12. Решение систем линейных уравнений в excel

Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 11.

В EXCEL реализована функция вычисления определителей (см. п.7). Запишем матрицу коэффициентов и матрицы, полученные из нее заменой по очереди всех столбцов на столбец свободных членов. Листинг вычислений представлен на рис. 8:

Рис. 8

Матрицы записаны в диапазонах

, а значения определителей – в ячейках . Столбец свободных членов – вG2:G6. Решение системы – в I2:I6.

Тот же пример решим с помощью обратной матрицы. В EXCEL реализованы функции для нахождения обратных матриц и перемножения матриц (см. п.7). Листинг решения представлен на рис. 9. В диапазоне записана матрица коэффициентов, в ячейках– вектор свободных членов, в диапазонеобратная матрица, в ячейках– решение системы, полеченное как результат умножения матрицына матрицу.

Рис. 9

Предложим еще один способ решения линейных систем в EXCELL. Возможно, для систем он не покажется эффективным, однако знакомство с ним полезно для решения задач оптимизации, в частности задач линейного программирования. Инструментом для этого метода служит процедура Поиск решения, которая находится в Надстройках. После вызова процедуры появляется окно, представленное на рис. 11.

Покажем решение системы на примере.

►Пример 18. Решить систему

Рис. 10

В ячейки введена матрица коэффициентовуравнений системы, в– коэффициенты последнего уравнения, в ячейкиG3:G6 - столбец свободных членов. Ячейки B1:E1 отведем для значений неизвестных. В ячейках F3:F6 сосчитаем сумму произведений коэффициентов каждого уравнения на неизвестные (для этого воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ). Выберем ячейку F6 в качестве целевой и вызовем процедуру Поиск решения. В окошке установим, что целевая ячейка должна быть равной свободному члену последнего уравнения, и заполним поля. В поле «изменяя ячейки» введем B1:E1. В поле «ограничения» будем вводить первые уравнения. А именно, значение в ячейкеF3 должно равняться заданному значению в ячейке G3 (1-е уравнение). Аналогично добавляем два других уравнения. После заполнения всех полей нажимаем .

Решение системы находится в ячейках B1:E1.

Рис. 11

Индивидуальное задание

Каждый студент выполняет задание при конкретных значениях и, которые определяются по номеру в журнале группы:−первая цифра номера по списку,− вторая. Если номер по списку однозначный.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	1	1	1	1	1	1	1		2
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	2	2	2	2	2	2	2	2	2	3
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0

1. Вычислить определители:

, ,.

2. Даны матрицы:

,,,.

Вычислить:

1. , где - единичная матрица;

3. (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).

3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).

.

4. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

а) б)

5. Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует:

а)

б)

в)

6. Исследовать и решить системы уравнений:

а)

б)

в)

Приложение

Здесь приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA. Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.

Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.

Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.

Найти эти форматы можно в справке VIRTUALBOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.

Ввод матрицы.

In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}

Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.

Умножение матриц.In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3} Out[1]= {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} Out[2]= {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}} In[7]:= m1.m2 Out[7]= {{34, 26, 20}, {31, 28, 72}, {-19, 1, 40}, {-1, -8, 40}}

Команда для умножении «.».

Вычисление определителя.

In[10]:=Det[m2]Out[10]= 252

Матрица m2 введена выше.

Нахождение обратной матрицы.In[8]:=Inverse[m2]Out[8]= {{-(5/63), -(11/63), 8/63}, {11/63, -(1/63), -(5/63)}, {1/126, 17/252, 11/ 126}}

Вычисление собственных чисел и собственных векторов.In[14]:=Eigenvalues[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[14]= {3, -1}In[16]:=Eigenvectors[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[16]= {{1, 1}, {-1, 1}}

m4 = {{2, 1}, {8, 7}, {3, -5}, {-4, 6}}

Определение ранга матрицы.

In[18]:=MatrixRank[m1]Out[18]= 3

Решение систем линейных уравнений.In[17]:=Solve[{2x+y-z+ 2t== 12, -x+ 2y+ 4z+ 3t== 4, 2x+y+ 4z- 2t== -10,x+ 3y+ 5z+ 2t== 3}, {x,y,z,t}]Out[17]= {{x-> 1,y-> 2,z-> -2,t-> 3}}.

В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в ответе используется « ->». Ниже система, имеющая множество решений и система, не имеющая решений.

In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 9}, {x, y, z}] Equations may not give solutions for all"solve", In[21]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 10}, {x, y, z}] Out[20]= {{x -> 1, y -> 3 - z}} Out[21]= {}

Наряду со строчной записью ввода вывода использоваться записью матриц и других математических объектов в привычном виде. Для этого можно использовать команду TraditionalForm

Использование традиционной символики.

In[23]:=m= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

In[24]:= TraditionalForm[m]

Out[23]= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

Out[24]//TraditionalForm

=

1Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.