Generate (Exponential(1,0,(1/0.25)))

Из всех приведенных распределений опишем те, которые наибо­лее часто используются на практике.

Логарифмически нормальное распределение. Логарифмиче­ски нормальное распределение (логнормальное) – это распределение случайной величины, натуральный логарифм которой нормально распределен. Это распределение пригодно для моделирования муль­типликативных процессов так же, как нормальное – для аддитивных.

С помощью центральной предельной теоремы можно показать, что произведение независимых положительных случайных величин стремится к логарифмически нормальной случайной величине.

Логнормальная случайная величина формируется под влиянием большого числа независимых факторов, причем каждый отдельный фактор оказывает равномерно незначительное и равновероятное по знаку влияние. Прирост каждого следующего фактора пропорциона­лен уже достигнутому к этому времени значению исследуемой вели­чины. То есть рассмотренный характер воздействия является мульти­пликативным.

Функция плотности логнормального распределения:

,

если х > λ, в противном случае – .

Если после логарифмирования каждого элемента некоторого на­бора данных этот трансформированный набор данных нормально распределен, то исходные данные логарифмически нормально рас­пределены.

Это распределение используется при моделировании экономи­ческих, информационных, физических и биологических систем. Оно хорошо моделирует процессы в случае, когда значение наблюдаемой переменной является случайной долей от значения предыдущего на­блюдения.

Примерами использования этого распределения могут быть:

1) размеры и вес частиц, образуемых при дроблении;

2) доход семьи;

3) зарплата работников;

4) долговечность изделия, работающего в режиме износа и ста­рения;

5) размер банковского вклада;

6) длины слов в языке;

7) длины передаваемых сообщений.

Например, когда неизвестно распределение длины передавае­мых сообщений, размера файлов или длины запроса к базе данных, то с большой вероятностью можно предположить логнормальное рас­пределение для этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия логнормально распреде­ленной случайной величины таковы:

,,

где параметр σ задает среднеквадратическое отклонение, μ – матема­тическое ожидание из нормального распределения, λ – величину сдвига для определения местоположения распределения.

Для вызова логнормального распределения используется биб­лиотечная процедура

Lognormal(Stream, Locate, Scale, Shape),

где Stream – номер генератора случайных чисел, автоматически пре­образуется в целое число, которое должно быть больше или равно 1; Located = λ, Scale = σ; Shape = μ. Все параметры обязательные.

Гамма-распределение является обобщенным распределением Эрланга для случая, когда число а суммируемых величин – является нецелым. Гамма-распределенная величина имеет значения от 0 до , то есть неотрицательна. Если α – целое, то это будет распределение Эрланга.

Функция распределения значительно изменяет свою форму при различных параметрах, что позволяет использовать это распределение для моделирования различных физических явлений.

Гамма-распределение можно интерпретировать как сумму квад­ратов нормально распределенных случайных величин, то есть как χ²-распределение.

Таким образом, χ2-распределение, распределение Эрланга и экспоненциальное распределение являются частными случаями гам­ма-распределения.

Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределенной случайной величины таковы:

,.

Функция плотности гамма-распределения имеет вид:

,,

где ;, если;- гамма-функция Эйлера; параметр α задает форму распределения, β – масштаб для сжатия или растяжения распределения, λ – величину сдвига для определения местоположения распределения.

Для вызова гамма-распределения используется библиотечная процедура