Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Напряженность электростатического поля и его потенциал используются для характеристики одного о того же объекта - электростатического поля. Связь между ними можно установить, используя выражение для элементарной работы =qE_rdr =-q d: и

Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятого с обратным знаком. Разность потенциалов равна линейному интегралу от напряженности электростатического поля, взятому с обратным знаком.

СИЛОВЫЕ ЛИНИИ И ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Геометрическое место точек, удовлетворяющее соотношению , образует эквипотенциальную поверхность. Силовые линии вектора Е перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. В отсутствии электрического тока силовые линии не проникают вглубь проводников, а начинаются и оканчиваются на их поверхности. При этом они всегда направлены по нормали к поверхности проводника- проводник представляет собой эквипотенциаль. Если проводник поместить на эквипотенциальную поверхность, то картина взаиморасположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей не изменится за исключением исчезновения поля внутри проводника, что обусловлено появлением индукционных зарядов противоположных знаков на обеих поверхностях проводника. В общем случае, когда в исходном положении разные точки проводника находятся под разным потенциалом, появление индукционных зарядов на поверхности проводника, необходимых для выравнивания потенциала проводящего тела, приводит к существенному искажению исходной картины пространственного распределения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

СИЛЫ ЗЕРКАЛЬНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ. Задача определения силы взаимодействия точечного заряда с индуцированным зарядом на плоскости достаточно сложна, но она может быть решена простым способом. Если на центральную эквипотенциаль системы, состоящей из двух зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, поместить проводящую плоскость, то картина распределения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для этих точечных зарядов не изменится. Поэтому характер взаимодействия точечного заряда с проводящей плоской поверхностью эквивалентен взаимодействию двух точечных зарядов (+ заряд как бы «посмотрел» на поверхность и увидел свое изображение как в зеркале)

……………………………..

Лекция №7 электрическое поле в диэлектриках

ДИПОЛЬ. Система, состоящая из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов, разделенных некоторым промежутком, образуют диполь. Диполь является основным модельным представлением, которое используется для описания поля в диэлектриках. Электрический момент диполя, равный произведению величины заряда на расстояние между ними и направлен от – к + заряду.

ПОЛЕ ДИПОЛЯ. Определение напряженности поля диполя Е_общ в искомой точке путем векторного

сложения Е₊ и Е_- представляет значительные математические трудности. Поэтому более рациональный путь – это определить величину потенциала в искомой точке ( сложение скалярных величин не представляет особых трудностей) и воспользоваться связью между потенциалом и напряженностью электрического поля:

Зависимость напряженности поля от расстояния для различных конфигураций зарядов E r⁰ const ……………………

ДИПОЛЬ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Однородное поле. Силы, действующие на – и + заряды равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому в однородном поле возможен лишь поворот диполя относительно своего центра. Момент сил, действующих на диполь

Электрическое поле оказывает ориентирующее действие на диполь, стремясь повернуть его так, чтобы его электрический момент был направлен по полю. Неоднородное поле. Силы, действующие на + и – заряды, не равны по величине, поэтому электрическое поле оказывает не только ориентирующее воздействие на диполь, но и стремится переместить его в область больших полей.

РАБОТА ПОВОРОТА ДИПОЛЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ: A=pE(cos₁-cos₂)

ЭНЕРГИЯ ДИПОЛЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ: W=-(pE)

Как и в случае проводников, диэлектрики могут существенно изменять величину поля, создаваемого заряженными телами. Для металлов этот эффект объясняется возникновением поляризационных зарядов на их поверхности. По аналогии можно предположить, что в электрическом поле на поверхности диэлектриков также возникают некомпенсированные заряды. Из опыта с телами, состоящими из двух половинок, которые помещают в электрическое поле, следует, что под действием поля электрические заряды свободно перемещаются по проводникам, а в диэлектриках такое перемещение возможно только в пределах отдельных молекул, составляющих диэлектрик.

ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ МОЛЕКУЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.Если центры + и – зарядов совпадают, то такие молекулы называются неполярными. В электрическом поле + заряды смещаются по полю, а – против поля. Оказывается, что во многих случаях расстояние l между центрами + и – в неполярных молекулах увеличивается пропорционально величине электрического поля l~E. Говорят, что неполярные молекулы в электрическом поле ведут себя как упругий диполь.

Если центры + и – зарядов не совпадают, то такие молекулы называются полярными. Полярные молекулы, попадая в электрическое поле, испытывают два противоположных воздействия: - ориентирующее воздействие электрического поля - и дезориентирующее воздействие теплового, хаотического движения. Оказывается, что во многих случаях из-за борьбы этих воздействий, суммарный дипольный момент совокупности полярных молекул пропорционален напряженности поля. Изменение величины дипольного момента отдельных молекул под действием электрического поля значительно меньше ориентирующего действия поля, поэтому говорят, что полярные молекулы в электрическом поле ведут себя как жесткий диполь.

ДИЭЛЕКТРИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ. Пропорциональность суммарного электрического момента величине напряженности поля независимо от вида поляризации диэлектрика позволяет ввести понятие вектора поляризации Р- электрического момента единицы объема: P=∑p_i/V. Вектор поляризации пропорционален напряженности электрического поля

где β – диэлектрическая восприимчивость

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ. Для определения поля в диэлектрике используется модель - диэлектрик из неполярных молекул, помещенный между обкладками плоского конденсатора. При зарядке пластин конденсатора происходит поляризация диэлектрика. Поле, создаваемое поляризационными зарядами в диэлектрике, можно определить как поле, создаваемое в объеме поляризованного диэлектрика, и поля нескомпенсированных зарядов на поверхности.

Результирующее макроскопическое поле, создаваемое в объеме диэлектрика, равно нулю. Поле, создаваемое нескомпенсированными зарядами на поверхности, можно выразить через σ‘ – поверхностную плотность нескомпенсированного заряда, которая в свою очередь равна вектору поляризации: σ’=P. Диэлектрик уменьшает величину напряженности поля, создаваемого пластинами конденсатора.

ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ ИЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СМЕЩЕНИЯ. Силовые линии напряженности электрического поля терпят разрыв на границе диэлектрика, что неудобно при расчетах электрических полей в среде, содержащей диэлектрик. Для ликвидации этого неудобства вводится вспомогательный вектор D – вектор электростатической индукции или электрического смещения D=ε₀E+P. Из факта уменьшения напряженности поля в диэлектрике по сравнению с ее значением в вакууме на величину ε следует, что во всех основных соотношениях электростатики, к величине ε₀ необходимо добавить ε. Применение теоремы Гаусса в среде, содержащей диэлектрик, также затруднительно, поскольку при суммировании зарядов внутри поверхности интегрирования необходимо учитывать и связанные заряды на поверхности диэлектрика. Поэтому в этой ситуации имеет смысл перейти от вектора Е к вектору D, поскольку его величина не зависит от поляризации диэлектрика.

Формулировка теоремы Гаусса для среды, содержащей диэлектрик: поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, заключенных внутри поверхности интегрирования.

ПРИМЕЧАНИЕ: Появление вспомогательного вектора D, предназначенного для описания электрического поля в среде, обусловлено пропорциональностью между векторами Р и Е, что выполняется далеко не всегда. Так в анизотропных диэлектриках характер смещения ионов и электронов в различных направлениях под действием электрического поля происходит по разному. Поэтому диэлектрическая проницаемость ε – это тензорная величина. В СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКАХ существуют самопроизвольно поляризованные области, в которых электрические моменты отдельных молекул ориентированы одинаково. В отсутствии электрического поля электрический момент кристалла сегнетоэлектрика равен нулю. Внешнее электрическое поле приводит образованию единого домена, ориентированного по полю. Существует особый класс диэлектриков -ЭЛЕКТРЕТОВ, способных длительное время сохранять наэлектризованное состояние и создавать собственное электрическое поле в окружающем пространстве. В ПЕРЕМЕННОМ электрическом поле поворот полярных молекул и смещение зарядов в неполярных молекулах требуют определённого времени. Поэтому возникает сдвиг фаз между напряжённостью электрического поля Е и вектором электрической индукции D. Дополнительное периодическое движение молекул в переменном поле приводит к тому, что часть энергии переменного электрического поля теряется в диэлектрике, превращаясь в тепло, что обусловливает потери энергии. Эти факторы привели к тому, что у диэлектрической проницаемости появились две составляющие: реальная и мнимая ε→ε’+iε'‘. Помимо этого оказалось, что диэлектрическая проницаемость существенным образом зависит от температуры и частоты электрического поля.

……………………………………………………

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ. Понятие об электроемкости возникло во времена Франклина, когда электричество рассматривалось как некая жидкость, перетекающая от одних тел к другим. В этом представлении емкость является характеристикой способности тела накапливать электрический заряд.

Сл.3 Если электрические свойства проводника смоделировать в виде прямого цилиндра, то:

q- заряд - V – объем электрической жидкости

• - потенциал - h – высота уровня электрической жидкости

С – емкость - S - площадь основания характеризующая вместимость сосуда

Сл.4 Современное понятие о емкости. Будем поочередно помещать на уединенный проводник заряды q_i и определять при этом потенциал проводника j_i Если отношение поверхностной плотности заряда для любой фиксированной точки (x_i,y_i,z_i) на поверхности проводника σ₁ (x_i,y_i,z_i)/ σ₂ (x_i,y_i,z_i) равно отношению зарядов q₁/q₂ , которые сообщаются проводнику, то потенциал проводника j_i пропорционален заряду проводника j ~ q

Сл.5 В качестве коэффициента пропорциональности выступает , где С – электроемкость (емкость) проводника: Емкость – это физическая величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд, численно равная количеству электричества, которое необходимо сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на единицу В системе единиц СИ q измеряется в кулонах, j- в вольтах, емкость С в фарадах.Более мелкие единицы измерения микро- и пико- фарады 1μkф = 10^-6 ф и 1пф = 10^-12 ф

Сл.6 Емкость уединенного шара Емкость Земного шара Если в выражение * подставить радиус Земли R= 6400 км, то Емкость Земли составит всего 7×10^-4 Ф

Сл.7 КОНДЕНСАТОРЫ

Сл.8 Емкость уединенных проводников чрезвычайно мала, в то время как потребности техники – большие емкости. Конденсатор – это система, состоящая из двух или более проводников, разделенных диэлектриком, и обладающих взаимной электрической емкостью, много большей емкости

каждого из проводников. Пластины заряженного конденсатора несут одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды, так что силовые линии электрического поля начинаются на + заряженной пластине и оканчиваются на – заряженной пластине. По виду конденсаторы бывают плоскими, сферическими, цилиндрическими

Сл.9 слайд Плоский конденсатор

Сл.10 слайд Цилиндрический конденсатор

Сл.11 слайд Сферический конденсатор

Сл.12 слайд Конденсаторы в электрических цепях Конденсатор не проводит постоянный ток ! (при подключении конденсатора к источнику постоянногонапряжения возникает кратковременный ток, приводящей к зарядке пластин конденсатора)

Параллельное соединение конденсаторов С _общ= С₁+ С₂+ С₃

Последовательное соединение конденсаторов

Сл.13 Энергия заряженного проводника

Будем рассматривать энергию заряженного проводника через работу по переносу заряда из ∞ на его поверхность. Если сразу переносить весь заряд из ∞ на поверхность проводника, то работа, совершаемая против силы электрического поля будет равна нулю, поскольку заряды переносятся в отсутствии электрического поля.

Сл.14 Поэтому энергию заряженного проводника можно определить как работу по переносу заряда из ∞ на его поверхность отдельными малыми порциями

Сл.15 Энергию заряженного конденсатора можно определить так же через работу по переносу заряда на его пластины отдельными малыми порциями. Основное отличие от предыдущего случая состоит в том, что в данном случае заряды переносятся не из ∞ , а с одной пластины на другую, что требует во много раз меньших затрат энергии

Сл.16 Поскольку работа по зарядке проводника или конденсатора связана с потенциалом , то гораздо меньшие затраты энергии для сообщения одинакового заряда у конденсатора чем у

проводника

Сл.17 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ. Будем считать, что энергия заряженного конденсатора –это энергия электростатического поля, заключенного между его пластинами. Для определения энергия электростатического поля возьмем плоский конденсатор, поскольку поле между его пластинами является однородным

Сл.18 Выразим энергию заряженного конденсатора через основную характеристику электрического поля Е – напряженность поля

Сл.19 Работа по поляризации диэлектрика

Возьмем диэлектрик в виде куба, который состоит из неполярных молекул. Под действием поля напряженностью Е происходит смещение + и – зарядов в каждой молекуле на dr_k. Возникающий при этом электрический момент молекулы p_k = q_k∙dr_k. …………………..

Сл.20 Элементарная работа по всему объему диэлектрика V: dA _V = Ʃ E∙dp_i = E Ʃ dp_i = E d Ʃp_i = E∙ dP

При низких температурах, когда подвижность полярных молекул мала, поворот диполей на большие углы невозможен и диэлектрическая проницаемость мала. С возрастанием температуры подвижность диполей увеличивается, и облегчается их ориентация под действием внешнего поля, ε растет. При дальнейшем росте температуры энергия теплового движения диполей возрастает настолько, что броуновское движение диполей разрушает ориентацию, задаваемую внешним полем и величина ε уменьшается. В переменном электрическом поле ионы и электроны в диэлектриках из неполярных молекул испытывают вынужденные колебания. При этом характер периодического смещения ионов и электронов существенно различен из-за различия масс. Наибольшие изменения величины ε происходят в момент резонанса – когда собственная частота колебаний ионов или электронов в диэлектрике совпадает с частотой переменного электрического поля