2. Определители

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется числовая характеристика квадратной матрицы A размера , вычисляемая по определенному правилу (см., например,). Обозначается определитель одним из символов.

Определитель первого порядка – определитель для матрицы размера , состоящей из одного числа, равен самому числу.

.

Минором определителя -го порядка называется определитель, полученный из данного вычеркиванием- ой строки и-го столбца.

В общем случае минором прямоугольной матрицы называется любой определитель, полученный из нее в результате вычеркивания каких-то строк или столбцов.В частности, сам определитель квадратной матрицы тоже является ее минором. Миноры выделены в силу их важности для приложений, что видно из формул (1)-(2).

Алгебраическим дополнением к элементу определителяназывается выражение

.

Для вычисления определителя -го порядка справедливы рекуррентные формулы через определители ()-го порядка.

(1)

или

. (2)

Формулы (1)-(2) представляют разложение определителя по элементам строки (столбца) и в частности показывают, что определитель не изменяется при перестановке строк со столбцами, т.е. определители исходной матрицы и транспонированной к ней равны.

Для определителей второго и третьего порядков тогда имеем:

. (3)

(4)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей схемой (схема Саррюса):

.

Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, соединенных одной непрерывной линией. Для определителей порядка выше третьего подобных схем не составлено.

Свойства определителей.

Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

2. Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.

3. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

4. Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.

5. Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

6. Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

7. Определитель можно представить в виде суммы определителей согласно формуле

.

8. Определитель .

То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

9. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: .

►Пример 2. Разложить по элементам третьей строки и вычислить определитель

.

Решение.

Воспользуемся формулой (1), а определители третьего порядка вычислим по схеме Саррюса

. ◄

►Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

По формуле (3) раскроем определитель, а затем решим уравнение

. ◄

►Пример 4. Найти определитель .

Решение.

Все столбцы, начиная со второго, прибавим к первому столбцу, вынесем общий множитель из вновь полученного первого столбца, а затем первую строку вычтем из всех остальных

◄

Упражнения.

1. Вычислить определители.

а) ; б). в). г);

д) ; е); ж); з);

и) ; к).

Ответы: а) -12; б)29; в)87; г) д) 0; е) 48; ж)160; з); и)394; к) 665.

2. Найти значение , при котором. Ответ: -3.

3. Найти положительное значение , если. Ответ: 2.

4. Доказать:

а) ; б);

в) ; г).

5. Упростить определитель, разложив его на слагаемые .

Ответ: .

6. Вычислить определители.

а) ; б).

в) ; г) .

Ответы: а) -1487600; б) -29 400 000; в) ; г) .

7. Найти сумму всех алгебраических дополнений определителя . Ответ: .

8. Известно, что числа 20604, 53227, 25755, 20927, 289 делятся на 17. Не вычисляя определителя, показать, что он тоже делится на 17.

9. Пусть - множество вещественных матриц 5-го порядка. Существует ли такая матрица, что, где Е – единичная матрица? Здесь- множество всех квадратных матриц размера, элементами которых являются действительные числа.