7. Рассмотрим модель нестационарного режима.
Рассмотрим вопрос об изменении вероятности состояний в зависимости от времени. Обозначим рi(t) – вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии Si и i= 0,1,2,3,4. Данные вероятности как функции времени удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений ( уравнения Колгомогорова-Чемпена).
S0 : р0 (t) = -ƛр0 (t) + µр1 (t) = 0
S1 : р1 (t) = ƛр0 (t) –(µ +ƛ)р1 (t) +2µр2 (t) =0
S2: р2 (t) = ƛр1(t) –(2µ +ƛ)р2 (t) +2µр3(t) =0
S3: р3(t) = ƛр2 (t) –(2µ +ƛ)р3 (t) +2µр4 (t) =0
S4: р4 (t) = ƛр3 (t) –2µр4 (t) =0
В нашем случае:
S0 : р0 (t) = -8,73р0 (t) + 4,3р1(t) = 0
S1 : р1 (t) = 8,73р0 (t) –(4,3 +8,73)р1 (t) +2*4,3р2 (t) =0
S2: р2 (t) = 8,73р1(t) –(2*4,3 +8,73)р2(t) +2*4,3р3(t) =0
S3: р3(t) = 8,73р2 (t) –(2*4,3 +8,73)р3(t) +2*4,3р4 (t) =0
S4: р4 (t) = 8,73р3 (t) –2*4,3р4 (t) =0
Решение системы дифференциальных уравнений | |||||
t |
p0 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
0 |
1 |
0 |
0,000000 |
0,0000000 |
0,000000000 |
0,05 |
0,5635 |
0,4365 |
0,000000 |
0,000000000 |
0,000000000 |
0,1 |
0,41138 |
0,398088 |
0,190532 |
0,000000000 |
0,000000000 |
0,15 |
0,317401 |
0,40023 |
0,199201 |
0,083167327 |
0,000000000 |
0,2 |
0,264905 |
0,363682 |
0,237056 |
0,098054279 |
0,036302538 |
0,25 |
0,227466 |
0,344308 |
0,232558 |
0,132175130 |
0,063493139 |
0,3 |
0,202203 |
0,31928 |
0,238172 |
0,146458844 |
0,093885534 |
0,35 |
0,182587 |
0,301945 |
0,234139 |
0,163885262 |
0,117444040 |
0,4 |
0,167806 |
0,285607 |
0,233527 |
0,174581314 |
0,138479019 |
0,45 |
0,155964 |
0,273198 |
0,230913 |
0,184787198 |
0,155137785 |
0,5 |
0,146623 |
0,26258 |
0,229536 |
0,192171937 |
0,169088149 |
0,55 |
0,139077 |
0,254211 |
0,227893 |
0,198555437 |
0,180263296 |
0,6 |
0,133025 |
0,247294 |
0,226766 |
0,203495823 |
0,189419527 |
0,65 |
0,128128 |
0,241757 |
0,225720 |
0,207600302 |
0,196795057 |
0,7 |
0,124178 |
0,23724 |
0,224929 |
0,210863358 |
0,202790714 |
0,75 |
0,120981 |
0,233601 |
0,224254 |
0,213531571 |
0,207632563 |
0,8 |
0,118397 |
0,230647 |
0,223723 |
0,215675476 |
0,211557092 |
0,85 |
0,116306 |
0,228262 |
0,223285 |
0,217417449 |
0,214729887 |
0,9 |
0,114615 |
0,226329 |
0,222934 |
0,218823016 |
0,217298752 |
0,95 |
0,113246 |
0,224767 |
0,222648 |
0,219962177 |
0,219376535 |
1 |
0,112139 |
0,223502 |
0,222418 |
0,220882874 |
0,221058115 |
Решение системы дифференциальных уравнений:
р0 (t) = р0 (t) + 0,05*(-8,73р0 (t) + 4,3р1(t) )
р1 (t) = р1 (t) + 0,05*(8,73р0 (t) –(4,3 +8,73)р1 (t) +2*4,3р2 (t))
р2 (t) = р2 (t) + 0,05*(8,73р1(t) –(2*4,3 +8,73)р2(t) +2*4,3р3(t))
р3 (t) = р3 (t) + 0,05*(8,73р2 (t) –(2*4,3 +8,73)р3(t) +2*4,3р4 (t))
р4 (t) = р4 (t) + 0,05*(8,73р3 (t) –2*4,3р4 (t))
8.Анализ полученных решения.
8.1. Графики функций рi (t).
8.2. Характеристики работы системы массового обслуживания в зависимости от времени.
1) Среднее число занятых машин.
Пусть случайная величина Х- число занятых машин, она может принимать значения 0,1,2.
М(Х)- среднее число занятых машин.
М(Х)= 0*р0 (t)+ 1*р1 (t)+ 2(р2 (t)+ р3 (t)+р4(t))
2) Среднее число занятых машин.
Пусть величина У – число свободных машин, она может принимать значение 0,1,2.
Среднее число свободных машин – М(У).
М(У) = 0*(р2 (t)+ р3 (t)+ р4(t)) + 1*р1 (t)+ 2*р0(t)
3) Средняя длина очереди.
Пусть величина Z – длина очереди 9количество бревен в очереди).
Возможные значения 0,1,2.
Средняя длина очереди – М(Z).
М(Z)= 0*(р0 (t)+ р1 (t)+ р2(t)) + 1* р3 (t)+ 2*р4(t)
4) Коэффициент загрузки машин.
Кз = * 100 %
5) Коэффициент простоя машин.
Кп = * 100 %
Характеристики работы системы массового обслуживания в зависимости от времени.
М(Х) |
М(У) |
М(Z) |
Кз |
Кп |
t |
0 |
2 |
0,000000000 |
0 |
100 |
0 |
0,4365 |
1,5635 |
0,000000000 |
21,825 |
78,175 |
0,05 |
0,779153 |
1,220848 |
0,000000000 |
38,95763 |
61,04238 |
0,1 |
0,964967 |
1,035033 |
0,083167327 |
48,24837 |
51,75163 |
0,15 |
1,106507 |
0,893493 |
0,170659355 |
55,32537 |
44,67463 |
0,2 |
1,20076 |
0,79924 |
0,259161409 |
60,03801 |
39,96199 |
0,25 |
1,276313 |
0,723687 |
0,334229912 |
63,81567 |
36,18433 |
0,3 |
1,332882 |
0,667118 |
0,398773341 |
66,64408 |
33,35592 |
0,35 |
1,378782 |
0,621218 |
0,451539353 |
68,93909 |
31,06091 |
0,4 |
1,414874 |
0,585126 |
0,495062768 |
70,74371 |
29,25629 |
0,45 |
1,444173 |
0,555827 |
0,530348236 |
72,20865 |
27,79135 |
0,5 |
1,467635 |
0,532365 |
0,559082028 |
73,38176 |
26,61824 |
0,55 |
1,486656 |
0,513344 |
0,582334877 |
74,33279 |
25,66721 |
0,6 |
1,501988 |
0,498012 |
0,601190416 |
75,09938 |
24,90062 |
0,65 |
1,514405 |
0,485595 |
0,616444787 |
75,72024 |
24,27976 |
0,7 |
1,524438 |
0,475562 |
0,628796697 |
76,22189 |
23,77811 |
0,75 |
1,532559 |
0,467441 |
0,638789659 |
76,62795 |
23,37205 |
0,8 |
1,539127 |
0,460873 |
0,646877224 |
76,95633 |
23,04367 |
0,85 |
1,544442 |
0,455558 |
0,653420520 |
77,22208 |
22,77792 |
0,9 |
1,548741 |
0,451259 |
0,658715247 |
77,43705 |
22,56295 |
0,95 |
1,55222 |
0,44778 |
0,662999105 |
77,611 |
22,389 |
1 |
8.3. Графики функций Кз и Кп .