- •Краткий конспект лекций по теории вероятностей Лекция1 Вероятность
- •Действия над событиями.
- •Классификация событий Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в а, обозначим и будем называть противоположным событием.
- •Полная группа событий – это совокупность n событий а1, а2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.Е. Свойства операций над событиями
- •Правило двойственности (теорема де Моргана)
- •Алгебра событий.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности события
- •Геометрическая вероятность
- •Статистическая вероятность
- •Свойства вероятности
- •Лекция 2 Условная вероятность.
- •Формула вероятности произведения событий (теорема умножения вероятностей). Независимые события
- •Формула вероятности суммы совместных событий (теорема сложения вероятностей)
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса (теорема гипотез)
- •Лекция 3. Случайные величины
- •Лекция 4 Повторные испытания.
- •Распределения, связанные с повторными испытаниями.
- •Лекция 5
- •Лекция 6. Двумерные случайные величины
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности.
- •Свойства коэффициента корреляции.
- •Двумерное равномерное распределение
- •Двумерное нормальное распределение
- •Задача линейного прогноза.
- •Лекция 7. Законы больших чисел и центральная предельная теорема. Неравенства Чебышева.
- •Законы больших чисел.
- •Теорема Чебышева
- •Обобщенная теорема Чебышева.
- •Теорема Маркова.
- •Теорема Бернулли.
- •Предельные теоремы.
- •Теорема Ляпунова.
- •Теорема Леви – Линдеберга.
- •Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 8 Элементы математической статистики
- •Основные задачи статистики.
- •Эмпирические законы распределения.
- •Точечные оценки параметров распределения.
- •Требования к оценкам.
- •2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии
- •Интервальные оценки.
- •Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.
- •Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения .
Точечные оценки параметров распределения.
Пусть неизвестен параметр распределения, любая функцияна выборкеназываетсяточечной оценкой . Оценки тоже являются случайными величинами.
Требования к оценкам.
Несмещенность
Состоятельность
Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.
Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .
Оценки ищут различными методами: методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом наименьших квадратов и др.
Оценка среднего значения ГС (математического ожидания) – выборочное среднее. .
Оценка несмещенная,т.к..
Оценка состоятельная, т.к. по закону больших чисел.
Оценки дисперсии ГС:
Выборочная дисперсия
Это – смещенная, состоятельная оценка.
2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии
Можно показать, что .
Пример. Вычислим оценки для приведенного выше ряда распределения
-
xk
0
1
3
5
nk
5
2
1
2
1/2
1/5
1/10
1/5
,
.
Интервальные оценки.
Доверительный интервал– это интервал, такой, что,
где -доверительная вероятность.
Общее правило построения доверительного интервала для любого параметра основано на центральной предельной теореме, по которой при больших n(n>50) оценкаимеет нормальное распределение с, если- несмещенная оценка, а функция распределения случайной величинысходится по вероятности прик функции стандартного нормального распределения.
Квантиль (уровня ) случайной величиныXс функцией распределенияF(x) – это такое значение случайной величиныX, что.
|
Обозначим квантиль нормального распределения уровня, где,- доверительная вероятность, т.е., где - функция |
стандартного нормального распределения. По симметрии плотности нормального распределения . Так как.
Так как распределение случайной величины стремится к стандартному нормальному распределению, то. Отсюда получаемдоверительный интервал
.
Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.
Если ГС имеет нормальное распределение, то и любая выборка распределена нормально. Известно, что сумма нормальных случайных величин тоже распределена нормально. Поэтому оценка математического ожидания – выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с - известно.
Поэтому, если известно, то, идоверительный интервал дляматематического ожиданиястроится так:
с доверительной вероятностью. Квантили проще всего искать по таблицам квантилей нормального распределения.
Если неизвестно,то нормированная случайная величина(вместоподставлена его оценкаs) уже не распределена нормально.Она имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительной вероятности определяют, по таблице квантилей определяют квантильуровня. Затем по той же схеме строятдоверительный интервал для математического ожидания .
Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормального распределения.