью вычислительных экспериментов на ЭВМ.

Понимание того, что, вопреки ранее существовавшим пред­ ставлениям, стохастическое поведение может осуществляться в системах невысокой размерности фазового пространства (начиная

сравной 3), явилось одним из важных сдвигов в сознании физиков

имехаников за последние годы. С другой стороны, также в послед­ нее время выяснилось, что в системах очень высокой размерности —

вчастности, состоящих из большого числа взаимодействующих однотипных элементов,— при определенных условиях возникает ярко выраженная тенденция к синхронизации и другим видам высокоупорядоченного поведения (см., например, 138, 41]).

Замечательно, что начало упомянутому сдвигу было положе­ но не столько наблюдениями за поведением реальных объектов, сколько работами в области теории дифференциальных уравнений. Прикладники, можно сказать, проглядели отмеченные выше важнейщие обстоятельства, роль которых в дальнейшем развитии науки трудно переоценить. Впрочем, прикладники обнаружили способ­ ность быстро перестраиваться, и если еще совсем недавно в стоха­

стическом поведении системы, обнаруживаемом в физическом или численном эксперименте, они усматривали его недоброкаче­ ственность, то теперь часто дело обстоит совсем наоборот.

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

223

Эти, а также некоторые другие, достижения последних лет наводят на мысль, что возможности объяснения новых явлений, основанные на сложных свойствах известных классических моде­ лей, еще далеко не исчерпаны (сравните «бритву Оккама», п. 7.1).

9. Устойчивость. Мы уже упоминали в п. 2.8, что понятия и методы прикладной математики должны обладать свойством устой­ чивости, свойством сохранения качественного содержания этих по­ нятий и методов и относительной малости изменения их количест­ венных характеристик при произвольных (но принадлежащих определенному разумному классу) достаточно малых возмущениях ♦параметров рассматриваемой ситуации. Конечно, не следует это свойство понятия смешивать с более специальными свойствами, такими, как устойчивость по Ляпунову, устойчивость конструкции и т. п.: например, неустойчивость по Ляпунову к а к п о н я т и е является устойчивым.

Остановимся на более специальном аспекте понятия устой­ чивости. В последние годы под влиянием потребностей техники, технологии, вычислительных методов и т. д. было введено много понятий (новые варианты определения устойчивости, «чувствитель­ ность», «надежность», «стабильность» и т. п.), определяющих по существу общее свойство изучаемых характеристик объектов — не слишком сильно изменяться при изменении некоторых параметров, влияющих на эти характеристики.

Так, для технических проблем типична следующая ситуация. Пусть некоторая совокупность номинальных значений параметров обеспечивает правильное функционирование исследуемого объекта. Пусть, далее, значения параметров по каким-либо причинам отк­ лоняются от номинальных; будет ли при этом объект также функ­ ционировать правильно? Эту общую постановку задачи можно фор­ мализовать в терминах, близких к использованным в п. 4.2. Имен­ но, обозначим через v набор входных параметров объекта а, а через г — набор его выходных исследуемых характеристик; тогда г определяется по v соотношением вида г=Ф(о), причем v может принимать значения из некоторого класса V\ а г — из класса R. Обозначим наборы номинальных значений параметров и характе­ ристик через v0 и г0 соответственно, так что г0= Ф (у0). Пусть задана область Gv значений у, которые могут получиться из-за отклонений параметров от их номинальных значений, и область Gr значений г, в которой объект а работает заведомо правильно. Тогда объект

функционирует устойчиво, если		из v £ G v обязательно следует
d>(u)gGr;	в более компактных	обозначениях — если Ф (С„)гСг.
Отметим, что описанная ситуация охватывает и нестационар­
ные задачи,	так как можно считать, что г или (и) v представляют

собой функции времени t. Эта формулировка близка определению

так называемой	технической устойчивости, которое было	дано
Н. Д. Моисеевым	и впоследствии развивалось многими	авто­
рами.

224	ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Эффективное изучение соответствующей математической мо­ дели в период, предшествовавший появлению ЭВМ, было затрудни­ тельным даже в не слишком сложных случаях. Это привело к рас­ пространению инфинитезимальных вариантов определения устой­ чивости, среди которых наиболее известно определение устойчи­ вости по Ляпунову. Впрочем, эти определения для математических моделей имеют и самостоятельную ценность, о чем уже говорилось

вп. 2.14.

Вприведенных выше общих терминах все упомянутые опреде­ ления устойчивости с математической точки зрения укладываются

вединую схему: отображение r(v) должно быть в точке v0 непре­ рывным в соответственно выбранном смысле: другими словами, требуется, чтобы для входных параметров, допустимых в данном рассмотрении и близких к номинальным, изучаемые характеристики также были близки к их номиналу. При этом выбор класса V до­ пустимых («возмущенных») значений параметров и, класса R воз­ можных выходных характеристик, а также выбор понятия близо­ сти в этих классах находятся в распоряжении исследователя, они осуществляются в соответствии с намеченным аспектом исследова­ ния. Разнообразием этих возможностей и объясняется наличие мно­ гих вариантов понятия устойчивости даже при изучении одного и того же объекта.

Конечно, фактическое исследование производится на модели, т. е. рассматривается зависимость r'=F(v') (см. п. 4.2). При этом адекватность модели должна обеспечить, в частности, соответствие факта устойчивости/неустойчивости номинального состояния мо­ дели в выбранном смысле устойчивости/неустойчивости реального объекта а в некотором интересующем нас рациональном смысле. (В связи с этим отметим примечательно сформулированную тему дискуссии, проведенной на IV Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1976 г.: «Критерии устойчивости и их отношение к действительности».)

Взглянем с общих позиций на рассмотренное выше понятие устойчивости относительно заданных отклонений в применении к зависимости rr—F(vf). Для значений величин г' существенно толь­

ко, попадают ли они	в Gr-	(тогда все в порядке) или нет (тогда
плохо). Поэтому естественно в R ' ввести близость, считая
,	j	0 (если г' £ 0 Г'),
Р V * го) — ^		ПрОТИВНОМ СЛуЧае).

Если аналогично ввести близость в V \ то легко проверить, что непрерывность отображения г'(и') и означает, что F (Gr-)eG r-.

Подчеркнем, что понятие близости было специально выбрано так, чтобы получилось понятие устойчивости, из которого мы ис­ ходили. Этот выбор находится в нашей власти, так к^к понятие близости не является чем-то незыблемым. При разных выборах близости получаются различные, неравносильные понятия устой-

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

225

чивости, и система, устойчивая в одном смысле, может оказаться неустойчивой в другом.

Приведем еще пример. Допустим, что математическая модель некоторой реальной системы а имеет вид системы дифференциальных уравнений

^ ■ = / < х , /)	(t0*Z t< 0 0 );	х ={х\ . . . .	*»), /= ( /* . . . . .	/»),	(58)
номинальной	(невозмущенной)	эволюции а	отвечает решение	x (t ,	ссо) си*
стемы(58), удовлетворяющее начальному условию х \(=zt ~ a Q— (a*, , ,					a"), a

устойчивости а, по нашему представлению, отвечает устойчивость этого решения по Ляпунову. Тогда входной величиной в модели служит вектор (а1, . . а"), а откликом —■решение x(t; а) (/0^ 1 < о о ) системы (58) при

начальном условии х I В качестве области V' допустимых значений

входных величин надо взять какую-либо окрестность вектора а0» понятия близости в V' основывать на обычном евклидовом расстоянии, а близости в классе /?' откликов — на чебышевском уклонении

х 2 (•))=■ sup	| Xi (t) X2 (0 |-
t0< t < 0D

(Напомним, что Xi (*) означает функцию, a x%(/) — ее значение при значении t

аргумента.) При таком выборе общее определение устойчивости как непре­ рывности отображения многообразия входных величин на многообразие откликов в номинальной точке превращается в определение устойчивости по Ляпунову. Если мы хотим рассмотреть вопрос об устойчивости при постоян­ но действующих возмущениях, то входной величиной служит сама правая

часть системы (58), т. е. с математической точки								зрения	изучаемая зависи­
мость /(* , •)-► *(•)			представляет собой оператор; при этом близость в
пространстве		входных		функций	порождается			чебышевским		уклонением
sup 1 /,(х . / ) — /„ (* ,			О	I.
X, t
Рассмотрим еще с общих позиций понятие асимптотической устойчи­
вости	номинального		решения x(t;		«о)	системы (58). Здесь помимо обычной
устойчивости требуется дополнительно, чтобы для достаточно малых I а —а0 I
было	I x(t;	а)—x(t\		а<>) I ------* 0.		Это	требование		можно	формально
включить в		рамки	общего определения				устойчивости,		если положить, что

J	о	< |* i(/)-* a (0l —	0),
Pi (*1< ). * * (•))	1	(в противоположном	случае);
I

тогда асимптотическая устойчивость получается, если считать, что близость среди откликов порождается метрикой p(Xt(-), x a(-))+ p i(* i(-). х 2(-)).

Подобным образом можно получить и иные сходные понятия, в том числе и для стохастических моделей. Такой подход харак­ терен, в частности, для теории надежности.

Конечно, сказанное определяет лишь самую общую схему рассуждений. В конкретных задачах, помимо формирования подходя­ щего варианта понятия устойчивости, основную трудность пред­ ставляет исследование переходного оператора r'= F (v'), который чаще всего не задается в явном виде, а получается в результате решения уравнений, порой весьма сложных. И хотя обычно нужен ответ в самой простой форме: «да» или «нет», получить его, минуя полное решение этих уравнений, может быть совсем не просто.

8 И, И. Блехман и др.

226 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Чтобы обойтись без такого решения, создан и непрерывно расширя­ ется целый арсенал качественных, асимптотических и т. п. методрв, дающих достаточные условия устойчивости или неустойчивости для различных классов нужных (и ненужных) задач; эти методы широко известны в применении к теории устойчивости Ляпунова.

ЭВМ открыли новый, прямой путь решения задач об устойчи­ вости, применимый к более простым в вычислительном отношении случаям. Например, при выяснении устойчивости по Ляпунову но­ минального решения системы (58) мох .но с помощью численного интегрирования проследить за несколькими, наугад выбранными решениями этой системы, для которых начальное значение x(t„) близко к номинальному (а,). Такое наблюдение дает возможность сделать рациональный вывод об устойчивости или неустойчивости, обладающий высокой степенью достоверности. Аналогичным путем можно проверять устойчивость относительно заданных конечных отклонений, с обсуждения которой мы начали изложение этого пункта. Впрочем, при проведении подобных экспериментов с по­ мощью новых вычислительных процедур надо помнить о возможной неустойчивости вычислительной схемы — неустойчивости, которая является чисто вычислительным эффектом, но может создать впе­ чатление неустойчивости изучаемого реального явления, которой на самом деле нет (см. п. 7.2).

Скажем в заключение о встречающемся порой утверждении, что практически реализуются и представляют интерес лишь устойчивые движения, причем имеется в виду какой-то определенный вид ус­ тойчивости. С изложенной выше точки зрения это, конечно, не так: движение может быть неустойчивым в каком-то одном смысле, но устойчивым в другом. Например, оно может быть неустойчивым по Ляпунову, но возмущение может столь медленно нарастать, что за практически интересующий нас интервал времени это возму­ щение остается незначительным. Так, в классическом балете при­ меняется неустойчивое по Ляпунову положение балерины, при котором она стоит на оттянутом носке. Другой пример: в лесовод­ стве известно, что смешанные леса неустойчивы, хвойная компо­ нента в конце концов должна одержать победу над лиственной; однако переходный процесс столь велик, что сейчас эта неустой­ чивость практически не наблюдается, так как подавляется другими факторами. Аналогичная ситуация характерна и для «вялого флат­ тера» и др.

Здесь, конечно, дело не в неадекватности моделей, а в иерархии характерных времен, о которой говорилось в п. 4.8 и которая может сделать необходимым не ограничиваться формальными критериями типа расположения корней характеристического уравнения, а изучать также и характер переходного процесса. Отметим, кстати, что в теории управления известен и эффект, противоположный описанному: система может быть по указанному критерию устой­ чивой, но в процессе установления возникает столь большой

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

227

«всплеск», что она может выйти из области, где проведенная линеа­ ризация приемлема, или может даже совсем разрушиться.

Свойства устойчивости и неустойчивости причудливо сочета­ ются в так называемых странных аттракторах—притягивающих (а потому устойчивых) областях фазового пространства, сплошь заполненных неустойчивыми траекториями (см. конец п. 5.8).

По поводу общего понятия устойчивости см. также [347].

10. Введение малого параметра. Метод малого параметра — ме­ тод возмущений в его многочисленных вариантах — является в при­ кладной математике одним из наиболее распространенных; различ­ ным вариантам этого метода посвящена обширная литература. Пра­ вильный выбор формы для невозмущенного и возмущенного реше­ ний позволяет во многих случаях даже с помощью первого прибли­ жения получить решение с удовлетворительной точностью при срав­ нительно небольшой затрате труда.

Задачи, при решении которых применяется метод малого па­ раметра, бывают двух типов.

В задачах первого типа малый параметр входит в саму их по­ становку; эти задачи характерны для чистой математики, а также в ряде случаев для физики, где типично повышенное внимание к различного рода асимптотическим выражениям и в связи с этим — к оценке порядка участвующих величин. (Этим в значительной мере определяются особенности математического аппарата, при­ меняемого в физике: зачастую бывает, что этот аппарат существен­ но сложней, чем, например, в инженерных дисциплинах, но на «выходе» от него требуется лишь получение асимптотического вы­ ражения или даже выяснение порядка величины. Математический аппарат инженерных дисциплин, как правило, проще, но он более нацелен на конечные, не приводящие к асимптотикам результаты, и окончательные зависимости чаще всего требуются с точностью порядка процента. Разные цели накладывают отпечаток не только на применяемый аппарат, но и на характер логики при этом при­ менении. Отклонения от дедуктивного способа изложения в виде ссылок на физический смысл и аналогии, пожалуй, в физике совер­ шаются более решительно; в то же время в физических рассужде­ ниях встречаются значительные и далекие от наглядности включе­ ния дедуктивного характера, связанные с теорией аналитических функций, теорией групп, теорией операторов и т. д.)

Интересно сравнивает стиль работы инженера и физика Д, Пойа {263, с ®285]: «Пытаясь решить одну и ту же задачу, они работают по-разному, поскольку главными для них являются разные стороны дела. Инженер ищет ясное, короткое, эффективное решение («наименее расточительное», «самое рациональное» решение). Физик же стремится найти общий принцип, на котором зиждется решение... Именно поэтому, преследуя одну и ту же цель, они отдают предпочтение различным средствам... Допустим, что к задаче, которую пытаются решить инженер и физик, существуют два подхода. С од­ ной стороны, рассматриваемая задача обнаруживает некоторое сходство с ранее решенной задачей А. С другой стороны, эта задача, по-видимому, поддается процедуре, продиктованной общим методом Б. Между этими двумя

228 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

подходами надо сделать выбор. Я склонен думать, что при указанных обстоя­ тельствах (считая про^е условия равными) инженер предпочтет исходить из конкретной задачи А, а физик — из общих соображений Б».

Было бы полезно провести это сравнение более детально, а также рас­ смотреть и другие области приложения математики, выявляя как специфику, так и общие черты этих приложений. (См. в связи с этим [12, 520].)

Впостановке задач второго типа малого параметра нет, и, чтобы

кним применить метод возмущений, надо такой параметр в задачу ввести; уже само это действие носит рациональный характер. Ос­ тановимся на таких задачах подробней.

Существенной проблемой, возникающей для указанных задач и характерной для прикладной математики, является проблема ну­ левого приближения. Она состоит в выборе некоторого объекта или семейства таких объектов, вблизи одного из которых должно ока­ заться искомое решение. Этот выбор может опираться на ожидаемый характер решения и часто делается уже при построении матема­ тической модели: как уже не раз подчеркивалось, чтобы успешно разыскать нечто, всегда желательно хотя бы приблизительно знать, что именно разыскивается. Указанное семейство можно построить различными неэквивалентными способами, существенно влияющими на простоту и точность дальнейшей процедуры; при этом велика роль аналогий и интуиции.

Если исходная задача приведена к решению некоторого урав­ нения, то для построения объектов нулевого приближения широко применяется следующий прием. Пусть уравнение переписано в об­

щем операторном виде:
F (x )^ F (x ) + F1(x) = 0,	(59)

причем известно, что в области U х, где, как ожидается, расположено искомое решение, значения | F, (я) |, взятые в некоторой системе

единиц, малы всюду, а значения | F (я) | малы только в непосредст­ венной близости от искомого решения. (Последнее условие выпол­ няется, в частности, в невырожденном случае; в конечномерной

задаче, когда

(хь . . ., хп), F = (F ly . . .

, Fn), это означает, что

| F | не может быть мало одновременно с | det (dFiidxj)|.) Тогда нуле­ вое приближение можно получить из уравнения

F(*) = 0,

(60)

если, конечно, оно решается существенно проще, чем (59). Выражение Рг(х) может представлять собой сумму нескольких

слагаемых, каждое из которых не обязано быть малым в Uх\ таким образом, из исходного уравнения можно выбрасывать не только малые члены, но и малые агрегаты. При рассмотрении разных клас­ сов решений одного и того же уравнения малыми могут оказаться различные его члены или совокупности членов, что приводит к различным уравнениям нулевого приближения (60).

§5. ВЫБОР МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

229

Заметим, что во многих задачах можно с большой степенью уверенности априори указать примерный вид искомого решения, че­ го обычно оказывается достаточно для проведения дальнейшей про­ цедуры (см., например, [36а, гл. IV]).

Допустим теперь, что уравнение нулевого приближения (60) имеет общее решение

* = <PK, • • •, «*)

(k > 0 ),

(61)

где а х, . . ., а к — параметры; при &=0 параметров нет, и мы полу­ чаем вполне определенное решение — какое-нибудь из решений уравнения (60), если их несколько *). Следующий шаг состоит в искусственном введении малого параметра так, чтобы (60) оказа­ лось невозмущенным, а (59) возмущенным уравнениями. В конкрет­ ных примерах это можно сделать различными способами, что также влияет на построение решения. Формально простейшим способом введения малого параметра является переход к уравнению

FVL(X) ^ F ( X) + IIF1(*) = 0,	(62)
из которого (60) получается при р= 0, а (59) — при р=1	**).
Основная идея метода малого параметра состоит в	том, что

решение уравнения (62) или аналогичного ему уравнения, «соеди­ няющего» (60) с (59), строится не только при |х— 1, но при всех достаточно малых р. Поэтому следующим шагом является указа­ ние формы

* = Ф(ц; а*, ак) (63)

(включающей, кроме выписанных параметров, еще и неопределен­ ные коэффициенты), в которой будет строиться это решение. Ес­ тественно, при этом требуется, чтобы

<р(0; а „ . . . , а А) = «р(ах, ...,а * ) ;

(64)

кроме того, обычно требуется, чтобы правая часть (63) была ана­ литической функцией |х в окрестности точки р = 0 ***).

*)^В уравнении (59) под х можно понимать не только скаляр, но и век­ тор или функцию и т. д.; если, например, х есть функция от t, то и в правой

части (61) выражение ф есть функция от t , дополнительно зависящая от к па­ раметров. В частности, (59) может быть дифференциальным уравнением, а также включать начальные или краевые условия. Можно потребовать, чтобы оператор F рассматривался только на периодических функциях, и тогда речь будет идти только о разыскании периодических решений и т. д.

**) Конечно, малость параметра относительна, и то обстоятельство, что значение р —1 считается малым, не должно вызывать недоумения. Если Ft мало, то можно обозначить /71=аФ , где Ф конечно, а а «на самом деле»

мало, после чего переписать уравнение (62) в виде FAr \Ф = 0 , гдег^ р а изме­ няется от 0 до а. Можно сказать, что р служит формальным сигналом мало­ сти того слагаемого, в состав которого он входит сомножителем; сигналом малости второго порядка служит р2 и т. д.

***) В ряде важных случаев правая часть (63) строится как аналитиче­ ская функция от р 1/<7, где q ~ 2, 3, ... Возможны и более сложные случаи

230	ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
При	этом могут быть сформулированы два варианта требова­

ний. В более простых задачах требуется, чтобы (63) служило точ­ ным решением уравнения (62) при достаточно малых р. Но бывает и так, что от выражения (62) требуется только, чтобы оно удовле­ творяло уравнению (62) с определенной точностью, оцениваемой по порядку р, т. е. допускается, чтобы при подстановке (63) в (62) оставалась невязка некоторого заданного порядка р'77. Из условия (64) вытекает, что пС^ 1, и поэтому наименьшим значением служит т =2, как это чаще всего и бывает в прикладных задачах; в этом случае (63) называется первым приближением точного решения. Такая ограниченная постановка задачи с неполным удовлетворе­ нием уравнения (62) может быть вызвана либо сложностью этого уравнения, не дающей возможности построить полное решение, либо же тем, что точного аналитического решения и на самом деле нет, а имеется только асимптотическое разложение (см.35) по сте­ пеням р, формально удовлетворяющее уравнению (62); бывает также, что слишком точное решение и не разыскивается. Оба ука­ занных варианта непосредственно связаны; из точного решения путем отбрасывания достаточно высоких степеней р можно получить приближенное, а из приближенных решений можно, повышая т , в ряде случаев получить в пределе точное решение.

Форма решения (63) выбирается в связи с его предполагаемыми свойствами и сказывается на правильности количественного и ка­ чественного представления решения; это особенно существенно, если строится приближенное решение, например первое прибли­ жение. Хорошо известно, что далеко не всегда решение целесооб­ разно строить в виде простой суммы ряда по степеням р. Так, если в невозмущенном решении содержится член A sin tot, перешедший после возмущения задачи в A sin((o-fqjt)£, то при построении ре­ шения в виде ряда по степеням р соответствующий член первого приближения

A sin (dt+Acpt cos tot

дает неправильное качественное представление о поведении воз­ мущенного решения при t-* - оо. Чтобы правильно выбрать форму решения, требуется не только учесть его предполагаемое поведе­ ние, но в нестандартных случаях проявить и аналитическое ис­ кусство. Так, в упомянутом только что случае построения возму­ щенного периодического решения применяются методы Пуанкаре и Ляпунова. Для построения переходных процессов может приме­ няться метод Ван дер Поля, также основанный на использовании ожидаемой структуры решения. Этим методам как средствам полу­

сингулярного вырождения. для которых уравнение (60) качественно отличается от (62) и аналитичность зависимости решения от параметра теряется; при­ меры такого вырождения приведены на с. 138. (По поводу идеологии задач с малым параметром см. изложение доклада А. Н. Тихонова в }65Ь а так­ же (368}.)