![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей
- •2. Действия над событиями.
- •3. Вероятность события.
- •4. Основные формулы комбинаторики.
- •5. Теорема сложения вероятностей.
- •6. Теорема умножения вероятностей.
- •7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •8. Случайная величина и закон ее распределения.
- •9. Функция распределения случайной величины.
- •10. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
- •11. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •12. Биномиальное распределение.
- •13. Распределение Пуассона.
- •14. Геометрическое распределение.
- •15. Равномерное распределение.
- •16. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •17. Нормальное распределение.
12. Биномиальное распределение.
Пусть случайная
величина X
равна числу появлений события
вn
независимых испытаниях. Эта случайная
величина может принимать одно из значений
0,1,2,…,n.
Вероятности этих значений определяются
по формуле Бернулли. Закон
распределения дискретной случайной
величины X
задается таблицей
Этот закон называется биномиальным.
На
рис.1 показаны вероятностиP(X=m)
значений биномиального распределения
при n=10,
p=0,2
и p=0,4
соответственно.
Рис.1. Вероятности значений для биномиального распределения.
Для биномиального
распределения
,
.
Пример 2.
Производится n=2
выстрела по цели. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна
.
Найти закон распределения случайной
величиныX,
равной числу попаданий в цель.
Может быть 0, 1 или 2 попаданий в цель. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли.
Вероятность, что не будет ни одного попадания в цель
.
Вероятность, что будет одно попадание
.
Вероятность, что будет два попадания
.
Составим таблицу распределения случайной величины X
Заметим, что
,
поскольку все события, для которых
определяются вероятности, являются
несовместными и образуют полную группу.
13. Распределение Пуассона.
Случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает любые целые неотрицательные значения m=0,1,2,… с вероятностями
.
Число называется параметром распределения Пуассона.
Таким
образом,X
может принимать счетное множество
значений, и закон распределения этой
случайной величины задается следующей
таблицей
На
рис.2 показаны вероятностиP(X=m)
значений распределения Пуассона при
=0,5
и =2
соответственно.
Рис.2. Вероятности значений для распределения Пуассона
Распределение Пуассона играет важную роль в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. - всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий: радиоактивных распадов, появления метеоритов, телефонных вызовов, помех в каналах связи, отказов оборудования, дорожных происшествий, несчастных случаев и т.д.
Распределение
Пуассона является предельным для
биномиального распределения, если в
схеме Бернулли число испытаний n
стремится к бесконечности, а вероятность
p
появления события
в каждом испытании стремится к нулю,
причем так, что
.
Отсюда получаем приближенную формулу
,
пригодную для
практических расчетов. Этой формулой
рекомендуется пользоваться, если
,
а
.
Пример.
Вероятность выпуска дефектного изделия
равна
.
Из продукции выбраноn=5000
изделий. Найти вероятность того, что
среди них окажется два или более дефектных
изделия.
Параметр
равен
.
Определим требуемую вероятность
.
Так как
,
а
,
то искомая вероятность равна
.
При точных расчетах
.
Для распределения
Пуассона
,
.
14. Геометрическое распределение.
Вероятность
появления события
в одном испытании равнаp.
Производится серия из нескольких
независимых испытаний, в каждом из
которых может появиться или не появиться
событие А. Испытания продолжаются до
тех пор пока не появится событие
.
Случайная величинаX,
равная числу испытаний до первого
появления события
,
имеетгеометрическое
распределение
вероятностей.
Очевидно, что
случайная величина X
может принять одно из значений m=1,2,3,….
Значение X
равно m,
если в m-1-ом
испытании событие
не произойдет, а вm-ом
испытании событие
произойдет. Поэтому
.
Для геометрического
распределения
,
.