книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

превышает величину затухания прототипа. Частота, на которой имеет место пик затухания, зависит от величины т. Поэтому, соединяя каскадно звенья прототипов и m-производные, можно получить требуемые характеристические сопротивления с большим разнообразием кривых зависимости затухания от частоты.

1. Терминология, относящаяся к схемам (конструкции) фильтров и их сопротивлениям

Характеристическое сопротивление обозначается через Zc.

Пассивный, линейный четырехполюсник имеет характеристические

сопротивления	Zcl со стороны зажимов	1	— 1 и Zc2 со стороны
зажимов 2 — 2;	входное сопротивление на		зажимах 1 равно ZcU
когда нагрузка	на зажимах 2 равна Zc2, и входное сопротивление
на зажимах 2 равно Z^, когда нагрузка		на зажимах 1 равна Zd .

Звено (полное звено). Это простой четырехполюсник, имеющий обычно Т- или П-образную структуру, характеристические сопро­ тивления которого согласуются с характеристическими сопротив­ лениями смежных звеньев, составляющих фильтр. Обычно эти звенья симметричные.

Полузвено. Это любой четырехполюсник, образованный разде­ лением звена на две половины. Физически это возможно только для Т- или П-образных звеньев, причем при указанном разделе­ нии получают Г-образные полузвенья. Расчетные формулы для

	характеристик значительно			проще для полузвеньев, чем для пол­
	ных звеньев,	и, если	не оговорено особо,			все выводы и формулы
	в данной книге будут относиться				к полузвеньям.			7
	Полузвено	прототипа		(или	постоянной		К).
	Здесь (рис. 1):
	Z A , ZB — сопротивления; на всех частотах
		ZA и ZB взаимообратны				и	их
		произведение равно положитель­
		ной и постоянной величине R\						Т-сТ	ZСП
		ZA • ZB= R i.
								Рнс. 1.	Полузвено
	ZcT, Zcn — характеристические сопротивления,
								со стороны Т-об­
	ZCT — характеристическое				сопротивление
		разного входа,			сопротивление			со стороны П-об-
	Zcn — характеристическое
		разного входа,
					ZCTZcn = R i•
	ZA — сопротивление		индуктивности в прототипе фильтра						нижних
	частот,
	Zа — сопротивление емкости в прототипе фильтра верхних частот,
	Zа — сопротивление		последовательного			резонансного			контура
	в прототипе полосового фильтра,

Zа — сопротивление антирезонансного контура в прототипе загра­ ждающего фильтра.

т-производное	полузвено. Здесь ZA			или Y B = - J -		умножаются
					z в
на коэффициент m, a ZB		или Y а = у -		изменяются		так, что	ха­
рактеристические сопротивления			Z CT , в первом случае, или Zcn —
во втором, остаются неизменными, а именно:
Последовательно производное			Параллельно производное
полузвено				полузвено
ZA становится mZA,			Y B становится		m Y в,
ZBстановится — + ( - —		m]ZA,	Y а становится			—	в,
т	\т	}
ZcT не изменяется,			ZcT становится		ZcTm,
Zcn становится Zcnm			Zcn	не изменяется.

Характеристические сопротивления ZCTm и Zcnm обладают сле­ дующим свойством:

X сТт’ Zicnm — Н*•

Звенья или полузвенья симметричных полосовых фильтров. 1 Прототип или т-производная схема такие же, как описано

выше. Характеристики таких звеньев симметричны относительно средней частоты полосы пропускания на логарифмической шкале частот.

Звенья или полузвенья полосовых фильтров с несимметричными характеристиками. Эти звенья являются m-производными прото­ типа и имеют два различных коэффициента т:

Последовательно производное				Параллельно производное
	полузвено				полузвено
m i— для	индуктивности		в ZA ,	т А— для	емкости в	Y в,
1		7		-----для индуктивности B Y в-
------ для емкости в		Z A .
В том	случае,	если	ту= п ц ,	порядок	расчета	аналогичен
расчету фильтра с симметричной характеристикой.

1 Под симметрией автор понимает симметричность характеристик, а не симметричность четырехполюсника, как это его свойство трактуется в теории четырехполюсника. Звено такого фильтра является симметричным четырех­ полюсником (Zci = Zc2), а полузвено — несимметричным четырехполюсником

(Za	Zcî).
В	дальнейшем такие фильтры будем называть „фильтры с симметрич­

ными характеристиками".

Термин „симметричный" будем применять к фильтру, у которого Zci = Zcs, и „несимметричный", у которого Zcljb Z cх (Прим. ред.).

Если тх и ш2 разные, то порядок расчета может быть сведен к расчету более простого фильтра типа т с одним т, зависящим от частоты и равным:

/т fm

Щт-----/W* -гг

---------- 1т______

где — средняя частота полосы пропускания.

Звенья фильтров с несимметричными характеристиками имеют частотные характеристики затухания, несимметричные относительно средней частоты на логарифмической шкале частот.

Сложный фильтр. Это фильтр, состоящий из ряда каскадно соединенных звеньев или полузвеньев, имеющих различные вели­ чины т , причем смежные полузвенья или звенья имеют одинако­ вые характеристические сопротивления в точках соединения.

Элемент. Это индуктивность или емкость в схеме полного фильтра.

Пара. Это индуктивность и емкость, соединенные как резонанс­ ный или антирезонансный контур.

Плечо. Одна из продольных или поперечных ветвей сложного фильтра. Так, продольные плечи имеют сопротивление

и поперечные плечи имеют проводимость, равную Y вг -\-Y BS, где q, г и s относятся к соответствующим полузвеньям фильтра.

Построение сложного фильтра. Как правило, реальный фильтр

состоит	из ряда	полузвеньев и звеньев, имеющих различные ве­
личины т.
Схема сложного фильтра может быть представлена формулой:
		~2	2/Ci
из которой видно, что фильтр			состоит из	полузвена	с т = т х
целого	звена с т = п ц и двух полных звеньев с т = 1				(т. е. двух
звеньев	прототипа).
Иногда пользуются сокращенным обозначением. Так, например,
сложный фильтр		с четырьмя	различными	^или одинаковыми)

m-производными звеньями и одним звеном прототипа может быть обозначен как:

4 т + К.

Состав (структура) фильтра. Это порядок, в котором соеди­ няются последовательно или параллельно производные звенья с определенными характеристическими сопротивлениями и вели­ чинами т. Это определение может быть также использовано и в общем топологическом смысле.

Дуальная схема. Схема, дуальная данной схеме, имеет свой­ ства, аналогичные свойствам данной схемы, если ток и напряже­ ния взаимозаменяются, причем сопротивления этой схемы кратны

проводимостям первой схемы и наоборот.1 Свойства дуальных схем в отношении передачи энергии аналогичны. В электриче­ ских фильтрах звенья последовательно и параллельно производ­ ные являются дуальными. Указанные свойства дуальных схем позволяют вдвое уменьшить количество расчетных формул, исполь­ зуемых для определения свойств фильтра. Дуальные двухполюс­ ные схемы— это такие же, как и обратные двухполюсники.

Номинальное характеристическое сопротивление R. Это реаль­ ное и положительное сопротивление. Оно равно характеристиче­ скому сопротивлению фильтра нижних частот на низких частотах, фильтра верхних частот на высоких частотах и полосового фильтра на средней частоте или вблизи нее.23*

Нагрузочные сопротивления. Они представляют собой сопро­ тивления источника и нагрузки, между которыми включен фильтр.

Оконечные полузвенья. Полузвенья, находящиеся в начале и

вконце схемы фильтра.

р— коэффициент нагрузки. Коэффициент нагрузки определяет, насколько сопротивление источника или нагрузки отличается от номинального сопротивления фильтра.

Р = -^ — для	зажимов со стороны Т-образного		входа,
р	зажимов	со стороны П-образного	входа.
Р = ^ -----для
Сопротивление источника или нагрузки здесь			обозначено R T
и Ru.		Потери в элементах определяются		через
Потери в элементах
коэффициент потерь, причем в идеальном случае элементы				пред­
ставляют собой чистые реактивные сопротивления.

Коэффициент потерь обозначается буквой Ь и в общем случае равен:

где полное сопротивление элемента

Z = R Jr j X = Q+ jB .

В целом для фильтра удобно пользоваться величиной, обрат­ ной коэффициенту потерь и равной:

1

Q— ÔI + 8C>

	1 Определение и свойства			дуальных схем подробно изложены в книге
3 е л я х		Э. В.,	Основы общей	теории	линейных электрических схем. Изд.
АН	СССР, 1951 (Прим. ред.).				сопротивление фильтра определяется
как	* Номинальное характеристическое
	/ ? =	lim	Zc, где и0= 0 в случае фильтра нижних частот, ш0= о о в слу-

т

чае фильтра верхних частот		и ы0 = т т в случае	полосового фильтра (шт =
= У	— средняя частота,	и «s — граничные	частоты) (Прим. ред.).

где Si — коэффициент потерь для катушек индуктивностей, вхо дящих в фильтр,

Sc — коэффициент потерь для конденсаторов.

2. Терминология, относящаяся к частотам Частота / выражается в герцах (гц), ш = 2~/ выражается в ра­

дианах	в	секунду.
Частота среза. Частоты среза полосового фильтра обозна­
чаются	/,	и /2. Индексы	1 и 2 обозначают соответственно нижнюю
и верхнюю частоту, так			что Д — нижняя, а /3 — верхняя частота
среза.		Для фильтра нижних частот Д = О,
		для фильтра верхних частот /2—*■оо.
Частота среза фильтров нижних и верхних частот обозна­
чается	/с.

Средняя частота полосового фильтра обозначается fm. Она равна:

L = У Ш -

Частота пика затухания — Д . Эта частота, на которой при отсутствии потерь в элементах обеспечивается бесконечно большое затухание. В звене полосового фильтра f^ означает частоту пика затухания ниже полосы пропускания, а — означает частоту пика затухания выше полосы пропускания.

Нормированные частотные переменные

1) Для фильтров нижних частот и верхних частот обозначают

а для полосовых фильтров x — j - . fm

2) Для полосового фильтра:

	L - Ù L		___ f _ =		* _ ±
	. . f m ___/	=			___ £_
	У iL —ÙL		/ 2—/1		Xa— Xt'
где	fm f*
	С
	X - Ù . - 1			y — Ù.
	Л1--- f	--- V I		Л2---f		•
	Jm		Л2		Jm

Это также применимо для фильтров нижних частот, верхних частот и заграждающих фильтров:

для фильтра нижних частот у = х ,

для фильтра верхних частот у — —

для заграждающего фильтра У = '-у— —

				----- х
				X
для узкополосных фильтров
f	fm	о	/	fm
у h	- f m	h	- h	•

При использовании значений переменной у выражения для характеристического затухания, характеристической фазовой по­ стоянной и характеристического сопротивления оказываются иден­ тичными для звеньев, выведенных из их прототипов при помощи одного постоянного значения т. Так, одними и теми же форму­ лами можно пользоваться для расчета фильтров нижних частот, верхних частот, полосовых и заграждающих фильтров с симметрич­ ными характеристиками.

3)

Это, в первую очередь, зависимость между нормированной частотой пика затухания у л и величиной т, используемой для расчета /га-производного звена. Эта зависимость может быть обоб­ щена для всех частот. В этом случае величина т звена должна быть обозначена через mt или тп, или с каким-нибудь другим, более удобным индексом. В данной книге это выполнено во всех случаях, которые могли бы быть источниками недоразумений.

Заметим, что в полосе пропускания у*<^ 1, а т как частотная переменная, становится мнимой величиной.

На рис. 7 и в табл. 49 приведены зависимости между т и у.

В звеньях четырехэлементных полосовых фильтров с несим­ метричными характеристиками эта частотная переменная выпол­ няет функции, аналогичные коэффициенту т в фильтрах с сим­ метричными характеристиками. Более детально переменная р. рас­ сматривается в главах 3 и 8, а на рис. 26 приводится график для приблизительного определения значения р..

Относительная ширина полосы обозначается w и определяется выражением:

3. Терминология, относящаяся к передаче энергии

Характеристическая постоянная передачи — gc= bc-f- jac.

Для фильтра, нагруженного характеристическими сопротивлениями

где Iи i[i — ток	и напряжение на	входных зажимах,
/2, 0%— ток	и напряжение на	выходных зажимах,

Ьс— характеристическое затухание (в неперах), ас— характеристическая фазовая постоянная (в градусах

или радианах).

В книге принято, что для обозначения затухания или усиления в децибеллах используется буква В с соответствующим индексом, если же окончательный результат выражается в неперах, то исполь­ зуется обозначение — Ь.

Рабочая постоянная передачи gp = bp-f- jap.

Когда на полном сопротивлении нагрузки Z3 фильтра развива­ ется напряжение tf2 при подаче на вход фильтра напряжения от источника, э. д. с. которого Ê, а внутреннее полное сопротивле­ ние Zj, то

È3 zs

4Zt U!

Рабочее затухание. Вр— в децибеллах,

Ьр— в неперах.

Если сопротивления нагрузок, как это обычно имеет место, нереактивные, то

В, =	101g g [36],		6 „ = i l n ^ [ « C T ] ,
где 1g— десятичный	логарифм (основание 10),
In — натуральный		логарифм (основание е),
Р0 — максимально		возможная	полная (кажущаяся) мощность

источника сигнала, подводимого к фильтру; Р2 — полная (кажущаяся) мощность, развиваемая на нагрузке,

подключенной к выходным зажимам фильтра.

Рабочий фазовый сдвиг ар. Это разность фаз между э. д. с. источника и током в нагрузке.1 Определения возвратного затуха­ ния, затухания вследствие отражения и других величин, харак­ теризующих несогласованность, даются в гл. 5.

Характеристическое возвратное затухание. Это возвратное затухание между сопротивлением нагрузки и характеристическим сопротивлением.

Рабочее возвратное затухание. Это возвратное затухание между входным сопротивлением фильтра и сопротивлением источника.

Поведение по Чебышеву некоторой величины (Чебышевская хара­ ктеристика) имеет место в тех случаях, когда эта величина изме­ няется между двумя фиксированными пределами (один из кото­ рых обычно равен нулю или бесконечности) в определенном диа­ пазоне изменений независимой переменной. Это определение более полно поясняется в гл. 8.*

* Если нагрузки 2, и 2% фильтра являются активными сопротивлениями и л и я м ш ж с ш м и сопряженными сопротивлениями. {Прим. рео).

§ 2. ПОРЯДОК ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Проектирование фильтра обычно представляет собой довольно сложный процесс, который нельзя свести к ряду правил. Целесо­ образно, однако, рассмотреть основные этапы процесса, а также некоторые вспомогательные проблемы. В общем случае проектиро­ вание фильтра ведется методом последовательного приближения, а в затруднительных случаях приходится прибегать к компро­ миссу между противоречивыми требованиями.

Существуют две проблемы:

1)Вычисление характеристики для данной схемы фильтра.

2)Расчет схемы по заданной характеристике.

Впервом случае расчет значительно упрощается кривыми и формулами, приведенными в гл. 2, 3, 6, 9. Во втором случае обы­ чно применяют метод последовательных приближений и используют результаты, получаемые от первого решения. Требования к характеристике фильтра должны быть установлены с учетом реальной

Рис. 2. Типовые требования к зату­ ханию и характеристике фильтра ниж­ них частот. Шкала ординат для по­ лосы пропускания значительно уве­ личена.

возможности осуществления ее, в противном случае они могут оказаться невыполнимыми.

Таким образом, проектирова­ ние сводится к следующему:

а) установление требо­ ваний;

б) расчет величин т и схемы;

в) определение значений элементов.

Ниже ограничиваемся, в ос­ новном, рассмотрением фильтров нижних частот; однако резуль­ таты легко могут быть преобразо­ ваны применительно к фильтрам верхних частот или к полосовым.

1. Требования к характеристике

/ ' и / ” — граничные частоты полосы непро-

пускания.

Основное требование, предъ­ являемое к характеристике филь­ тра, заключается в том, чтобы рабочее затухание превышало

заданную зависимость затухания от частоты для одного или нескольких частотных диапазонов и находилось ниже этой зави­ симости в другой части частотного диапазона.

Простейший случай, когда требуемые затухания постоянные, приведен на рис. 2 с типичной характеристикой фильтра лестнич­ ной схемы.

Волнистость кривой затухания в полосе пропускания обуслов­ ливается рассогласованием сопротивлений и имеет тенденцию

возрастать за счет потерь в элементах. Волнистость может быть уменьшена настолько, что разность между провалом и максималь­ ным значением может быть доведена до 0,3 дб, за исключением очень простых фильтров. Поэтому требования к затуханию В, в основном определяются потерями. Потери наиболее значительно сказываются в полосовых фильтрах; следует ожидать особенно серьезных трудностей, когда

W

~2 < 2 < ю ,

где
w = Л - А	’
V /s/l
и f2, fi — верхняя и нижняя частоты	среза.
Можно показать, что отношение	D
	ф когда рассматривается

только характеристическое затухание, не зависит от числа эле­ ментов и имеет максимальное значение, когда частота среза опре­ деляется по кривой 1 на рис. 3. Наибольшая величина этого отношения приведена на рис. 4 в зависимости от отношения ча-

стот	f	(или соответствующих величин у).	в<*
	Jm		Отношение ^-s, даваемое
			&i

здесь, соответствует фильтрам нижних частот с постоянным Q= 100 на частоте среза. Затухание Вх прямо пропорционально коэффици-

2

енту потерь и возрастает примерно в — раз для полосового

фильтра, где ш — относительная ширина полосы.

Поэтому, когда известны добротности элементов Q, из рис. 4 можно найти наилучшее возможное отношение затуханий.

Пример 1. Какова должна быть добротность Q для фильтра нижних частот, имеющего на частотах выше 20 кгц затухание больше 70 дб и на частотах ниже 18 кгц затухание меньше 1 дб?

Из-за отражения в полосе непропускания характеристическое затухание

Ва будет превышать 75 дб, так что требуемое отношение характеристических f

затуханий следует принять равным 75 и ^ - = 20/18 =					1,11. Из рис. 4 находим,
что для катушек с Q =			I т	Следовательно, требуемая
		100 отношение равно 49.
добротность	элементов должна		быть не менее (75:49) • 100 =			153.
Таким	образом,	по	графикам рис.	4	можно	определить

наилучшую возможную характеристику для фильтров лестничных схем. Более постоянное затухание в полосе пропускания может быть получено путем добавления выравнивающих устройств, но общее затухание нельзя уменьшить ниже величин, определенных по этому графику.

Иногда предъявляется требование постоянства входного сопро­ тивления фильтра в полосе пропускания. Это требование удобно выражается через рабочее возвратное затухание. Легко можно получить рабочее возвратное затухание, равное 20 дб. Однако

ус

Рис. 3. Оптимальная частота среза (кривая 1), кривые 2, 3, 4 соответствуют кривым 2, 3, 4 на рис. 4. Кривые на рис. 4 приве­ дены для фильтров нижних частот, имеющих постоянное Q = 100 на частотах среза. Кривые могут быть также использованы для фильтра верхних частот, а также полосовых и заграждающих фильтров с симметричными характеристиками затухания (см. гл. 9).

ио

и

иг из 1,4

ив и г

г,5ус

Рис. 4. Количество элементов и отношение затухания в полосе непропускания к затуханию в полосе пропускания с оптимальной частотой среза (кривая 1) и соответственно с измененными ча­ стотами среза (кривые 2, 3, 4).

Bÿ — минимальное характеристическое затухание, в полосе непропускания при У > У ; Bi — характеристическое затухание, обусловленное потерями в полосе про­ пускания при у = у с