книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики
..pdf§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
121 |
повторный независимый счет. Впрочем, если речь идет об известных точных решениях, задаваемых формулами, то надо еще продумать, не будут ли эти решения слишком специальными, а потому анализ общего метода на них недостаточно поучительным. Например, да леко не всякий метод, предлагаемый для линейных дифференциаль ных уравнений, достаточно проверить на частном случае уравнений с постоянными коэффициентами.
Наряду с повторным вычислением и сравнением с точными ре шениями возможно выборочное сравнение построенного решения с результатами физического эксперимента.
Если речь идет о построении приближенного решения в виде формулы для задачи, включающей параметры, то важную роль приобретает контроль решения в экстремальных ситуациях, когда параметры принимают крайние допустимые для них или другие чем-либо характерные значения. Решения в таких ситуациях, а также соответствующие асимптотические выражения часто удается получить из независимых соображений, так что сравнение с такими решениями и выражениями дает возможность проконтролировать рассматриваемую приближенную формулу и уточнить ее в случае необходимости. Более того, в сравнительно простых задачах уже один только анализ экстремальных ситуаций дает возможность по лучить удовлетворительную приближенную формулу, включающую небольшое число свободных постоянных, которые затем определя ются из эксперимента или вычислений (см., например, ИЗО, § II.4]).
Вариантом метода аналогий является также повышение правдо подобия лишь одного характерного результата или нескольких таких результатов в рассматриваемой задаче; при этом мы допус каем, что одновременно повысится правдоподобие и других резуль татов, скоординированных с этими характерными. Пусть, напри мер, некоторый метод дает возможность численно определить часто ту и форму собственных колебаний. Если контроль показал, что частота при этом определена с хорошей точностью, то естественно ожидать, что и форма колебаний получилась с удовлетворительной точностью *).
В заключение остановимся на вопросе о выборе рабочей гипоте зы (п. 3.26). Бывает, что в начале исследования представляются приемлемыми несколько рабочих гипотез, каждая из которых имеет некоторую априорную степень достоверности, причем эти гипотезы могут не полностью противоречить друг другу, а как бы перекры ваться. При дальнейшем исследовании правдоподобие гипотез мо жет меняться; в частности, если какая-либо из этих гипотез при знается невозможной, то она отбрасывается, что обычно увеличива
*) Следует все же заметить, что форма колебаний получается обычно с худшей точностью, чем частота,— примерно так же, как точка экстремума функции определяется обычно менее точно, чем соответствующее экстремаль ное значение.
122 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
ет правдоподобие оставшихся гипотез и может даже превратить не которые из них в практически достоверные утверждения.
Таким образом, важным средством повышения степени досто верности какого-либо утверждения служит приведение к противо речию утверждений, соперничающих с рассматриваемым (одного или нескольких), в особенности утверждений, полностью несовмес тимых с рассматриваемым. При этом существенно, что если утверж дение, невозможность которого мы хотим показать, содержит не вполне точно определенные понятия или по своему смыслу выпол няется лишь приближенно, то и доказательство его невозможности должно быть убедительным на выбранном уровне точности и при ближения. Не любое рассуждение удовлетворяет этому требова нию: например, нельзя, исходя из утверждения я —3,14, перенести правую часть налево и, разделив после этого обе части равенства на я —3,14=0,00159..., заявить, что исходное утверждение приве дено к противоречию, поскольку полученное равенство 1=0 невоз можно. Здесь уровень приведения к противоречию явно не соответ ствует уровню исходного утверждения и правилам приближенных вычислений, но в других примерах это может быть не так оче видно *).
Указанные рациональные рассуждения в сочетании с неформаль ным истолкованием смысла изучаемых объектов могут сделать утверждение практически достоверным, а рассуждение в целом — интуитивно убедительным (п. 2.10).
6. О практической достоверности. Желательным итогом повы шения правдоподобия того или иного утверждения является дости жение практической достоверности. Этот процесс рассмотрен, в част ности, в книге [322], где он проиллюстрирован на ярких примерах экспериментального установления физического закона и выработки внутреннего убеждения судьи. Важную роль играет этот процесс и в прикладной математике. Как было сказано в п. 3.5, с помощью независимого контроля, показывающего совпадение по многим пунктам, можно сделать решение практически достоверным. В свя зи с этим следует еще раз остановиться на относительности поня тия достоверности (см. пп. 3.1 и 2.5). В п.2.5 мы говорили о том, что всякое утверждение, даже такое, как 2 x 2 = 4 , формально до пускает некоторую возможность его ошибочности. Поэтому такие выражения, как «достоверно», «практически достоверно», «абсолют но достоверно» и т. п., только и могут означать, что правдоподоб ность противоположного события в том или ином смысле пренебре жимо мала. Насколько именно — это зависит от области, к которой
*) Пример мнимого противоречия приведен в [87, § 7.4). Из утвержде ний «Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя человеком» и «Если я называю тебя человеком, то я говорю правду» н е в ы т е к а е т утверждение «Если я называю тебя буйным человеком, то я говорю правду»! Здесь дело в нечеткости понятия «я говорю правду», которое меняет свой смысл в процессе рассуждения.
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
123 |
относится утверждение, от соответствующих традиций, |
которые, |
в конечном счете, связаны' с опасностью возможных последствий того, что утверждение окажется неверным, и т. п.* *). Мы вернемся
кэтому вопросу в п. 5.8.
Вп. 3.1 мы предложили считать практически достоверным ут верждение со степенью достоверности р = 1—10~8. Это примерно степень достоверности того, что здоровый человек, решив выйти из своей комнаты в коридор, сможет это сделать, т. е. что он по дороге не умрет от внезапного сердечного приступа или падения метеорита, что дверь не заклинится от землетрясения и т. п. Думается, что не только в быту, но и в науке мы начинаем называть утверждения до стоверными даже при меньшей степени достоверности **). А в силу сказанного в пп. 2.4—2.5 утверждения со степенью достоверности
р> \ —Ю~200 следует называть абсолютно достоверными: таким об разом, абсолютно достоверно, что 2 x 2 = 4 , что обезьяны никогда не могут напечатать сочинения Шекспира и т. д.
Э. Борель в [54, гл. IX] подробно останавливается на понятии достоверности, говоря, в частности, что «наша практическая досто верность равноценна теоретической достоверности математиков. Мы столь же уверены в существовании Лондона, как и в свойствах конических сечений». Но ведь доводы в пользу существования Лон дона имеют не дедуктивный, а рациональный характер; таким обра зом, на основе рациональных рассуждений можно достичь абсолют* ной достоверности.
*) Это обстоятельство в утрированной форме выражает следующая шут |
|
ка [338, с. 102— 103]. «Физик верит,— сказал математик,— что 60 делится |
|
на все числа. Он замечает, что 60 делится на 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет не |
|
сколько других чисел, например, 10, |
15, 20 и 30, взятых, как он говорит, |
наугад. Так как 60 делится и на них, |
то он считает экспериментальные дан |
ные достаточными.
— Да, но взгляни на инженера,— возразил физик,— Инженер подозре вает, что все нечетные числа — простые. Во всяком случае, 1 можно рассмат ривать как простое число,— доказывает он.— Затем идут, 3, 5 и 7 — все, не
сомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай — оно, |
по-видимому, |
не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. |
Возвратимся |
к9,— говорит он.— Я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента..
—Но,— говорит инженер,— посмотрите на врача. Он разрешил безна дежному больному уремией съесть борщ — и тот выздоровел. Врач пишет научную работу о том, что борщ помогает при уремии. Но затем снова дает подобному больному борщ — и тот умирает. Тогда в гранках врач исправ ляет: «Борщ помогает в 50 процентах случаев».
—хДа, но хорош математик,— говорит врач.— На вопрос: «Как пой мать льва в пустыне?» — он отвечает: «Что значит поймать льва? Это озна
чает — отгородить льва от себя |
решеткой. Я сажусь за решетку — и лев, |
по определению, пойман!» |
но в ней намек! |
Как сказано — сказка ложь, |
**) Так, для некоторых классов прикладных задач в однократном экспе рименте рекомендуют игнорировать события, вероятность которых меньше 10-4 . Эта константа была введена Бюффоном; она представляла собой веро ятность того, что взятый наугад англичанин в возрасте 56 лет умрет в течение предстоящих суток. (Не было ли столько лет тогда самому Бюффону?)
124 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Поэтому нет ничего невозможного в том, что с помощью рацио нальных рассуждений и в прикладной математике можно в ряде случаев достичь достоверности — по нашей терминологии практи ческой или даже абсолютной.
7. Рациональные рассуждения с позиций оптимальности. Раз личные рациональные рассуждения совершенно неравноценны как по трудности их проведения, так и по тому вкладу, который они. способны внести в успех решения задачи. Так, выбирая вычисли тельный процесс, мы должны считаться с имеющимися в нашем рас поряжении вычислительными средствами и их эффективностью, а в некоторых случаях — и с их экономичностью, в частности опреде лить целесообразный уровень повышения точности вычислений. Если речь идет о повышении степени достоверности некоторого рационального утверждения, то весьма существенно следить за тем, насколько то или иное рассуждение способствует этому повышению, в частности, можно ли достичь практической достоверности и как это сделать, затратив наименьшие усилия.
Часто сравнительно трудоемкими оказываются чисто дедуктив ные включения; в то же время (п. 3.3) такие включения обычно не делают утверждение, в обоснование которого они входят, пол ностью достоверным, а лишь в большей или меньшей степени по вышают степень его достоверности. Поэтому если такого же или даже большего повышения степени достоверности можно достичь с помощью менее трудоемкого рационального рассуждения, то при менение дедуктивного включения окажется в противоречии с тре бованием оптимальности (или эффективности; см. п. 1.7). «Раньше чем разрывать навозную кучу, надо оценить, сколько на это уйдет
времени и какова |
вероятность того, что там есть жемчужина» |
(А. Б. Мигдал, [213, |
с. 64]). |
К сожалению, до сих пор широко применяются схемы рассужде |
ний, требующие большого труда при их реализации, но мало по вышающие степень достоверности результата. Ярким примером мо жет служить доказательство сходимости бесконечного процесса в условиях решаемой задачи, используемое как довод в пользу правдоподобия результата, основанного на применении весьма не большого (часто одного — двух) числа шагов этого процесса; о та ких рассуждениях упоминалось во Введении. Построение доказа тельства сходимости часто оказывается делом весьма тонким и тру доемким. В то же время известно, что первые члены разумно вы бранного расходящегося процесса могут дать приближение ничуть не худшее, чем в случае процесса сходящегося. Так бывает, напри мер, с разложениями в асимптотически сходящиеся ряды 36, точ ность которых, оцененная с помощью дедуктивных или рациональ ных рассуждений, часто оказывается весьма высокой. Итак, в по добных случаях «авторитет» первых членов, в сущности, не много выигрывает от того факта, что доказана сходимость процесса.
Гораздо больше повышает степень достоверности решения, осно
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
125 |
ванного на применении небольшого числа шагов бесконечного про цесса, включение этого решения в схему с малым параметром (п. 5.9) в сочетании с анализом практической сходимости; к тому же такой образ действий бывает гораздо менее трудоемок. Важной за дачей прикладной математики будущего является сравнительный анализ трудоемкости и прикладной ценности различных типов ра циональных рассуждений для разных классов задач; это облегчит выбор направления таких рассуждений.
Можно только пожалеть, что если в подобных случаях доказа тельства сходимости нет, то иные критики требуют его проведения, считая доказательство сходимости как бы индульгенцией, избав ляющей от ответственности за греховность последующих операций. Такие критики иногда добросовестно заблуждаются, подсознатель но ожидая «торжества справедливости» и полагая, что существен ные усилия, потраченные при проведении дедуктивных доказа тельств и требующие порой привлечения весьма глубоких знаний, должны быть вознаграждены столь же существенными следствиями. Однако монументальное здание с колоннами, предназначенное для размещения в нем табачного киоска, мало выигрывает от того, что при сооружении были преодолены огромные трудности архитек турного решения и производства работ; они возникли из-за неразум ного выбора конструкции!
Манера применения дорогостоящих средств, мало способствую щих продвижению в решении поставленной задачи, став традицией, не только способствует расточительству интеллектуальных сил, но и наносит психологический вред: придавая решению видимость строгости и логической завершенности, она мешает правильному пониманию подлинной ценности полученных результатов *).
*) Дж. Шварц по аналогичному поводу пишет [522]: «Интеллектуальная привлекательность математического доказательства так же, как и значитель ная умственная работа, затраченная на его проведение, делает математику мощным орудием интеллектуальной мистификации, блестящей ложью, где
одни |
обманываются, |
а другие, увы, |
обманывают». Думается, что вместо |
|
«обманывают» |
более |
правильно сказать «невольно вводят в заблуждение». |
||
В |
более |
мягкой |
форме выразили |
эту мысль М. Кац и С. Улам [144. |
с. 218]: «Хотя (и это весьма примечательно) так часто какое-либо детище математики, задуманное и выраженное в ее недрах, оказывается неожиданно полезным для описания явлений внешнего мира (хорошими примерами слу жат комплексные числа и матрицы), тем не менее ни элегантность, ни особая сложность того или иного математического понятия, построения или метода сами по себе не дают никакой гарантии их практической полезности и при годности».
Пример конкретной критики применения сложной математической струк туры: [530]. А. Н. Крылов (цит. по [349]): «Сколько бы ни было точно матема тическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных посылок, на коих оно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудь грубое приближенное предположение или допущение, часто даже не огово рив таковое, а затем придают полученной формуле гораздо большее доверие, нежели она заслуживает, и это потому, что ее вывод сложный».
И. Грекова [101, с. 113] в связи с искусственным порой внедрением авто матизированных систем управления: «Применение математических методов
126 |
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ |
Аналогичную роль играют теоремы о существовании и единст» венности решения, которые, будучи относительно (а иногда и весь ма) трудоемкими, обычно не дают серьезного усиления степени до стоверности конструируемого решения или утверждения о том или ином важном в прикладном отношении свойстве этого решения *). По-видимому, возможная прикладная ценность общих теорем о разрешимости состоит в выяснении правильности математической постановки задачи, а также иногда в возможности извлечь из дока зательств конструктивные следствия. Однако первое обычно легче устанавливается на основании аналогий и анализа примеров, а вто рое далеко не всегда получается хорошо.
Итак, мы вновь приходим к выводу, что в прикладной математи ке оптимальным является сочетание дедуктивных и собственно ра циональных рассуждений различных типов, приводящее наилучшим образом к цели предпринятого исследования и дающее реальную помощь в получении убедительного вывода, относящегося к вопро су, который лежит за пределами математики.
не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, тем, что создает почву для очковтирательства»©
О«математическом гипнозе» в прикг дных исследованиях пишет также
Л.Дойл [117], впрочем, приводя слова Р. Файртхорна: «Если люди глупо используют методику, то, может быть, не методика виновата?»
Приведем также слова И. П. Павлова (по воспоминанию Л. А. Орбели, «Известия» от 26 сентября 1967 г.): «Если я рассуждаю логично, это значит только то, что я не сумасшедший, но вовсе не доказывает, что я прав».
*) См. по этому поводу отзыв Л. Д. Ландау (п. 8.1).
Г л а в а 2
ЭТАПЫ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
§ 4. Математическое формулирование задачи
«Как бы тривиально и очевидно это ни звучало, повторим еще раз: важно пони мать, что вы хотите узнать».
Р. Хемминг [332, с. 3921
1.Предварительные замечания. Тема настоящей главы широка,
ипотому наше изложение — мы отчетливо это понимаем — будет далеко от полноты, что, впрочем, свойственно всей нашей книге. Мы выскажем несколько соображений, местами фрагментарных, по поводу этой темы, стараясь избежать дублирования распростра ненных источников. Сказанное относится, в частности, и к настоя щему параграфу, который ни в коем случае не претендует на полное изложение основ математического моделирования.
Обычно в прикладном математическом исследовании можно ус ловно выделить следующие основные этапы:
1) математическое формулирование задачи (другими словами, по строение математической модели, математическое моделирование), опирающееся на неформальное обсуждение ее постановки *);
2)выбор метода исследования сформулированной математиче ской задачи;
3)проведение математического исследования (чаще всего в это исследование входят также приближенные вычисления);
4)анализ и реальная интерпретация полученного математиче ского. результата.
Эти этапы тесно связаны между собой, и поэтому их расчленение является до некоторой степени искусственным. Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. С другой стороны, в процессе про ведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить ма тематическую модель.
*) Ро Веллман [32): «Только в том случае, если мы очень ясно предста вим себе различные аспекты возникающих задач, можно надеяться, что мы выберем разумные математические модели и применим осмысленные матема тические методы. Как мы в дальнейшем будем неоднократно подчеркивать, понятия играют столь же важную роль, что и уравнения, а создание и ин терпретация математических моделей даже важнее тех частных уравнений, к которым они приводятся».
128 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
В этой книге мы не будем специально обсуждать подробности, относящиеся к третьему, наиболее «математическому» этапу, по скольку ему посвящены сотни книг. Это именно тот этап, на котором математическая квалификация проявляется в наибольшей степени.
2. О понятии модели в прикладном исследовании. Содержание понятий «модель», «моделирование» в различных сферах знания и человеческой деятельности чрезвычайно разнообразно. Однако здесь есть и нечто существенно общее: модель в том или ином смыс ле, более или менее полно имитирует оригинал — моделируемый объект. Таким образом, мы будем говорить, что объект а' является моделью объекта а (здесь термин «объект» понимается в наиболее
широком смысле: объектами могут служить и любые ситуации, яв ления, процессы и т. д.) относительно некоторой системы S харак теристик (свойств), если а' строится (или выбирается) для имита ции а по этим характеристикам. Модель может быть построена как для изучения указанных характеристик (исследовательские модели, которыми мы будем впредь заниматься), так и для их непо средственного использования (рабочие модели: автопилот, протез, кукла, деньги и т. д.). Моделирование, т. е. построение моделей,
лежит в основе любой науки. Мы будем здесь рассматривать лишь модели, нацеленные на решение поставленной задачи средствами ма тематики, и не будем касаться общих вопросов моделирования. (Впрочем, и в общем аспекте нам хотелось бы подчеркнуть сугубо рациональный характер понятия модели в подавляющем большин стве реальных случаев и существенно размытый характер связи между моделями и моделируемыми объектами. Рациональным яв ляется и приведенное определение, так как оно опирается на не формальный смысл понятия имитации.)
Из общих свойств моделей отметим, что поскольку модель стро ится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его. Это относится как к исследовательским, так и к рабочим моделям (авто пилот проще пилота, протез проще заменяемого органа, кукла про ще ребенка, деньги проще товара и т. д.).
Исследовательские модели можно грубо и условно подразделять на две группы: экспериментальные (предметные) и теоретические (умозрительные). Хотя нас будут интересовать, в основном, модели
второй группы, так как именно они служат переходным звеном к ма тематическим'моделям, скажем несколько слов и о моделях первой группы, поскольку в ряде случаев их привлечение может суще ствен© упростить решение задачи в целом.
Экспериментальные модели представляют собой реально осу ществляемые устройства двух основных типов. Модели первого типа имеют ту же природу, что моделируемый объект, но воспроизводят его упрощенно и, обычно, в измененном масштабе. Эти модели соз даются на основе теории подобия и также именуются «физическими» (в дальнейшем мы не будем пользоваться таким словоупотреблени-
§4. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ |
129 |
ем). Естественно, что при этом подобие осуществляется по тем пара метрам, которые существенны для изучаемых характеристик: на пример, для экспериментального исследования сопротивления дви жению судна нужна модель, внешние формы которой подобны внеш ним формам оригинала, а для исследования прочности того же суд на — модель, имитирующая его силовой каркас.
Экспериментальные модели другого типа — аналоговые моде ли — основаны на нередко встречающихся совпадениях математи ческого описания различных явлений. Так, например, колебатель ные явления в механических и электрических системах описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями; это позволяет взамен относительно сложного эксперимента на механической мо дели поставить более простой эксперимент на соответствующей электрической модели, которая в данном случае и выступает в роли аналога. Наибольшей универсальностью в качестве аналоговых моделей обладают аналоговые вычислительные машины непрерыв ного действия.
Применяются также комбинированные устройства, объединяю щие в одной установке модели одного или другого типа, а также ЭВМ; такая модель называется гибридной.
Умозрительная модель формулируется на языке той или иной науки. В зависимости от характера этого языка можно говорить о
математической модели, физической модели, экономической модели
и т. д. Будем для определенности говорить о решении задач физики или механики, однако сказанное будет относиться и к другим облас тям применения моделей.
Умозрительные физические модели имитируют реальный объект с помощью абстрактных представлений на физическом языке, при чем нередко с широким использованием языка и средств математи ки. Они дают более или менее упрощенное описание этого объекта и получаются в результате мысленного отвлечения от многих свойств и связей оригинала и выделения тех его сторон и признаков, кото рые представляют важность для исследователя.
Имея в виду умозрительные физические модели, Л. И. Седов отметил [288, с. 64—65], что в физике и механике теоретическое моделирование касается двух главных аспектов: а) построения мо делей полей и вещества; б) моделирования постановок задач в рам ках этих моделей.
Например, в механике при теоретическом моделировании широко используются такие понятия, как материальная точка, абсолютно твердое тело, упругая или пластическая среда, вязкая жидкость и т. п. Эти абстракции приобрели значение фундаментальных моде лей механики.
При моделировании постановок задач пользуются представле ниями об абсолютно гладких или шероховатых поверхностях, о неограниченности рассматриваемых объектов (например, в аэродина мике крыла, как правило, принимается, что поток воздуха, обте-5
5 И. И. Блехман и дф.
130 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ
кающего крыло, занимает все пространство), или удобными упро щениями кинематического характера (например: движение жидко сти в трубе — одномерное, сечения балки при ее изгибе остаются плоскими).
Для обоих аспектов моделирования характерно отсечение отно сительно менее важных свойств оригинала (каких именно — зависит не только от моделируемого объекта, но и от направления его ис следования); благодаря этому модель приобретает некую идеализи рованную форму, в ней обычно не учитываются малые «неидеальности», всегда свойственные реальному оригиналу,— за исключе нием тех случаев, когда целью исследования является изучение роли таких неидеальностей.
Законы и соотношения, определяющие связи между элементами умозрительной физической модели, могут носить фундаментальный характер; в таких случаях они часто лишь подразумеваются, но явно не формулируются. В других случаях они представляют собой неуниверсальные, ограниченно справедливые соотношения; поэтому поводу Л. И. Седов говорит (288, с. 521: «...вполне допустимо и по лезно при изучении многих важных проблем сознательное исполь зование методов, понятий и законов, заведомо неприемлемых или просто неверных при более детальном исследовании, но вполне удов летворительных с точки зрения поставленных задач». Этот важный вопрос более подробно обсуждается в пп. 4.3—4.6.
После того, как умозрительная физическая модель образована, переходят к построению математической модели; именно такие мо дели служат центральным предметом рассмотрения в этой книге. Математической моделью достаточно сложного оригинала служит система уравнений в самом широком смысле этого термина; разу меется, математическая модель отдельного элемента относительно проще — она может оказаться геометрическим образом, функцией, вектором, матрицей, скалярной величиной или даже конкретным числом. Такая модель может быть реализована не только в виде записи с применением математических символов, но и, скажем, в виде явно выписанной или подразумеваемой блок-схемы получения ответа по исходным данным, или в виде программы для ЭВМ или в виде состояния памяти ЭВМ (в последнем случае говорят также о кибернетической модели).
Для некоторых классов задач понятию модели, в частности мате матической модели, можно придать чисто дедуктивный характер (см., например, [159, гл. 12; 4441): так, можно принять, что класс всех рассматриваемых объектов и их моделей образует так называе мую категорию, каждый переход к модели — морфизм и т. д. Мы не будем здесь пользоваться подобными определениями, хотя в не которых четких ситуациях они могут оказаться полезными.
Иногда после перехода к математической модели выясняется, что та же математическая модель соответствует совершенно иной умозрительной физической модели, подчиненной другим физическим