Решение

Для решения этой задачи достаточно проверить имеет ли многочлен х⁵+х+1 в качестве сомножителей неприводимыемногочлены первой и второй степени, т.е. х+1 и х²+х+1.

Многочлен х+1 имеет корнем «1». Подставим х=1 в х⁵+х+1, получаем х⁵+х+1=1⁵+1+1=1, т.е. х+1 не делит х⁵+х+1.

Для корней х²+х+1 справедливо х²+х+1=0 или х²=х+1.Подставляем это значение в х⁵+х+1: х(х+1)(х+1)+х+1=х(х²+1)+х+1=х³+х+х+1=х³+1=(х+1)(х²+х+1)=0, т.е. корни х²+х+1 являются и корнями х⁵+х+1.

Значит х⁵+х+1 имеет одним из своих сомножителей х²+х+1. Выполняя деление х⁵+х+1 на х²+х+1, находим х⁵+х+1=(х²+х+1)(х³+х²+1).

Ответ: многочлен х⁵+х+1 не является неприводимым над полем GF(2).

4.3.8. Проверить делимость многочлена х⁵+х+1 на многочлен х³+х²+1. Решить самостоятельно методом проверки общих корней. 4.3.9. Найти все неприводимые многочлены пятой степени над полем GF(2). Рекомендации по решению:

1.Выписать все двоичные приведенные многочлены пятой степени.

2.Определить методом проверки общих корней делимость рассматриваемых многочленов на многочлены х+1 и х²+х+1 и выявить неприводимые. 3.Правильность решения проверить по Приложению. 4.3.10. Найти последовательности корней неприводимых двоичных многочленов пятой степени из задачи 4.3.9.

Рекомендации по решению:

1.Построить циклотомические классы по модулю 2⁵-1=31. Так как 31 – простое число, то все ненулевые элементы поля GF(2⁵), являющиеся искомыми корнями, имеют порядок 31, и их число равно 30, т.е. всего существует 6 неприводимых двоичных многочленов пятой степени, а, следовательно, и 6 циклотомических классов по модулю 31. Все эти многочлены являются примитивными.

2.По составу циклотомических классов найти пары двойственных многочленов.

3.Используя результаты решения задач 4.2.9 и 4.3.9, установить соответствие между найденными неприводимыми многочленами и последовательностями их корней.

4. Правильность решения проверить по Приложению.

4.4. Упражнение № 4

4.4.1. Определить степени, число и вид неприводимых над GF(2) многочленов, входящих в разложение двучленов х¹²⁷+1 и х²⁵⁵+1.

Решение

1.Многочлен х¹²⁷+1 = х+1.Так как 7-простое число, то в разложение на неприводимые сомножители х¹²⁷+1 над GF(2) входят только (х+1) и неприводимые многочлены 7-й степени. Их число равно .

Все эти 18 многочленов принадлежат показателю 127. Из Приложения найдем вид девяти неприводимых двоичных многочленов степени 7 в двоично-восьмеричном представлении: 211,217, 235, 367, 277, 325, 203, 313, 345. Дополнив эти многочлены двойственными им: 221, 361, 271, 753, 375, 253, 301, 323, 247, завершаем решение первой части задачи.

2.Многочлен х²⁵⁵+1=х+1.Так как 8 делится на числа 2 и 4,то в разложение х²⁵⁵+1 на неприводимые сомножители входят, кроме неприводимых многочленов 8-й степени, неприводимые многочлены 4-й и 2-й степеней. Определим число многочленов каждой из этих степеней, входящих в разложение х²⁵⁵+1.Для этого представим 255 в виде простых сомножителей: 255=3·5·17. Это значит, что х²⁵⁵+1 делят х³+1, х⁵+1, х¹⁵+1, х¹⁷+1, х⁵¹+1 и х⁸⁵+1. Из этого делаем вывод, что в разложение х²⁵⁵+1 входят некоторые неприводимые многочлены, не принадлежащие показателю 255: х+ 1 - принадлежит показателю 1,

х²+х+1 – принадлежит показателю 3,

х⁴+х³+х²+х+1– принадлежит показателю 5, х⁴ + х + 1, х⁴ + х³ + 1 ‒ принадлежат показателю 15, два многочлена 8-й степени, принадлежащие показателю 17 : , четыре многочлена 8-й степени, принадлежащие показателю 51:восемь многочленов 8-й степени, принадлежащие показателю 85:Кроме того, в разложение х²⁵⁵+1 входит многочленов 8-й степени, принадлежащих показателю 255.

Многочлены восьмой степени найдем из Приложения. Для этого необходимо определить образующие соответствующих циклотомических классов. Значения образующих:

- для многочленов, принадлежащих к показателю 17 : s =этому числу соответствует многочлен 15 727 D : х⁸+х⁷+х⁶+х⁴+х²+х+1. Это самодвойственный многочлен. Значит должен быть еще один многочлен, принадлежащий к показателю 17; таковым является многочлен 45 471 А : х⁸+х⁵+х⁴+х³+1 также самодвойственный;

- для многочленов, принадлежащих к показателю 51, числа s равны 5 и 25. Это многочлены 5 763 D – х⁸+х⁷+х⁶+х⁵+х⁴+х+1 и х⁸+х⁷+х⁴+х³+х²+х+1 и 25 433 В – х⁸+х⁴+х³+х+1 и х⁸+х⁷+х⁵+х⁴+1;

- для многочленов, принадлежащих к показателю 85, числа s равны 3,9,21 и 27. Вид многочленов восьмой степени, принадлежащих к показателям 85 и 255, предлагается найти самостоятельно.

4.4.2. Найти неприводимые многочлены степени 9, принадлежащие к показателю, меньшему 511.