- •Федеральное государственное образовательное бюджетное
- •1 Линейное программирование
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •2 Различные формы записи задач линейного программирования. Приведение задачи к каноническому виду
- •3 Графический метод решения злп
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •4 Симплекс-метод решения задач линейного программирования с естественным базисом
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •5 Симплекс-метод с искусственным базисом
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •6 Двойственность в линейном программировании
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •7 Технология решения задач линейного программирования с помощью надстройки поиск решения в среде excel
- •Список литературы
- •Задания для самостоятельной работы
Список литературы
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Изд. «Высшая школа», 1980. – 304 с.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. – М.: Изд. «Дело», 2003. – 688 с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов /под ред. проф. В.И. Ермакова. - М.: Изд. «Инфра – М», 2004. – 576 с.
Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. – М.: Изд. «Волтерс Клувер», 2005. – 132 с.
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 144 с.
Задания для самостоятельной работы
Решить графическим методом задачи с двумя переменными.
1. Z(x)=2x1+3x2→max, x1≥0,x2≥0 |
2. Z(x)=5x1-3x2→min, x1≥0,x2≥0
|
3. Z(x)=2x1+3x2→max, x1≥0,x2≥0
|
4. Z(x)=2x1+2x2→max, x1≥0,x2≥0
|
5. Z(x)=2x1+4x2→max, x1≥0,x2≥0
|
6. Z(x)=15x1+10x2→max, x1≥0,x2≥0
|
7. Z(x)=3x1+2x2→max, x1≥0,x2≥0
|
8. Z(x)=2x1+5x2→min, x1≥0,x2≥0
|
9. Z(x)=2x1-x2→max, x1≥0,x2≥0
|
10. Z(x)=3x1+2x2→max, x1≥0,x2≥0
|
11. Z(x)=2x1+4x2→min, x1≥0,x2≥0
|
12. Z(x)=x1-3x2→min,
|
13. Z(x)=3x1-x2→max, x1≥0,x2≥0
|
14. Z(x)=x1-2x2→min, x1≥0,x2≥0
|
15. Z(x)=3x1+6x2→max, x1≥0,x2≥0
|
16. Z(x)=5x1+5x2→max, x1≥0,x2≥0
|
17. Z(x)=-x1-x2→max, x1≥0,x2≥0
|
18. Z(x)=5x1-x2→min, x1≥0,x2≥0
|
19. Z(x)=4x1+2x2→min, x1≥0,x2≥0
|
20. Z(x)=-3x1-x2→min, x1≥0,x2≥0
|
|
2. Решить графическим методом задачу с n переменными.
1. Z(x)=2x1+8x2+3x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
2. Z(x)=2x1+3x2-x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
3. Z(x)=4x1+13x2+3x3+6x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
4. Z(x)=x1+x2+3x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
5. Z(x)=11x2+x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
6. Z(x)=4x1+4x2-3x3+2x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
7. Z(x)=12x1+8x2+5x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
8. Z(x)=x1-19x2-5x3-7x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
9. Z(x)=7x1+3x2+3x3+2x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
10. Z(x)=3x1+4x2+2x3+7x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
11. Z(x)=-22x1+19x2-5x3-6x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
12. Z(x)=3x1+2x2+5x3+4x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
13. Z(x)=-2x1+x2+3x3-2x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
14. Z(x)=-2x1+2x2-3x3-7x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
15. Z(x)=2x1+x2-4x3+3x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
16. Z(x)=2x1+6x2+x3+x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
17. Z(x)=2x1+5x2+x3+x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
18. Z(x)=9x1+2x2+4x3-8x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
19. Z(x)=x1-2x2-x3+3x4→max, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
20. Z(x)=2x1+x2-x3-2x4→min, xj≥0,xj=1,2,3,4.
|
3. Постановка задачи. Из двух видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее указанных единиц химического вещества А, В и С соответственно. Цена 1 кг сырья каждого вида, а также количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг сырья каждого вида, указаны в таблицах 23 и 24 по вариантам. Составить смесь, имеющую минимальную стоимость. Составить математическую модель задачи, решить её графически, проанализировать результаты решения.
Таблица 23 – Общая постановка задачи
Вещество |
Количество единиц. вещества, содержащегося в 1 кг сырья |
Минимальное содержание вещества, ед. | |
І |
ІІ | ||
А | |||
В | |||
С | |||
Цена 1 кг сырья, ден. ед. |
|
Таблица 24 – Исходные данные для вариантов
Номер варианта | |||||||||||
1 |
1 |
2 |
5 |
2 |
0 |
4 |
12 |
20 |
12 |
2 |
4 |
2 |
0 |
5 |
4 |
2 |
2 |
5 |
10 |
28 |
30 |
4 |
10 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
14 |
10 |
6 |
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
4 |
6 |
0 |
20 |
16 |
18 |
6 |
3 |
5 |
3 |
0 |
2 |
4 |
3 |
2 |
12 |
24 |
24 |
9 |
6 |
6 |
3 |
2 |
0 |
6 |
3 |
4 |
24 |
18 |
36 |
6 |
8 |
7 |
4 |
0 |
4 |
5 |
4 |
2 |
12 |
40 |
28 |
2 |
1 |
8 |
1 |
2 |
6 |
0 |
3 |
2 |
10 |
12 |
18 |
6 |
4 |
9 |
5 |
2 |
5 |
0 |
2 |
2 |
30 |
10 |
18 |
10 |
4 |
10 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
2 |
20 |
12 |
14 |
2 |
4 |
11 |
0 |
8 |
4 |
3 |
2 |
3 |
16 |
24 |
18 |
4 |
6 |
12 |
0 |
7 |
2 |
4 |
3 |
2 |
14 |
20 |
18 |
3 |
6 |
13 |
2 |
5 |
6 |
0 |
4 |
2 |
30 |
24 |
28 |
8 |
4 |
14 |
0 |
4 |
1 |
2 |
3 |
1 |
8 |
8 |
9 |
3 |
6 |
15 |
2 |
1 |
1 |
2 |
4 |
0 |
12 |
12 |
8 |
4 |
2 |
16 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
6 |
12 |
8 |
12 |
1 |
1 |
17 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
1 |
9 |
2 |
5 |
3 |
1 |
18 |
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
0 |
12 |
18 |
9 |
2 |
2 |
19 |
3 |
2 |
1 |
2 |
4 |
0 |
18 |
10 |
4 |
2 |
3 |
20 |
1 |
2 |
5 |
2 |
0 |
4 |
12 |
20 |
12 |
4 |
2 |
4. Постановка задачи. Для производства трех видов продукции используются три вида сырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблицах вариантов. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении. Оценить каждый из видов сырья, используемых для производства продукции. Требуется:
построить математическую модель задачи;
решить задачу симплекс-методом;
проанализировать результаты решения;
составить к данной задаче двойственную и, используя соответствие переменных, выписать ответ двойственной задачи;
дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.
Таблица 25 – Общая постановка задачи
-
А
В
С
Запасы сырья, ед.
І
ІІ
ІІІ
Прибыль, ден. ед.
Необходимо, чтобы сырье i-го вида было израсходовано полностью.
Таблица 26 - Исходные данные для вариантов
Номер вар. |
i | |||||||||||||||
1 |
3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
18 |
4 |
10 |
2 |
5 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
0 |
0 |
4 |
0 |
3 |
18 |
10 |
24 |
6 |
1 |
9 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
8 |
5 |
12 |
1 |
5 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
14 |
8 |
3 |
3 |
4 |
1 |
3 |
5 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
7 |
14 |
10 |
4 |
5 |
1 |
1 |
6 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
10 |
8 |
3 |
5 |
2 |
1 |
3 |
7 |
3 |
5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
30 |
8 |
8 |
3 |
3 |
1 |
1 |
8 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
3 |
0 |
4 |
2 |
4 |
24 |
24 |
1 |
5 |
2 |
1 |
9 |
3 |
0 |
4 |
3 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
36 |
24 |
6 |
7 |
1 |
4 |
3 |
10 |
2 |
0 |
0 |
2 |
3 |
1 |
4 |
3 |
0 |
8 |
18 |
24 |
6 |
9 |
1 |
2 |
11 |
2 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
20 |
4 |
18 |
3 |
1 |
6 |
1 |
12 |
0 |
2 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
16 |
4 |
14 |
1 |
3 |
2 |
2 |
13 |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
14 |
20 |
8 |
4 |
3 |
1 |
3 |
14 |
2 |
2 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
16 |
10 |
12 |
2 |
6 |
1 |
2 |
15 |
0 |
2 |
0 |
0 |
5 |
3 |
1 |
1 |
1 |
10 |
30 |
8 |
1 |
2 |
2 |
3 |
16 |
2 |
3 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
20 |
14 |
12 |
3 |
2 |
1 |
2 |
17 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
22 |
12 |
20 |
0 |
1 |
3 |
1 |
18 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
16 |
18 |
20 |
5 |
1 |
1 |
3 |
19 |
3 |
0 |
2 |
4 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
20 |
18 |
22 |
2 |
1 |
2 |
2 |
20 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
2 |
16 |
18 |
14 |
2 |
1 |
2 |
1 |
5. Решить симплекс-методом с искусственным базисом.
1. Z(x)=x1+4x2+x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
2. Z(x)=2x1+x2-x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
| ||
3. Z(x)=x1-x2+x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
4. Z(x)=5x1+2x2+x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
| ||
5. Z(x)=x1-8x2-3x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
6. Z(x)=-x1-3x2-x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
| ||
7. Z(x)=x1+4x2+3x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
8. Z(x)=-4x1-3x2-2x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
| ||
9. Z(x)=4x1+x2+3x3 →max, xj≥0, j=1,2,3 |
10. Z(x)=x1-3x2-2x3 →max, xj≥0, j=1,2,3 | ||
11. Z(x)=3x1+2x2+2x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
12. Z(x)=3x1+2x2+3x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
| ||
13. Z(x)=x1+2x2+x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
14. Z(x)=2x1+x2+2x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
| |
15. Z(x)=6x1+7x2+9x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
16. Z(x)=-2x1-2x2-2x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
| |
17. Z(x)=-3x1 -2x2-2x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
18. Z(x)=-2x1+8x2+3x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
| |
19. Z(x)=6x1+7x2+9x3 →min, xj≥0, j=1,2,3
|
20. Z(x)=5x1+2x2+x3 →max, xj≥0, j=1,2,3
|
|
Список рекомендованной литературы
Основная
1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. — М.:Вузовский учебник, 2012.
2. Исследование операций в экономике / под ред. Н.Ш. Кремера. — 2-е изд. — М.: Юрайтиздат : Высшее образование, 2010.
Дополнительная
1. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций: учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учебное пособие — М.: ИНФРА-М, 2003.
3. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. — М.: ИД «Вильямс», 2004.
4. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие. — М.: Вузовский учебник, 2011.
5. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач. — 2-е изд. — М.: Вузовский учебник, 2012.
6. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов. — 3-е изд. — М.: Юрайт-издат : Высшее образование, 2012.