§4. Системы счисления. Двоичная система. (Лекция 3)

Понятие системы счисления.

Числа записываются с помощью цифр, а вернее с помощью каких-либо символов. Под системой счисления понимается способ изображения чисел с помощью символов совместно с правилами выполнения действий над этими числами.

Классификация систем счисления.

Все системы делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционныхсистемах каждая цифра имеет свой вес и ее значение не зависит от положения в числе — от позиции. Пример — римская система. Скажем, число 76 в этой системе выглядит так:

LXXVI, где L=50, X=10, V=5, I=1.

Как видно цифрами здесь служат латинские символы.

В позиционныхсистемах значения цифр зависят от их положения (позиции) в числе.

Так, например, человек привык пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число.

,

а теперь с дробью

Обобщим это представление на случай использования другого набора цифр.

Основаниемсистемысчисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Например р=10.

База системы— это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

В настоящее время арифметические действия выполняются в десятичной системе, где р=10.

База этой системы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

При обработке информации используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы, которые применяются для сокращения длины записи при кодировании программы и плотного размещения данных в памяти машины.

Установлено, что, чем больше основание СС, тем компактнее запись числа. Так двоичное изображение числа требует примерно в 3,3 раза больше­го количества цифр, чем его десятичное представление. Рассмотрим два чис­ла: 97D = 1100001В. Двоичное представление числа имеет заметно большее количество цифр.

Несмотря на то что десятичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных (цифровых) элементах, так как реали­зовать элементы с десятью четко различимыми состояниями сложно. В другой системе счисления могут работать приборы декатрон и трохотрон. Декатрон — газоразрядная счетная лампа — многоэлектродный газоразрядный прибор тлеющего разряда для индикации числа импульсов в десятичной СС.

Указанные устройства не нашли применения для построения средств ВТ. Историческое развитие вычислительной техники сложилось таким обра­зом, что цифровые ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств (триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т. п.).

Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составле­нии программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной за­писи двоичных кодов— команд, данных, адресов и операндов. Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную и восьмеричную СС (и обратно) осуще­ствляется достаточно просто.

Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встреча­ется при программировании и особенно часто при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Пас­каль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной системе счисления. Для непосредственного редактирования данных, запи­санных на жесткий диск, также необходимо умение работать с шестнадцатеричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной системе счисления .Без двоичной СС невоз­можно понять принципы криптографии и стеганографии.

Двоичная система счисления.

Представление информации с помощью двоичного кодирования наиболее оптимально для ЭВМ, так как данные в ЭВМ передаются по проводам с помощью двух сигналов "Есть напряжение" и "нет напряжения". Поскольку все данные в ЭВМ кодируются числами, то для передачи их по проводам необходимо применять двоичную систему.

Двоичная система имеет основание р=2 и базу 0 и 1. То есть, для изображения числа используются только два знака. Попробуем посчитать в десятичной системе, а затем в двоичной системе.

10-я	2-я	10-я	2-я	10-я	2-я	10-я	2-я
1	1	6	110	11	1011	16	10000
2	10	7	111	12	1100	17	10001
3	11	8	1000	13	1101	18	10010
4	100	9	1001	14	1110	19	10011
5	101	10	1010	15	1111	20	10100

Правила перевода из десятичной в двоичную систему.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.

Чтобы перевестицелое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке дают двоичное число.

Например:

164	2
164	82	2
0	82	41	2
	0	40	20	2
		1	20	10	2
			0	10	5	2
				0	4	2	2
					1	2	1
						0

В результате 165₁₀=10100100₂.

Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 2-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.

Правила перевода из двоичной в десятичную систему.

Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например,

Арифметические операции в двоичной системе.

Сложение двоичных чисел происходит аналогично сложению чисел в десятичной системе. Необходимо помнить, что использовать можно только две цифры 0 и 1, следовательно, нужно помнить соотношения

2₁₀=10₂

3₁₀=11₂

4₁₀=100₂

5₁₀=101₂

6₁₀=110₂

7₁₀=111₂

Например,

101001,110₂+

110,011₂=

110000,001₂

101010,1111₂+

1011,1101₂=

110110,1100₂

Если в результате промежуточного действия, которое человек автоматически выполняет в десятичной системе получилось число большее единицы, то его необходимо перевести в двоичную систему. Так в первом примере складывает справа налево 0+1=1, 1+1=2₁₀=10₂. Следовательно, в результате оставляем 0 (правый разряд результата), а 1 (левый разряд результата) запоминаем в следующем разряде и т.д.

Умножение двоичных чисел происходит также, как и для десятичных, только используются две цифры 0 и 1. Например, умножаем двоичные числа:

1001,1

110,1

10011

00000

10011

10011

11110,111

Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к сдвигу и сложению.